2024屆山東省文登一中數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．對(duì)任意復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)滿(mǎn)足，且，當(dāng)時(shí)，，則=A．?1 B．0C．1 D．23．已知,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．B．．C．D．4．下列等式中，錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．5．函數(shù)（，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A． B． C． D．6．展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A．30 B．15 C．0 D．-157．l：與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為A．6 B．1 C． D．38．已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，若四邊形為矩形，記直線(xiàn)的斜率為，則的最小值為（）．A．4 B． C．2 D．9．已知是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，都有成立，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．10．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與年產(chǎn)量（單位：萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系式為，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為A．13萬(wàn)件 B．11萬(wàn)件C．9萬(wàn)件 D．7萬(wàn)件11．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，，若在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的范圍是()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線(xiàn)和橢圓焦點(diǎn)相同，則該雙曲線(xiàn)的方程為_(kāi)_________．14．已知函數(shù)的零點(diǎn)，則整數(shù)的值為_(kāi)_____.15．對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____.16．若曲線(xiàn)(為常數(shù))不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）天水市第一次聯(lián)考后，某校對(duì)甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀．統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下的列聯(lián)表，且已知在甲、乙兩個(gè)文科班全部110人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為.

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計(jì)

甲班10乙班30合計(jì)110（1）請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表；（2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按99.9%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”；（3）若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進(jìn)行編號(hào)，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的序號(hào)．試求抽到9號(hào)或10號(hào)的概率．參考公式與臨界值表：．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82818．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)與的圖像上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，已知在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.19．（12分）如圖，在四邊形中，.（1）求的余弦值；（2）若，求的長(zhǎng).20．（12分）我們稱(chēng)點(diǎn)到圖形上任意一點(diǎn)距離的最小值為點(diǎn)到圖形的距離，記作（1）求點(diǎn)到拋物線(xiàn)的距離；（2）設(shè)是長(zhǎng)為2的線(xiàn)段，求點(diǎn)集所表示圖形的面積；（3）試探究：平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)到定圓的距離與到定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡．21．（12分）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，.（Ⅰ）求及邊的值；（Ⅱ）求的值.22．（10分）如圖，在正四棱錐中，為底面的中心，已知，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，以為基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）若為的中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（2）設(shè)二面角的平面角為，且，試判斷點(diǎn)的位置．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：由題可知，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及基本概念逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得到正確答案.詳解：已知?jiǎng)t選項(xiàng)A，，錯(cuò)誤.選項(xiàng)B，，正確.選項(xiàng)C，，錯(cuò)誤.選項(xiàng)D，，不恒成立，錯(cuò)誤.故選B.點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)模的計(jì)算.2、C【解題分析】

通過(guò)函數(shù)關(guān)系找到函數(shù)周期，利用周期得到函數(shù)值.【題目詳解】由，得，所以．又，所以，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)所以故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的周期，利用函數(shù)關(guān)系找到函數(shù)周期是解題的關(guān)鍵.3、C【解題分析】試題分析：，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，同理當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，顯然不等式有正數(shù)解（如，（當(dāng)然可以證明時(shí)，）），即存在，使，因此C錯(cuò)誤．考點(diǎn)：存在性量詞與全稱(chēng)量詞，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值、函數(shù)的單調(diào)性．4、C【解題分析】分析：計(jì)算每一選項(xiàng)的左右兩邊，檢查它們是否相等.詳解：通過(guò)計(jì)算得到選項(xiàng)A,B,D的左右兩邊都是相等的.對(duì)于選項(xiàng)C,,所以選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的.故答案為C.點(diǎn)睛：本題主要考查排列組合數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和基本計(jì)算能力.5、A【解題分析】

函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，存在唯一的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，由，，可得函數(shù)與函數(shù)唯一交點(diǎn)為，的單調(diào)，根據(jù)單調(diào)性得到與的大致圖象，從圖形上可得要使函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，則，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】解：函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，存在唯一的零點(diǎn)等價(jià)于：函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，，，函數(shù)與函數(shù)唯一交點(diǎn)為，又，且，，在上恒小于零，即在上為單調(diào)遞減函數(shù)，又是最小正周期為2，最大值為的正弦函數(shù)，可得函數(shù)與函數(shù)的大致圖象如圖：要使函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，則，，，，解得，又，實(shí)數(shù)的范圍為．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了零點(diǎn)問(wèn)題，以及函數(shù)單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是把唯一零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)圖象進(jìn)行分析研究，屬于難題．6、C【解題分析】

根據(jù)的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式找出中函數(shù)含項(xiàng)的系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)做差即可．【題目詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，故中函數(shù)含項(xiàng)的系數(shù)是和項(xiàng)的系數(shù)是所以展開(kāi)式中的系數(shù)為-=0【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，熟練掌握二項(xiàng)式定理是解本題的關(guān)鍵．7、D【解題分析】

先求出直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再求三角形的面積得解.【題目詳解】當(dāng)x=0時(shí)，y=2,當(dāng)y=0時(shí)，x=3,所以三角形的面積為.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.8、B【解題分析】

設(shè)直線(xiàn)方程并與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立,根據(jù),借助韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得.根據(jù),相互平分,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,即可求得,根據(jù)基本不等式即可求得最小值.【題目詳解】設(shè),,設(shè)直線(xiàn):將直線(xiàn)與聯(lián)立方程組,消掉:得:由韋達(dá)定理可得:┄①,┄②，故,可得:┄③，，是上的點(diǎn),,可得:┄④由③④可得:,結(jié)合②可得:和相互平分,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，結(jié)合①②可得:,，故，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)(對(duì)號(hào)函數(shù))可知時(shí),.(當(dāng)且僅當(dāng))時(shí),.(當(dāng)且僅當(dāng))所以.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題,通過(guò)聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程的方程組,應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式,確定函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.9、B【解題分析】

通過(guò)可判斷函數(shù)在上為增函數(shù)，再利用增函數(shù)的性質(zhì)即可得到，，的大小關(guān)系.【題目詳解】由于當(dāng)時(shí)，都有成立，故在上為增函數(shù)，,,而，所以，故答案為B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)值大小，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力和計(jì)算能力，難度中等.10、C【解題分析】解：令導(dǎo)數(shù)y′=-x2+81＞0，解得0＜x＜9；令導(dǎo)數(shù)y′=-x2+81＜0，解得x＞9，所以函數(shù)y=-x3+81x-234在區(qū)間（0，9）上是增函數(shù)，在區(qū)間（9，+∞）上是減函數(shù)，所以在x=9處取極大值，也是最大值，故選C．11、A【解題分析】

由正視圖和側(cè)視圖得三棱錐的高，由俯視圖得三棱錐底面積，再利用棱錐的體積公式求解即可.【題目詳解】由三棱錐的正視圖和側(cè)視圖得三棱錐的高，由俯視圖得三棱錐底面積，所以該三棱錐的體積.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三視圖和棱錐的體積公式，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解題分析】

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在有且僅有一個(gè)根，考慮函數(shù)，的單調(diào)性即可得解.【題目詳解】由題，所以不是函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即在有且僅有一個(gè)根，即在有且僅有一個(gè)根，考慮函數(shù)，由得：，由得：所以函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，，，，要使在有且僅有一個(gè)根，即或則的范圍是故選：B【題目點(diǎn)撥】此題考查根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵在于等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)單調(diào)性解決問(wèn)題，常用分離參數(shù)處理問(wèn)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：根據(jù)題意，求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)可得若雙曲線(xiàn)和橢圓焦點(diǎn)相同，則有，解得m的值，將m的值代入雙曲線(xiàn)的方程，即可得答案.詳解：根據(jù)題意，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為，若雙曲線(xiàn)和橢圓焦點(diǎn)相同，則有，解得，則雙曲線(xiàn)的方程為.故答案為.點(diǎn)睛：本題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式.14、3【解題分析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知若存在零點(diǎn)則零點(diǎn)唯一，由零點(diǎn)存在定理可判斷出零點(diǎn)所在區(qū)間，從而求得結(jié)果.【題目詳解】由題意知：在上單調(diào)遞增若存在零點(diǎn)，則存在唯一一個(gè)零點(diǎn)又，由零點(diǎn)存在定理可知：，則本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、或【解題分析】

當(dāng)時(shí)，取，滿(mǎn)足，考慮的情況，討論，，，四種情況，分別計(jì)算得到答案.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，取，滿(mǎn)足，成立；現(xiàn)在考慮的情況：當(dāng)，即時(shí)，，只需滿(mǎn)足恒成立，；當(dāng)，即時(shí)，，只需滿(mǎn)足恒成立，或恒成立，無(wú)解；當(dāng)，即時(shí)，，只需滿(mǎn)足恒成立，無(wú)解；當(dāng)，即時(shí)，，只需滿(mǎn)足恒成立，；綜上所述：或.故答案為：或.【題目點(diǎn)撥】本題考查了恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生的分類(lèi)討論的能力，計(jì)算能力和應(yīng)用能力.16、【解題分析】分析：令y′≥1在（1，+∞）上恒成立可得a，根據(jù)右側(cè)函數(shù)的值域即可得出a的范圍．詳解：y′=+2ax，x∈（1，+∞），∵曲線(xiàn)y=lnx+ax2（a為常數(shù)）不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線(xiàn)，∴y′=≥1在（1，+∞）上恒成立，∴a≥﹣恒成立，x∈（1，+∞）．令f（x）=﹣，x∈（1，+∞），則f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，又f（x）=﹣＜1，∴a≥1．故答案為：．點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問(wèn)題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)甲班105060乙班203050合計(jì)3080110（2）按99.9%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”（3）．【解題分析】

試題分析：思路分析：此類(lèi)問(wèn)題（1）（2）直接套用公式，經(jīng)過(guò)計(jì)算“卡方”，與數(shù)表對(duì)比，作出結(jié)論．（3）是典型的古典概型概率的計(jì)算問(wèn)題，確定兩個(gè)“事件”數(shù)，確定其比值．解：（1）4分優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)甲班105060乙班203050合計(jì)3080110（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2≈7.487＜10.1．因此按99.9%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”（3）設(shè)“抽到9或10號(hào)”為事件A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為（x，y）．所有的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6）共36個(gè)．事件A包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）（6，4）共7個(gè)．所以P(A)=，即抽到9號(hào)或10號(hào)的概率為．考點(diǎn)：“卡方檢驗(yàn)”，古典概型概率的計(jì)算．點(diǎn)評(píng)：中檔題，獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，主要是通過(guò)計(jì)算“卡方”，對(duì)比數(shù)表，得出結(jié)論．古典概型概率的計(jì)算中，常用“樹(shù)圖法”或“坐標(biāo)法”確定事件數(shù)，以防重復(fù)或遺漏．18、(1)(2)見(jiàn)證明【解題分析】

（1）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在有解，即在上有解，通過(guò)求解的最小值得到；（2）通過(guò)極值點(diǎn)為可求得，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式可得：；通過(guò)求證可證得，進(jìn)而可證得結(jié)論.【題目詳解】（1）函數(shù)與的圖像上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)即的圖像與函數(shù)的圖像有交點(diǎn)即在有解，即在上有解設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，即（2），在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且且，即設(shè)，則要證，即證只需證明，即證明設(shè)，則則在上單調(diào)遞增，即【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決函數(shù)中的交點(diǎn)問(wèn)題、恒成立問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是能將交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槟艹闪?wèn)題、不等式的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立的問(wèn)題，從而通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式，找到合適的函數(shù)模型來(lái)通過(guò)最值解決問(wèn)題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）先利用余弦定理求出BC=2,再利用正弦定理求出，再求的余弦值；（2）先求出,再利用正弦定理求AD得解.【題目詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，即，所?由正弦定理得，所以，又因?yàn)?，所?（2）由（1）得，所以，所以，所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）（3）見(jiàn)解析【解題分析】

(1)設(shè)A是拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，先求出|PA|的函數(shù)表達(dá)式，再求函數(shù)的最小值得解；(2）由題意知集合所表示的圖形是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和兩個(gè)半徑是1的半圓，再求出面積；(3)將平面內(nèi)到定圓的距離轉(zhuǎn)化為到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離，再分點(diǎn)現(xiàn)圓的位置關(guān)系，結(jié)合圓錐曲線(xiàn)的定義即可解決．【題目詳解】(1)設(shè)A是拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則，因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，.點(diǎn)到拋物線(xiàn)的距離.（2）設(shè)線(xiàn)段的端點(diǎn)分別為，，以直線(xiàn)為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，，點(diǎn)集由如下曲線(xiàn)圍成：，，，，，，，，集合所表示的圖形是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和兩個(gè)半徑是1的半圓，其面積為．(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)不與圓心重合，連接并延長(zhǎng)，交于圓上一點(diǎn)，由題意知，，所以，即的軌跡為一橢圓；如圖．如果是點(diǎn)在圓外，由，得，為一定值，即的軌跡為雙曲線(xiàn)的一支；當(dāng)點(diǎn)與圓心重合，要使，則必然在與圓的同心圓，即的軌跡為一圓.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查新定義的理解和應(yīng)用，考查拋物線(xiàn)中的最值問(wèn)題，考查軌跡問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.21、(1)，或；(2).【解題