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文檔簡(jiǎn)介

平行四邊形判定定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

為了測(cè)量一個(gè)池塘的寬BC,在池塘一側(cè)的平地上選一點(diǎn)A,再分別找出線段AB,AC的中點(diǎn)D,E,若測(cè)出DE的長(zhǎng),就能求出池塘的寬BC,你知道為什么嗎?今天這堂課我們就來探究其中的學(xué)問.觀察思考

如圖,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),連接DE,像DE這樣,連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.學(xué)習(xí)新知∵D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),

∴DE為△ABC的中位線.三角形有幾條中位線?你能畫出來嗎?三角形中有三條中位線∵DE為△ABC的中位線,

∴D,E分別為AB,AC的中點(diǎn).說出三角形的中位線與中線有何相同點(diǎn)和不同點(diǎn).相同之處:都是和邊的中點(diǎn)有關(guān)的線段.不同之處:三角形中位線的兩個(gè)端點(diǎn)都是邊的中

點(diǎn);三角形中線只有一個(gè)端點(diǎn)是邊的中

點(diǎn),另一端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn).思考探索:如圖,三角形的中位線DE與BC有什么樣的關(guān)系?為什么?猜想:DE∥BC

2DE=BC你能證明以上猜想嗎?思考已知:如圖,點(diǎn)D,E分別為△ABC邊AB,AC的中點(diǎn).求證:DE∥BC且DE=BC.

〔解析〕所證明的結(jié)論既有位置關(guān)系,又有數(shù)量關(guān)系,聯(lián)想已學(xué)過的知識(shí),可以把要證明的內(nèi)容轉(zhuǎn)化到一個(gè)平行四邊形中,利用平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)來證明結(jié)論成立,從而使問題得到解決,這就需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線來構(gòu)造平行四邊形.如圖,延長(zhǎng)DE到F,使EF=DE,連接CF,由題意易得△ADE≌△CFE,從而可得AD∥FC,且AD=FC,因此有BD∥FC,BD=FC,所以四邊形BCFD是平行四邊形.所以DF∥BC,DF=BC,由作圖知2DE=DF,所以DE∥BC且2DE=BC.方法二:

如圖,延長(zhǎng)DE到F,使EF=DE,連接CF,CD和AF,因?yàn)锳E=EC,所以四邊形ADCF是平行四邊形.所以AD∥FC,且AD=FC.因?yàn)锳D=BD,所以BD∥FC,且BD=FC.所以四邊形BCFD是平行四邊形.所以DF∥BC,且DF=BC,因?yàn)?DE=DF,所以DE∥BC且2DE=BC.方法三:

如圖,過E點(diǎn)作AB的平行線交BC于N,交過A點(diǎn)與BC平行的直線于M,由題意及作圖易知△AEM≌△CEN,可得ME=EN,AM=CN,因?yàn)锳M∥BC,AB∥MN,所以四邊形AMNB是平行四邊形,所以AB=MN,AM=BN.又因?yàn)?BD=AB,2EN=MN,所以BD=EN,所以四邊形BDEN是平行四邊形,則DE=BN,DE∥BC,所以DE=BN=AM=CN,即2DE=BC.方法四:

如圖,過A,B,C三點(diǎn)分別作DE的垂線,分別交直線DE于點(diǎn)P,M,N.因?yàn)锳P,BM,CN都垂直于DE,所以AP∥BM∥CN.可證明△APE≌△CNE,則AP=CN,PE=EN,△ADP≌△BDM,則AP=BM,MD=DP,所以BM=CN,2DE=MN,所以四邊形BMNC是平行四邊形,所以DE∥BC,2DE=MN=BC.小結(jié)

三角形中位線的性質(zhì):三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.

∵D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),∴DE∥BC,DE=BC.知識(shí)拓展(1)三角形的中位線所構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)是

原三角形周長(zhǎng)的一半.(2)三角形三條中位線可以把三角形分成三個(gè)

平行四邊形,分成的四個(gè)三角形全等.(3)三角形三條中位線所構(gòu)成的三角形的面積

等于原三角形面積的四分之一.

例:

如圖,△ABC的中位線DE=5cm,把△ABC沿DE折疊,使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)F處,若A,F兩點(diǎn)間的距離是8cm,求△ABC的面積.解:連接AF,如圖所示.∵DE是△ABC的中位線,∴BC=2DE=10cm,DE∥BC.由折疊可知AF⊥DE,∴AF⊥BC,∴AF是△ABC的邊BC上的高.∵AF=8cm,∴S△ABC=BC·AF=×10×8=40(cm2).

[歸納拓展]

本題還可以這樣解:△ABC的面積是四邊形ADFE面積的2倍,而四邊形ADFE的對(duì)角線互相垂直,因此它的面積等于對(duì)角線乘積的一半,所以△ABC的面積等于AF·DE.

例:

如圖,在四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).求證四邊形EFGH是平行四邊形.

〔解析〕因?yàn)橐阎c(diǎn)E,F,G,H分別是線段的中點(diǎn),所以可以設(shè)法應(yīng)用三角形中位線性質(zhì)找到四邊形EFGH的邊之間的關(guān)系.由于四邊形的一條對(duì)角線可以把四邊形分成兩個(gè)三角形,所以考慮添加輔助線,連接AC或BD,構(gòu)造含有三角形中位線的基本圖形后,此題便可得證.證明:連接AC,如圖所示.在△DAC中,∵AH=HD,CG=GD,∴HG∥AC,HG=AC(三角形中位線性質(zhì)).同理可得EF∥AC,EF=AC.

∴HG∥EF,且HG=EF.∴四邊形EFGH是平行四邊形.[歸納總結(jié)]順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn),所得的四邊

形是平行四邊形.課堂小結(jié)

三角形的中位線的定義:連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.兩層含義:如圖,①∵D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),

∴DE為△ABC的中位線;②∵DE為△ABC的中位線,

∴D,E分別為AB,AC的中點(diǎn).

三角形中位線的性質(zhì):

三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.

特點(diǎn):在一個(gè)題設(shè)下,有兩個(gè)結(jié)論.一個(gè)表示位置關(guān)系,另一個(gè)表示數(shù)量關(guān)系.

結(jié)論:有兩個(gè),一個(gè)表明中位線與第三邊的位置關(guān)系,另一個(gè)表明中位線與第三邊的數(shù)量關(guān)系.

三角形中位線的性質(zhì):三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半.∵D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),∴DE∥BC,DE=BC.

作用:在已知兩邊中點(diǎn)的條件下,證明線段的平行關(guān)系及線段的倍分關(guān)系.檢測(cè)反饋1.如圖,A,B兩點(diǎn)被池塘隔開,在AB外選一點(diǎn)C,連接AC和BC,并分別找出AC和BC的中點(diǎn)M,N,如果測(cè)得MN=20m,那么A,B兩點(diǎn)間的距離是

m,理由是

.解析:因?yàn)镸,N分別是AC和BC的中點(diǎn),所以2MN=AB,所以AB=2MN=40m.理由是:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.40

三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半2.Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,BC=6,點(diǎn)D,E,F分別是△ABC三邊的中點(diǎn),則△DEF的周長(zhǎng)是

,面積是

.

解析:△DEF的三條邊分別是Rt△ABC的三條中位線,所以△DEF的三條邊長(zhǎng)分別是Rt△ABC的三邊長(zhǎng)的一半,所以△DEF的周長(zhǎng)是Rt△ABC的周長(zhǎng)的一半,△ABC的周長(zhǎng)是24,則△DEF的周長(zhǎng)是12.三角形的三條中位線在三角形中可以構(gòu)成三個(gè)平行四邊形和四個(gè)全等的三角形,所以△DEF的面積是Rt△ABC的面積的四分之一,△ABC的面積=8×6=24,因此△DEF的面積為6.12

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