2010年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試考前預(yù)測(cè)(數(shù)學(xué)三)

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符

合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).

(1)設(shè)函數(shù)/a)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且lim/①1=0,=則

Xf01-COSXXf。_1

(A)/(x)在點(diǎn)x=0處取極大值

(B)/(x)在點(diǎn)x=0處取極小值

(0點(diǎn)(0,7(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)

(D)點(diǎn)x=0不是/(x)的極值點(diǎn)，點(diǎn)(0,/(0))也不是y=/(x)的拐點(diǎn)

[]

(2)設(shè)函數(shù)在全平面上都有以上乃<0,更”0>0.則下列條件中能保證

oxoy

/(』,x)</(々，%)的是

(A)玉<x2,yt<y2(B)<x2,yx>y2

(C)%)>x2,y}<y2(D)x[>x2,yt>y2

[1

(3)累次積分/(rcosarsin。)4r可以寫成

(A)f辦f(x,y)dx(B)/辦'/^f(x,y)dx

?^dx^f(x,y)dy(D)工公廣7f(x,y)dy

[]

(4)設(shè)0<p〈l,級(jí)數(shù)

n=l"X+1

(A)絕對(duì)收斂(B)條件收斂

(C)發(fā)散(D)斂散性與〃有關(guān)

[]

(5)設(shè)A,3是九階可逆矩陣，滿足AB=A+B.則

①I>4+B1=1AIIBI：②(ABV='

③(A—E)X=0只有零解；④B-E不可逆.

中正確的項(xiàng)數(shù)是

(A)1(B)2(C)3(D)4

[]

-11-1-'2

(6)已知線性方程組AX=后四+四有解，其中A=-1-21，B\=1

1-1-1_3_

1

河=3,則A等于

-1

(A)1(B)-1(C)2(D)-2

[]

(7)設(shè)A、B、。為事件，P(ABC)>0,如果尸(A8IC)=P(AIC)P(8IC),則

(A)P(CIA8)=P(CIA)(B)P(CIA8)=P(CI8)

(C)P(B\AC)^P(B\A)(D)P(8IAC)=P(8IC)

(8)設(shè)X|,X,,L,X“是總體N(0,l)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記X=-YX,..

?閆

1?__

§2=——￡(Xj—X)2,7'=(X+1)(52+1),則E(T)的值為

n-\,=l

(A)0(B)1(C)2(D)4

[]

二、填空題：9?14小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.

(9)力+「力=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是

力AosX

(10)設(shè)/(x,y)存在一階偏導(dǎo)數(shù)，且/(1,1)=1,￡(1,1)=2,4(1,1)=1.又

叭x)=/(x,/(x,/(x,x))),則“⑴=.

Y-4-

(11)設(shè)了='。)是由sin(孫)=ln^一+1確定的隱函數(shù)，貝iJy'(O)=

y

(12)基級(jí)數(shù)之把二??的收斂域?yàn)橐?

?=i?13”

(13)設(shè)A是三階矩陣，有特征值4=1,4=-1,4=2.A.是A的伴隨矩陣，E是三

~04*~|

階單位陣，貝WAI=_____.

[_-2EAJ

(14)己知隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=k}=：,(左=1,2,3),當(dāng)乂=/時(shí)隨機(jī)變量丫在

0,y<Q,

(0,k)上服從均勻分布，即pFKylX=女}=，2，0<)，<上,則2{丫42.5}=.

k

,1,k￡y.

三、解答題：15?23小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)/(x)在點(diǎn)x=0處二階可導(dǎo)，且滿足lim(/+1-2x)=3.

XX

求/(o)j'(o)與r(o).

(16)(本題滿分11分)

計(jì)算二重積分0x()，+l)d(7,其中積分區(qū)域。山y(tǒng)軸與曲線y=y/4-x2,y=42x-f圍

D

成.

（17）（本題滿分10分）

設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需投入甲、乙兩種原料，x和y分別為甲、乙兩種原料的投入量（單位：噸）,

。為產(chǎn)出量，且生產(chǎn)函數(shù)為。二乙打,，其中常數(shù)后＞0,?＞0,月＞0.已知甲種原料

每噸的價(jià)格為耳（單位：萬(wàn)元），乙種原料每噸的價(jià)格為￡（單位：萬(wàn)噸）.如果投入總價(jià)

值為A（萬(wàn)元）的這兩種原料，當(dāng)每種原料各投入多少噸時(shí)，才能獲得最大的產(chǎn)出量？

（18）（本題滿分10分）

設(shè)f（u,v）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且+/；'（〃,v）=sin（〃+p）e"+"，求y（x）=e3/（x,x）所

滿足的一階微分方程，并求其通解.

(19)(本題滿分11分)

2=

設(shè)/(X)在區(qū)間［a,句上可導(dǎo)，且滿足/(b>cosb=----pfM-cosxdx.

b-a乙

求證至少存在一點(diǎn)自€(a,b),使得f'⑹=/《)?tan年.

(20)(本題滿分10分)

T

設(shè)四維向量組%=(1,1,4,2>,a2=(l,-l,-2,b),%=(-3,-1,。，-9)7,

/7=(l,3,10,a+b)。問(wèn)：

(I)當(dāng)。力取何值時(shí)，夕不能由線性表出；

(H)當(dāng)a/取何值時(shí),力能由風(fēng),。2，4線性表出，并寫出此時(shí)的表達(dá)式.

(21)(本題滿分11分)

722

設(shè)二次型/(現(xiàn),々)3)=xAx=3xJ+ax2+3X3-以西一8斗弓-4%2工3其中一2是：：次型

矩陣A的一個(gè)特征值.

（I）試用正交變換將二次型/化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用正交變換；

（n）求了在條件X：+42+七？=1下的最小值，并求最小值點(diǎn)（內(nèi),x2,x3）；

（in）如果A*+ZE是正定矩陣，求&的取值.

（22）（本題滿分11分）

設(shè)兩隨機(jī)變量（X,y）在區(qū)域。上均勻分布，其中￡）={*,y）:lxl+lyKl}.又設(shè)

U=X+Y,V=X-Y,試求：

（I）U與V的概率密度九（M）與人”）；

（II）U與V的協(xié)方差cov（U,V）的相關(guān)系數(shù)4V.

（23）（本題滿分10分）

設(shè)兩隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為

伙（x+"O<y<x<l;

/Uy）=10,其它.

求（I）常數(shù)k的值；

（ID（X,丫）的邊緣密度—（幻和fv（y）；

（ni）條件密度-X⑶?8）和fxwa?y）；

（iv）P{X+Ywi}的值.

參考答案

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符

合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).

(1)設(shè)函數(shù)/3)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且lim1—?=0,lim-p--1-^1,貝ij

xfOl-COSX1。41+了2_]

6)/。)在點(diǎn)》=0處取極大值

(15)/意)在點(diǎn)》=0處取極小值

(0點(diǎn)(0,7(0))是曲線y=/(x)的拐點(diǎn)

(D)點(diǎn)x=0不是/(x)的極值點(diǎn)，點(diǎn)(0,7(0))也不是y=/(x)的拐點(diǎn)

[]

正確答案：B.

解析：由lim‘"I_1=0,lim(l-cosx)=0,得lim(f(x)-l)=0,而由/"(x)連續(xù)知

?io1—cosx303°

/(x)連續(xù)，所以lim/(x)=f(0)=l.

x->0

于是:(0)=lim八劃一/⑼=lim-T-…六?二=0,

AT0Xv->o1-C0SXXX

所以X=O是/(X)的駐點(diǎn).

又由lim，-I=1,lim(Vl+x2-1)=0,

-^OV1+X2-1…。

得lim(/*(x)-l)=/(0)-1=0,即/"(0)=1〉0,

x->0

所以f(x)在點(diǎn)x=0處有/,(0)=0,r(0)=l>0,

故點(diǎn)x=0是/(x)的極小值.應(yīng)選(B).

(2)設(shè)函數(shù)/(x,y)在全平面上都有包3<0,C"*)')>0.則下列條件中能保證

dxdy

/(和力)</(》2，》2)的是

(A)芯<々，乂<必⑻須<々，%>為

(c)$>z，y<y2⑻』>9，M>為

正確答案：c.

解析：由"3)')<0,當(dāng)固定y時(shí)，/(x,y)對(duì)x單調(diào)下降，故對(duì)王〉超時(shí)，有

dx

f(xl,yi)<f(x2,yl)；

又由■(“')')>0,,當(dāng)固定x時(shí)，/(x,y)對(duì)y單調(diào)上升，故對(duì)％<為時(shí)，有

因此,當(dāng)X]>々,>]</時(shí)，有/■(尤|,%)</(%2，%)</(%2，>2)*應(yīng)選9>

[]

(3)累次積分jde『,/(「COS3,rsin6)47?可以寫成

(A)[辦'/^f(x,y)dx(B)[辦'/^f(x,y)dx

(0^dx^f(x,y)dy(D)/右，*'/(x,y)dy

[]

正確答案：D.

解析：由題設(shè)可知積分區(qū)域在極坐標(biāo)系x=rcos6,y=rsin6下是

7T

D={(r,^)l0<^<-,0<r<cos^},。的圖形如圖所示.

2

它在直角坐標(biāo)系下是。={(x,y)10Wx<1,0WyWyjx-x2}或

D={(x,y)IO<>'<l,,因此，這個(gè):重積分在直角坐標(biāo)卜化

為累次積分應(yīng)為\dx/(x,y)dy或工辦f(x,y)dx.

由此可見(jiàn)(D)是正確的，應(yīng)選(D).

(4)設(shè)0<p41,級(jí)數(shù)f「si：(G)dx

n=\"X+1

(A)絕對(duì)收斂(B)條件收斂

(C)發(fā)散(D)斂散性與p有關(guān)

[]

正確答案：B.

解析：當(dāng)0<pWl時(shí)，由積分中值定理得

“1sin(;rx),1產(chǎn)+12(—1)"

---------ax=--------fsin(/rx)Jx=，w(〃,〃+1),

?式+11+1Jn?；?+1)

所以C小=22

------------>-----------------

兀?「+1)乃(5+1)"+1)

22(〃-?8),之二-發(fā)散，所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂.

而

萬(wàn)((〃+1)‘‘+1)兀陵?=1兀n"

XI

『黨>單調(diào)減少.

而當(dāng)€(〃,"+1),即I

由萊布尼茨判別法知原級(jí)數(shù)收斂,故級(jí)數(shù)是條件收斂的，應(yīng)選(B).

(5)設(shè)A,3是〃階可逆矩陣,滿足AB=A+B.則

①IA+8HAIIBI；②仍5尸=—

③(A-E)X=0只有零解;④3不可逆.

中正確的項(xiàng)數(shù)是

(A)1(B)2(C)3(D)4

[]

正確答案：C.

解析：因A,B滿足AB=A+B.

兩邊取行列式，顯然有IA+8I=IABI=IAII8I,(A)成立.

又A8=A+8,移項(xiàng)，提公因子得

AB-A=A(B-E)=B,

A(B—E)=B—E+E,

(A-￡)(B-E)=E.

故A-E,B-E都是可逆陣，且互為逆矩陣，從而知方程組（A-E）X=0只有零解，正

確.8—E不可逆是錯(cuò)誤的，又因(A—E)(3—E)=E,故(8-E)(A—E)=E,

從而有BA-A-3+E=E,BA=A+B,得A8=8A,從而有

(AB)T=(BA)T=4一七7成立.

故（1）、（2）、（3）是正確的，應(yīng)選（C）.

1

（6）已知線性方程組AX=%自+兒有解，其中A=-1

I

1

A=3,則左等于

-1

(A)1(B)-1(C)2(D)-2

[J

正確答案：D.

解析：將AX=k舟+瓦的增廣矩陣作初等行變換,

1-12k+\11-12k+\

[A\k^+j32]=-1-21k+3->0-103k+4

1-1-13k-I0-20k-2

11-12k+1

40-103k+4

000-5k-10

4乂=女用+￡2有解0廠（4）=?41攵用+￡2），得上=一2,故應(yīng)選（D）.

⑺設(shè)A、B、C為事件,P(ABC)>0,如果尸(ABIC)=P(AIC)P(5IC),則

(A)P(C\AB)^P(C\A)(B)P(CIAB)=P(CIB)

(C)P(6IAC)=P(8IA)(D)P(BIAC)=P(BIC)

[1

正確答案：D.

解析：己知P(A8IC)=P(AIC)P(8IC)意指：“在。發(fā)生的條件下，A與5獨(dú)立”.所以

“在C發(fā)生的條件下，A發(fā)生與否不影響8發(fā)生的概率”，即P(8IAC)=P(8IC),選擇

(D).

我們也可以通過(guò)計(jì)算來(lái)確定選項(xiàng).事實(shí)上：

P(A8IC)=P(AIC)P(8IC)

oP(AIC)P(BIAC)=P(AI0P(BIC)

O尸(3IAC)=P(BIC),選擇(D).

選項(xiàng)(A)、(C)表示：在4發(fā)生下，8與C獨(dú)立；選項(xiàng)(B)表示：在8發(fā)生下，A與C

獨(dú)立.

注：條件P(4BC)>0,除了保證各條件概率有意義外，還保證各項(xiàng)概率均不為零.

(8)設(shè)X1,X,,L,X,,是總體N(0,l)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記X=-￥%,..

n川

1?———

S2=——y(X,.-X)2,T=(X+1)(S2+1),則E(T)的值為

?-1,=1

(A)0(B)1(C)2(D)4

IJ

正確答案：C.

解析：E(X)=0,E(S2)=1,且無(wú),S?相互獨(dú)立.

所以E(T)=E(X+1)(52+1)=E(X+1)E(52+1)=1.(1+1)=2.

二、填空題：9?14小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.

(9)rVl+7^+(e-l：dt=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是_____.

JOJcosx

正確答案：1.

解析：設(shè)/(X)=「+「e-12dt,

力Jcosx

則/(0)=fe1力<0,/(-)=ggt2dt>0,

jr

由介值定理知，存在小€((),5)，使/(Xo)=O.

又r(x)=Jl+Y+e-c°"，-sinx,而Jl+f>1,le-cNxsinxKi,

故/'(x)>0,/(x)嚴(yán)格單調(diào)增加，/。)=0只有唯一的根玉).

(10)設(shè)/(x,y)存在一階偏導(dǎo)數(shù)，且/(1,1)=1,￡'(1,1)=2,fv'(l,l)=l.又

8(x)=/(x,/(xJ(x,x))),貝4。<1)=.

正確答案：7.

解析：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，逐層展開(kāi)有“(X)=/；+/；[/；+/；(//+/；)],

所以夕'(1)=2+1{2+>(2+1)]=7.

X*+0

(11)設(shè)y=y(x)是由sin(xy)=In1——-+1確定的隱函數(shù)，則>,，(0)=

y

正確答案：e-e4.

解析：在方程中令x=0可得O=ln—仁+1,y(O)=e2

y(0)

將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得cos(盯)(y+W)=」--X

x+ey

4

將x=0,y(0)=e2代入，有e2=J_—y(0)-e-e

ee

(12)塞級(jí)數(shù)"二生的收斂域?yàn)椤?

念二3”

正確答案：［—1,5)

解析：由公式，

所以R=3,收斂區(qū)間(2-3,2+3),即(一1,5).再考慮端點(diǎn)x=—l,x=5處.在x=—l

處，原級(jí)數(shù)成為，收斂;在x=5處.原級(jí)數(shù)成為工上，發(fā)散.所以應(yīng)填［-1,5).

n=l〃n=\〃

(13)設(shè)A是三階矩陣，有特征值4=1，4=-1，4=2.4是A的伴隨矩陣，E是三

階單位陣，則141=______.

_-2EAJ

正確答案:2".

3

解析：A有特征值4=1,2,=-1,4=2,故IAI=n4=-2,IA*I=I4|3T=4.

1=1

'()4*~|

從而有IAI=1A|6(-1)3.(一2)31A*1=211.

—2￡A

(14)已知隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=6=；,伏=1,2,3),當(dāng)X=k時(shí)隨機(jī)變量y在

o,yWO,

(0,k)上服從均勻分布，即尸{丫VylX=眉=，2，0<y<A,則P{y<2.5}=.

k

Lk<y.

17

正確答案：—.

18

31

解析：由題設(shè)知^P{X=?=1,P{X=女}=上.

*=i3

根據(jù)全概率公式得

3

P[Y<2.5}=^P[Y<2.5,X=k}

k=l

3

=￡P(guān)[Xk]P[Y<2.5\X^k}

k=l

」口+1+至]=經(jīng)17

33918

三、解答題：15?23小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

(15)設(shè)函數(shù)/(x)在點(diǎn)x=0處二階可導(dǎo)，且滿足lim(/里+匕立轡土)=3.

XX

求/(o)j'(o)與r(o).

解析：由題設(shè)可知

、1-A/COS2X../(x)1-Vcos2x.

.(z〃x)+--)=1理(于+/Ax2=0n,

../(x),1-Vcos2x/(X)l-Vcos2x

lim(——+----；----)=lim(—V2-+-----；----)?x=0,

?10XX10X'x

從而

/（。）=崛/3=阿小）+口號(hào)）-射匕守

「1-Vcos2x1-cos2x1門

=一lim---------=-lim-------------/=(),

*T°XXT°X1+<cos2x

/'(0)=lim〃x)-〃。)=]而上)

x->°x-01°x

「J(x)1-Jcos2x、1-Vcos2X「1-Vcos2x

=lim(―+----------)-lim----------=-lim----------

x->0x/,v->0/.v—>0x，

l-cos2x1

DX21+Vcos2x

12sin2x,

=——lim------=-1,

21。2x

y(x)-/(o)-/(o)x”力(尤)J

2lim——---------=2lim(-+—)

X20XX

”/(x),1-Jcos2x,11-Vcos2x

2hm(-+----------)+2lim(-------------)

XT°XX'1°XX

X,-X2-(1-Vcos2x)

6+2o1rim--------------

XT。尤J

2工2sin2x

=6+Am"一葩應(yīng)=6+4m型野一曲2》

2

31。x3l0X2yleOS2X

/2r.2x(\/cos2x-1)2x-sin

=6+-[lim----；------+lim-----；----]

3XT。X1。X

,2.2(Vcos2x-1)l-cos2x

=6+—r[llim-----------+Ivim--------]n

3a。xxf。x

/2r.2cos2x-1l-cos2x

=6+—[lim---/—―--------+lim--------nJ

3xf01+Jcos2xxzox

=6.

(16)計(jì)算二重積分J]x(y+lW，其中積分區(qū)域力由y軸與曲線

D

y=A/4-X2,y=y/2x-x2圍成.

解析：引入極坐標(biāo)&,6）滿足x=rcos6,y=rsin。,在極坐標(biāo)（r,。）中積分區(qū)域足可表示

7T

為力={(廠,。)104?！?,28$。4「42},于是

J「(y+l)db=Re、,

rcos0(rsin0+Y)rdr

D

rcfQ.

22

=rcos^sin^t/^fPdr4-Pcos^j^frJr

JbJ2cos0JOJ2cos?

“”’3

=—cossin1-cos40]d0^cos6?[l-cos30]d0=IJ,

f亍cosOsin^[1-cos40]d0=4j,(l一〃=4(；一,)=g

由于/=

江,3O7CQ17TR7T

J=p—cos^[l-cos30]d0^-([^cosffdd-pcos4^)=-(l一一^—)=---,

Jo33J)4)34-2-232

故“x(y+l)db=/+J=：+|一］=4—g

(17)設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需投入甲、乙兩種原料，x和y分別為甲、乙兩種原料的投入量(單

位：噸)，。為產(chǎn)出量，且生產(chǎn)函數(shù)為。=依")/,其中常數(shù)k〉0,a>Q,￡>0.已知

甲種原料每噸的價(jià)格為《(單?位：萬(wàn)元)，乙種原料每噸的價(jià)格為鳥(單位：萬(wàn)噸).如果

投入總價(jià)值為4(萬(wàn)元)的這兩種原料?，當(dāng)每種原料各投入多少噸時(shí)，才能獲得最大的產(chǎn)

出量？

解析：本題要求函數(shù)。=kxa”在條件件+鳥)-A=0下的最大值點(diǎn).用拉格朗日系數(shù)法,

ap

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)尸(x,y,/l)=kxy+A(P}x+P2y-A),

為求函數(shù)F(x,y,4)的駐點(diǎn),令

F'=kaxa-'yfi+^=0①

afi

<F^'=k/3xy-'+AP2=0②

F;'=Ptx+P2y-A=Q③

由①、②消去參數(shù)4可得竺=4,即)，=±四，代入③不難計(jì)算出唯一駐點(diǎn)

/3xP2P1a

AaAB

x=，y=.

(a+/?)《?(a+￡)g

因駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際問(wèn)題必存在最大產(chǎn)量，所以計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)投入總價(jià)值為A(萬(wàn)

A/y

元)的甲、乙兩種原料時(shí)，使產(chǎn)量。最大的甲、乙兩種原料的投入量分別是x=——--

(a+夕M

耶

(噸)(噸).

(2)外

，,,+v

(18)設(shè)/(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且A(M,v)+/；(M,v)=sin(M+v)e,求

)>(x)=e2/(x,x)所滿足的?階微分方程，并求其通解.

解析：由y(x)=e~2xf(x,x),有

)?x)=-2e""(x,x)+e-2*[/：(x,x)+/2'(x,x)]，

在條件/；'&#)+/：(“，v)=sin(M+v)e""，即/|'0,%)+力'(*,》)=5淪("+丫)6""，中令

瓦=x,v=x得f：(x,x)+于；(x,x)=sin(2x)e”,

于是y(x)滿足一階線性微分方程y(x)+2y(x)=sin2x.

通解為y(x)=e~2x[jsinlx-e~'dx+c],

由分部積分公式，可得jsin2x-e2xdx=(sin2x-cos2x)e2x,

1..

所以y(x)=—(sin2x-cos2x)+cex.

4

注：也可由滿足的偏微分方程，直接得到y(tǒng)(x)滿足的常微分方程.

由f',(?,v)+f'(?,v)=sin(?+v)eu+l',

令“=x,v=x,上式轉(zhuǎn)化為常微分方程—/(x,x)=sin(2x)?e2x,

dx

所以幺(y(x)e2、)=sin(2x)"x,

dx

得y(x)滿足的微分方程y(x)+2y(x)=sin2x.

0a+b

(19)設(shè)/(x)在區(qū)間口力]上可導(dǎo)，且滿足/S>cosA=——產(chǎn)f(x)-cosxdx.

b-a2,1

求證至少存在一點(diǎn).G(a,b)，使得尸⑹=fQtan彳.

證明：由于/(由在［a,句上可導(dǎo)，知/(x)在［a,們上連續(xù)，從而/(x)=/(x)cosx在

［見(jiàn)"“上連續(xù).由積分中值定理，知存在點(diǎn)?！?。,色3)使得

2,2

。.〃十一

F(b)=----p-f(x)-cosxdx

b-a

2~、，a+b、

=-------P-----a)

b-a2

二尸⑹

在在夕上,由羅爾定理得至少存在一點(diǎn)Je(c,b)u(。力)使

尸?=/'?cosoe)sin-0,

即廣(為=re),tan九安(血

(20)設(shè)四維向量組%=(1,1,4,2尸，%=(——2,",4=(-3,-1,冬-9尸,

尸=(l,3,10,a+b)T.問(wèn):

(I)當(dāng)。力取何值時(shí)，/不能由外,4，%線性表出；

(H)當(dāng)。力取何值時(shí)，/能由%,a/內(nèi)線性表出，并寫出此時(shí)的表達(dá)式.

解析：設(shè)百/+士陽(yáng)+0a3=P，對(duì)增廣矩陣A二(%,%,%I尸)作初等行變換得

11-3111-31

1-1-1301-1-1

A=—>

4-2a1000a+60

2b-9a+b00b-5a+2b-4

(I)當(dāng)aw-6且a+2%w4時(shí),

1]-31

01—1—1

A-?

00a+60

000a+2b—4

r(A)=3,r(A)=4.方程組無(wú)解，/?不能由四,七,內(nèi)線性表出.

(H)當(dāng)。=—6時(shí),

11-31

01—1—1

4-

00h-52/7-10

0000

若b=5,方程組有無(wú)窮多解.

令犬3=r,Wx2=Z—1,X]=2/+2)即,=(2f+2)%+(f—I)。?，，為任意常數(shù).

若bW5,方程組有唯一解須二6.七=1，&二2，即/=6al+%+2%-

(21)設(shè)二次型f(X],%,尤3)=Ax=3婷+-4X,X2-8.￥^3-4x2x3其中-2是

二次型矩陣A的一個(gè)特征值.

(1)試用正交變換將二次型/化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用正交變換；

(H)求/在條件X：+々2+$2=1下的最小值，并求最小值點(diǎn)(』,f,XJ；

(HI)如果A*+LE是正定矩陣，求「的取值.

3—2—4

解析：(I)二次型/的矩陣A=-2a一2

—4-23

由2=-2是A的特征值，有

-524

l-2E-A\=2-2-a2=-9(tz-6)=0

42-5

得至(Ia=6.

由矩陣A的特征多項(xiàng)式

A-324

\AE-A\=2A-a2=U-7)2U+2)

42A-3

得到矩陣A的特征值是4=%=7,4=—2

對(duì)4二7,解齊次方程組(7￡-A)x=0得基礎(chǔ)解系

4二(1,-2,0)/，%=

對(duì)4=—2,解齊次方程組(-2E-A)x=O得基礎(chǔ)解系%=(2,1,2/.

因?yàn)閷?，的不正交，故需Schmidt正交化，有

1

(%⑷

B\=a、=-2P2-a2—

0(AA)

再單位化，得

1

1

-2/2

0

那么令。=(%,%,%)=,有

172

xAx=y"Ay=+7%2-2J3

(II)條件=1，即X?X=1.而

x'X=(QyY(gy)=yTQTQy=yTy

可知?在條件+々2+=1的極小值，即f在條件以2+%?+=1下的極小值.

T2

由于/(七,々,x.J=xAx=)/Ay=7y「+7%2-2q之一2()；+y2+y/),

所以八丘尸一2.而極小值點(diǎn)是

142

3&3

忑0

222

0±

飛3亞3

±1

2

o52

3岳33

(III)因?yàn)榫仃嘇的特征值:7,7,2所以IAI=-98，那么A"的特征值為：-14,-14,49.從而

A*+小的特征值為％-14,%—14,%+49.因此,A>14時(shí)，正定.

(22)設(shè)兩隨機(jī)變量(X,y)在區(qū)域。上均勻分布，其中。={(x,y):lxl+l)，Kl}.又設(shè)

U=X+Y,V^X-Y,試求：

(1)U與V的概率密度力,，(〃)與fv(v)；

(II)U與V的協(xié)方差cov(U,V)的相關(guān)系