§3.5厄密算符的本征值與本征函數(shù)（一）厄密算符的平均值（二）厄密算符的本征方程（三）厄密算符本征函數(shù)的正交性（四）實(shí)例定理I：體系任何狀態(tài)ψ下，其厄密算符的平均值必為實(shí)數(shù)。證：逆定理：在任何狀態(tài)下，平均值均為實(shí)數(shù)的算符必為厄密算符。根據(jù)假定在任意態(tài)下有：證：取ψ=ψ1+cψ2，其中ψ1

、ψ2

也是任意態(tài)的波函數(shù)，c是任意常數(shù)。（一）厄密算符的平均值因?yàn)閷?duì)任意波函數(shù)左式=右式令c=1，得：令c=i，得：二式相加得：二式相減得：所得二式正是厄密算符的定義式，故逆定理成立。實(shí)驗(yàn)上的可觀測(cè)量當(dāng)然要求在任何狀態(tài)下平均值都是實(shí)數(shù)，因此相應(yīng)的算符必須是厄密算符。所以左右兩邊頭兩項(xiàng)相等相消，于是有：（1）漲落因?yàn)槭嵌蛎芩惴貫閷?shí)數(shù)因而也是厄密算符厄密算符平方的平均值一定大于等于零于是有：證明：（二）厄密算符的本征方程定理II：厄密算符的本征值必為實(shí)。當(dāng)體系處于F的本征態(tài)ψn時(shí)，則每次測(cè)量結(jié)果都是Fn。 由本征方程可以看出，在ψn（設(shè)已歸一）態(tài)下證（3）量子力學(xué)基本假定III根據(jù)定理I(I)量子力學(xué)中的力學(xué)量用線性厄密算符表示。

若力學(xué)量是量子力學(xué)中特有的(如宇稱、自旋等），將由量子力學(xué) 本身定義給出。

若力學(xué)量在經(jīng)典力學(xué)中有對(duì)應(yīng)的量則在直角坐標(biāo)系下通過如下對(duì)應(yīng) 方式，改造為量子力學(xué)中的力學(xué)量算符：(II)測(cè)量力學(xué)量F時(shí)所有可能出現(xiàn)的值，都對(duì)應(yīng)于線性厄密算符F的本征值Fn即測(cè)量值是本征值之一），該本征值由力學(xué)量算符F的本征方程給出：（1）正交性定理III：厄密算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交證：設(shè)取復(fù)共軛，并注意到Fm為實(shí)。兩邊右乘φn后積分二式相減得：若m≠Fn，則必有：[證畢]（2）分立譜、連續(xù)譜正交歸一表示式1.分立譜正交歸一條件分別為：2.連續(xù)譜正交歸一條件表示為：3.正交歸一系滿足上式的函數(shù)系φn或φλ稱為正交歸一（函數(shù)）系。（三）厄密算符的本征函數(shù)的正交性（4）簡(jiǎn)并情況上面證明厄密算符本征函數(shù)的正交性時(shí)，曾假設(shè)這些本征函數(shù)屬于不同本征值，即非簡(jiǎn)并情況。如果F的本征值Fn是f度簡(jiǎn)并的，則對(duì)應(yīng)Fn有f個(gè)本征函數(shù)：φn1,φn2,...,φnf

滿足本征方程：一般說來，這些函數(shù)并不一定正交?？梢宰C明由這f個(gè)函數(shù)可以線性組合成f個(gè)獨(dú)立的新函數(shù)，它們?nèi)詫儆诒菊髦礔n且滿足正交歸一化條件。但是證明由這f個(gè)φni線性組合成f個(gè)新函數(shù)ψnj可以滿足正交歸一化條件：證明分如下兩步進(jìn)行1.Ψnj是本征值Fn的本征函數(shù)。2.滿足正交歸一條件的f個(gè)新函數(shù)ψnj可以組成。1.ψnj是本征值Fn的本征函數(shù)。2.滿足正交歸一條件的f個(gè)新函數(shù)ψnj可以組成。方程的歸一化條件有f個(gè)，正交條件有f(f-1)/2個(gè)，所以共有獨(dú)立方程數(shù)為二者之和等于f(f+1)/2。為此只需證明線性疊加系數(shù)Aji的個(gè)數(shù)f2大于或等于正交歸一條件方程個(gè)數(shù)即可。算符F本征值Fn簡(jiǎn)并的本質(zhì)是：當(dāng)Fn

確定后還不能唯一的確定狀態(tài)，要想唯一的確定狀態(tài)還得尋找另外一個(gè)或幾個(gè)力學(xué)量算符，F(xiàn)算符與這些算符兩兩對(duì)易，其本征值與Fn一起共同確定狀態(tài)。既然厄密算符本征函數(shù)總可以取為正交歸一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函數(shù)時(shí)，都是正交歸一化的，即組成正交歸一系。因?yàn)閒2-f(f+1)/2=f(f-1)/2≥0，所以，方程個(gè)數(shù)少于待定系數(shù)Aji的個(gè)數(shù)，因而，我們有多種可能來確定這f2個(gè)系數(shù)使上式成立。f個(gè)新函數(shù)Ψnj的確是算符F對(duì)應(yīng)于本征值Fn的正交歸一化的本征函數(shù)。（2）線性諧振子能量本征函數(shù)組成正交歸一系（1）動(dòng)量本征函數(shù)組成正交歸一系（3）角動(dòng)量本征函數(shù)組成正交歸一系1.Lz本征函數(shù)2.L2本征函數(shù)（4）氫原子波函數(shù)組成正交歸一系（四）實(shí)例

輔導(dǎo)課程八（一）力學(xué)量的平均值§3.5算符與力學(xué)量的關(guān)系（二）例題力學(xué)量平均值就是指多次測(cè)量的平均結(jié)果，如測(cè)量長(zhǎng)度x，測(cè)了10次，其中4次得x1，6次得x2，則10次測(cè)量的平均值為：同樣，在任一態(tài)ψ(x)中測(cè)量某力學(xué)量F的平均值（在理論上）可寫為：這兩種求平均值的公式都要求波函數(shù)是已歸一化的此式等價(jià)于以前的平均值公式：（一）力學(xué)量的平均值如果波函數(shù)未歸一化則例1：已知空間轉(zhuǎn)子處于如下狀態(tài)試問：（1）Ψ是否是L2

的本征態(tài)？ （2）Ψ是否是Lz

的本征態(tài)？ （3）求L2的平均值；（4）在Ψ

態(tài)中分別測(cè)量L2

和Lz

時(shí)得到的可能值及其相應(yīng)的幾率。解：

Ψ

沒有確定的L2的本征值，故Ψ

不是L2

的本征態(tài)。Ψ是Lz

的本征態(tài)，本征值為

。（3）求L2的平均值方法I驗(yàn)證歸一化：歸一化波函數(shù)方法II（4）例2：（《周》）3.6設(shè)t=0時(shí)，粒子的狀態(tài)為

(x)=A[sin2kx+(1/2)coskx]，求粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能。

解：可寫成單色平面波的疊加比較二式，因單色平面波動(dòng)量有確定值：或：從而得：歸一化后。|c(pi)|2

表示粒子具有動(dòng)量為pi

的幾率，于是就可以計(jì)算動(dòng)量和動(dòng)能的平均值了。（1）動(dòng)量平均值（2）動(dòng)能平均值§3.6共同本征函數(shù)（一）兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件（二）兩算符對(duì)易的物理含義（三）力學(xué)量完全集合（一）兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件體系處于任意狀態(tài)

（x）時(shí)，力學(xué)量F一般沒有確定值。如果力學(xué)量F有確定值，

（x）必為F的本征態(tài)，即如果有另一個(gè)力學(xué)量G在

態(tài)中也有確定值，則

必也是G的一個(gè)本征態(tài)，即結(jié)論：當(dāng)在

態(tài)中測(cè)量力學(xué)量F和G時(shí)，如果同時(shí)具有確定值，那么

必是二力學(xué)量共同本征函數(shù)。（二）兩算符對(duì)易的物理含義是特定函數(shù)，非任意函數(shù)也！例如：

=0的態(tài)，Y

m=Y00LxLz

同時(shí)有確定值。但是，如果兩個(gè)力學(xué)量的共同本征函數(shù)不止一個(gè)，而是一組且構(gòu)成完備系，此時(shí)二力學(xué)量算符必可對(duì)易?？疾烨懊娑剑憾ɡ恚喝魞蓚€(gè)力學(xué)量算符有一組共同完備 的本征函數(shù)系，則二算符對(duì)易。證：由于

n

組成完備系，所以任意態(tài)函數(shù)

(x)可以按其展開：則因?yàn)?/p>

(x)是任意函數(shù)逆定理：如果兩個(gè)力學(xué)量算符對(duì)易，則此二算符 有組成完備系的共同的本征函數(shù)。證：考察：

n也是G的本征函數(shù)，同理F的所有本征函數(shù)

n

（n=1，2，…)也都是G的本征函數(shù),因此二算符具有共同完備的本征函數(shù)系.僅考慮非簡(jiǎn)并情況即：與

n

只差一常數(shù)Gn定理：一組力學(xué)量算符具有共同完備本征函數(shù)系的充要條件是這組算符兩兩對(duì)易。例1：例2：例3：例4：（三）力學(xué)量完全集合（1）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對(duì)易的力學(xué)量算符的最?。〝?shù)目）集合稱為力學(xué)量完全集。例1：三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需要三個(gè)兩兩對(duì)易的力學(xué)量：例2：氫原子，完全確定其狀態(tài)也需要三個(gè)兩兩對(duì)易的力學(xué)量：例3：一維諧振子，只需要一個(gè)力學(xué)量就可完全確定其狀態(tài)：（2）力學(xué)量完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般與體系自由度數(shù)相同。（3）由力學(xué)量完全集所確定的本征函數(shù)系，構(gòu)成該體系態(tài)空間的一組完備的本征函數(shù)，即體系的任何狀態(tài)均可用它展開。§3.7測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系（一）測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)（二）坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系（三）角動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系（一）測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)（1）引由上節(jié)討論表明，兩力學(xué)量算符對(duì)易則同時(shí)有確定值；若不對(duì)易，一般來說，不存在共同本征函數(shù)，不同時(shí)具有確定值。問題：兩個(gè)不對(duì)易算符所對(duì)應(yīng)的力學(xué)量在某一狀態(tài)中究竟不確定到什么程度？即不確定度是多少？不確定度：測(cè)量值Fn

與平均值<F>的偏差的大小。（1）測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)證：II測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)設(shè)二厄密算符對(duì)易關(guān)系為：是算符或普通數(shù)最后有：對(duì)任意實(shí)數(shù)

均成立由代數(shù)二次式理論可知，該不等式成立的條件是系數(shù)必須滿足下列關(guān)系：兩個(gè)不對(duì)易算符均方偏差關(guān)系式測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系均方偏差其中：（二）坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系表明：坐標(biāo)與動(dòng)量的均方偏差不能同時(shí)為零，其一越小， 另一就越大。（1）測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系（2）線性諧振子的零點(diǎn)能振子能量被積函數(shù)是x的奇函數(shù)

n

為實(shí)

處

n=0于是：二均方偏差不能同時(shí)為零，故E最小值也不能是零。為求E的最小值，取式中等號(hào)。則：求極值：解得：因均方偏差不能小于零，故取正零點(diǎn)能就是測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系所要求的最小能量例1：利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系證明，在Lz本征態(tài)Ylm下， 〈Lx〉=〈Ly〉=0證：由于在Lz