濮陽(yáng)市2021-2022學(xué)年下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù)的模．【詳解】解：∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模的求法，屬于基礎(chǔ)題．2.下列命題錯(cuò)誤的是（）A.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1B.設(shè)，且，則C.線性回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心D.在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬帶越狹窄，其模型擬合的精度越高【答案】B【解析】【分析】利用相關(guān)關(guān)系判斷A；由正態(tài)分布的性質(zhì)判斷B；由線性回歸直線的性質(zhì)判斷C；由殘差的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)意義可知，A正確；對(duì)于B，由，知，即概率密度函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)線性回歸直線的性質(zhì)可知，C正確；對(duì)于D，根據(jù)殘差圖的意義可知，D正確；3.已知，則（）A.10 B.20 C.40 D.80【答案】C【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理求出答案即可.【詳解】因?yàn)樗怨蔬x：C4.已知，，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A.有最小值4 B.有最小值C.有最大值 D.有最大值2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知，結(jié)合基本不等式分別判斷選項(xiàng)即可，但需注意取最值時(shí)的條件.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．5.某班級(jí)要從5名男生?3名女生中選派4人參加學(xué)校組織的志愿者活動(dòng)，如果要求至少有2名女生參加，那么不同的選派方案有（）A.20種 B.30種 C.35種 D.65種【答案】C【解析】【分析】分女生人數(shù)2人和3人，利用組合及計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算.【詳解】女生人數(shù)2人和3人，女生2人時(shí)，需從男生中選2人，女生3人時(shí)，需從男生中選1人，所以不同選派方案的種數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用，關(guān)鍵是要注意先分類后分步的思想.6.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則“”是“為銳角三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)，再利用充分條件與必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】在中，，則，又，所以，則有，又，所以，故角B為銳角.當(dāng)B為銳角時(shí)，不一定是銳角三角形；當(dāng)為銳角三角形時(shí)，B為銳角，故“”是“為銳角三角形”的必要不充分條件.故選：B7.電視機(jī)的使用壽命與顯像管開關(guān)的次數(shù)有關(guān)，某品牌的電視機(jī)的顯像管開關(guān)了次還能繼續(xù)使用的概率是，開關(guān)了次后還能繼續(xù)使用的概率是，則已經(jīng)開關(guān)了次的電視機(jī)顯像管還能繼續(xù)使用到次的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】記事件電視機(jī)的顯像管開關(guān)了次還能繼續(xù)使用，記事件電視機(jī)的顯像管開關(guān)了次后還能繼續(xù)使用，利用條件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】記事件電視機(jī)的顯像管開關(guān)了次還能繼續(xù)使用，記事件電視機(jī)的顯像管開關(guān)了次后還能繼續(xù)使用，則，，所以，已經(jīng)開關(guān)了次的電視機(jī)顯像管還能繼續(xù)使用到次的概率為.故選：D.8.在中內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則當(dāng)取最大值時(shí)，外接圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得到時(shí)，取最大值，求得，利用正弦定理求得，即可求得外接圓的面積.【詳解】由題意，在中，滿足，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即時(shí)，上式取得最大值，此時(shí)取最大值，又由，可得，因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)?，利用正弦定理可得，所以，所以外接圓的面積為.故選：C.9.如圖，已知橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，，短軸端點(diǎn)為，，焦點(diǎn)為，，長(zhǎng)半軸為2，短半軸為，將左邊半個(gè)橢圓沿短軸進(jìn)行翻折，則在翻折過(guò)程中，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.與短軸所成角為B.與直線所成角取值范圍為C.與平面所成角最大值為D.存在某個(gè)位置，使得與垂直【答案】D【解析】【分析】求出選項(xiàng)中異面直線所成的角和直線與平面所成的角，然后判斷．【詳解】由已知，則，，A．翻折過(guò)程中，與短軸所成的角大小不變，為，A正確；B．翻折過(guò)程中，原來(lái)的點(diǎn)用表示，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，不妨取，與平行一個(gè)單位向量為，設(shè)與所成的角為，則，因?yàn)椋瑒t，所以，或，在平面上時(shí)，是最小，當(dāng)翻折到平面與垂直時(shí)，即時(shí)，所成的角最大為，B正確；C．翻折過(guò)程中，由于始終與平面垂直，從而平面與平面垂直，因此在平面上的射影是，所以與平面所成的角為，設(shè)翻折過(guò)程中，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，C正確；D．在B的圖形中，，易知，，顯然，即與不可能垂直，D錯(cuò)．故選項(xiàng)A，B，C均正確．故選：D．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查異面直線所成的角，考查直線與平面所成的角，在求線面角時(shí)關(guān)鍵是找出直線與平面所成的角，而求異面直線所成角時(shí)可以建立空間直角坐標(biāo)系，用直線的方向向量的夾角去計(jì)算異面直線所成角，這樣易于建立函數(shù)式，從而得最大角，最小角．用向量研究垂直更加方便．10.天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，以此類推已知1949年為“己丑”年，那么到中華人民共和國(guó)成立100周年時(shí)為（）A.甲申年 B.癸巳年 C.己卯年 D.己巳年【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，天干和地支的年份分別是以和為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：由題意可知，天干是以為公差的等差數(shù)列，地支是以為公差的等差數(shù)列，從1949到中華人民共和國(guó)成立100周年時(shí)，且1949年為“己丑”年，以1949年的天干和地支分別為首項(xiàng)，則，則到中華人民共和國(guó)成立100周年時(shí)的天干為已，，則到中華人民共和國(guó)成立100周年時(shí)的地支為巳，所以到中華人民共和國(guó)成立100周年時(shí)為己巳年.故選：D.11.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在正方體的對(duì)角線(不含端點(diǎn))上.設(shè)，若為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，【詳解】由題設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法計(jì)算，利用不是平角，可得為鈍角等價(jià)于，即，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則有∴，∴設(shè)，∴，，由圖知不是平角，∴為鈍角等價(jià)于，∴，∴，解得∴的取值范圍是故選：C.12.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知，函數(shù)圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，利用直線與曲線和曲線相切時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的值，然后利用數(shù)形結(jié)合思想可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象與直線的圖象如下圖所示：①當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，由，可得，，解得，由圖象可知，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，則，則；②當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，由得，，解得.③當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，.由圖象可知，當(dāng)直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，一般轉(zhuǎn)化為兩曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，同時(shí)要注意直線與曲線相切的臨界位置的分析，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.寫出一個(gè)漸近線的傾斜角為且焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程___________.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根據(jù)已知條件寫出一個(gè)符合條件的方程即可.【詳解】如，焦點(diǎn)在y軸上，令，得漸近線方程為，其中的傾斜角為.故答案為：(答案不唯一).14.“開車不喝酒，喝酒不開車”，為了營(yíng)造良好的交通秩序，全國(guó)各地交警都大力宣傳和查處“酒駕行為”.某地交警在設(shè)卡查處“酒駕行為”時(shí)碰到甲?乙?丙三位司機(jī)，司機(jī)甲說(shuō)：我喝酒了.司機(jī)乙說(shuō)：我沒有喝酒.司機(jī)丙說(shuō)：甲沒有喝酒.若這三位司機(jī)身上都有酒味，但只有一人真正喝酒了，三人中只有一人說(shuō)的是真話，請(qǐng)你在不使用酒精測(cè)試儀的情況下，幫助交警判定出真正喝酒的人是___________.【答案】乙【解析】【分析】利用假設(shè)法進(jìn)行推理判斷即可.【詳解】解：因?yàn)橹挥幸蝗苏嬲染屏?，三人中只有一人說(shuō)的是真話，若果甲說(shuō)的是真話，那么乙說(shuō)也是真話，與只有一人說(shuō)的是真話相矛盾，故甲說(shuō)的是假話，即甲沒有喝酒是真的，則丙說(shuō)的是真話，那么乙說(shuō)的就是假話，則乙喝酒了，故答案為：乙.15.已知點(diǎn)在曲線上，為曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角，則的取值范圍是____【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值是曲線的切線斜率，再根據(jù)斜率等于傾斜角的正切值求出角的范圍．【詳解】由已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，即，，，即答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義．屬于基礎(chǔ)題16.已知數(shù)列，若數(shù)列與數(shù)列都是公差不為0的等差數(shù)列，則數(shù)列的公差是___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為且，等差數(shù)列的公差為且，進(jìn)而根據(jù)累加法得，，進(jìn)而整理得，故，即.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，且，則，∴，∴，∵為等差數(shù)列，∴，(且為公差)∴，∴，∵，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的概念，累加法求通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件，設(shè)出對(duì)應(yīng)的公差，利用累加法求得，再結(jié)合為等差數(shù)列求解即可.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.如圖，在實(shí)驗(yàn)室細(xì)菌培養(yǎng)過(guò)程中，細(xì)菌生長(zhǎng)主要經(jīng)歷調(diào)整期?指數(shù)期?穩(wěn)定期和衰亡期四個(gè)時(shí)期.在一定條件下，培養(yǎng)基上細(xì)菌的最大承載量(達(dá)到穩(wěn)定期時(shí)的細(xì)菌數(shù)量)與培養(yǎng)基質(zhì)量具有線性相關(guān)關(guān)系.某實(shí)驗(yàn)室在培養(yǎng)細(xì)菌的過(guò)程中，通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)獲得了以下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：培養(yǎng)基質(zhì)量(克)2040506080細(xì)菌的最大承載量(單位)300400500600700（1）建立關(guān)于的回歸直線方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)培養(yǎng)基質(zhì)量為100克時(shí)細(xì)菌的最大承載量；（2）研究發(fā)現(xiàn)，細(xì)菌的調(diào)整期一般為3小時(shí)，其在指數(shù)期的細(xì)菌數(shù)量(單位)與細(xì)菌被植入培養(yǎng)基的時(shí)間近似滿足函數(shù)關(guān)系，試估計(jì)在100克培養(yǎng)基上培養(yǎng)細(xì)菌時(shí)指數(shù)期的持續(xù)時(shí)間(精確到1小時(shí)).參考數(shù)據(jù)：，，，.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.【答案】（1）回歸直線方程為，當(dāng)培養(yǎng)基質(zhì)量為100克時(shí)細(xì)菌的最大承載量為(單位)；（2）10小時(shí).【解析】【分析】（1）根據(jù)回歸直線方程計(jì)算公式，計(jì)算出回歸直線方程，并由此求得預(yù)測(cè)值.（2）根據(jù)題目所給函數(shù)關(guān)系式列方程，化簡(jiǎn)求得持續(xù)時(shí)間.【詳解】（1）由題意可得，，，所以，，所以，故，所以關(guān)于的回歸直線方程為，當(dāng)培養(yǎng)基質(zhì)量為100克時(shí)細(xì)菌的最大承載量為(單位)；（2）在100克培養(yǎng)基上培養(yǎng)細(xì)菌時(shí)，由（1）可知最大承載量為850單位，又，即，化簡(jiǎn)可得，所以，則，所以在100克培養(yǎng)基上培養(yǎng)細(xì)菌時(shí)指數(shù)期的持續(xù)時(shí)間為10小時(shí).18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足．．（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若為等比數(shù)列，設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系可推出，由可知從第2項(xiàng)開始為首項(xiàng)是3，公比為2的等比數(shù)列；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求.【詳解】（1）∵①，∴②①-②得，即，當(dāng)時(shí)：，此時(shí)，∴從第2項(xiàng)開始為首項(xiàng)是3，公比為2的等比數(shù)列，，，∴.（2）∵為等比數(shù)列，∴，且，則，∴，，則，兩式相減可得.【點(diǎn)睛】本題考查由與關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題.19.如圖，在平行四邊形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的位置；（2）在（1）的條件下，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）點(diǎn)為中點(diǎn)（2）【解析】【分析】（1）以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出，，則，即可求出，從而確定點(diǎn)的位置；．（2）求出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解平面與平面所成二面角的余弦值即可．【小問(wèn)1詳解】解：，，，，，，，又，又平面平面，平面平面，平面，平面，所以以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)．則，，，解得，．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，易知平面的一個(gè)法向量為，，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．20.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽，每場(chǎng)比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊(duì)先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）．比賽排名采用積分制，積分規(guī)則如下：比賽中，以或取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；以取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分，已知甲、乙兩隊(duì)比賽，甲每局獲勝的概率為．（1）甲、乙兩隊(duì)比賽1場(chǎng)后，求甲隊(duì)的積分的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）甲、乙兩隊(duì)比賽2場(chǎng)后，求兩隊(duì)積分相等的概率．【答案】（1）分布列見解析，；（2）【解析】【分析】（1）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，再由獨(dú)立事件的概率公式求得每個(gè)的取值所對(duì)應(yīng)的概率即可得分布列，然后由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式，得解；（2）設(shè)第場(chǎng)甲、乙兩隊(duì)積分分別為，，則，，2，由兩隊(duì)積分相等，可推出，再分四種情況，并結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式，即可得解．【詳解】（1）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望．（2）記“甲、乙比賽兩場(chǎng)后，兩隊(duì)積分相等”為事件，設(shè)第場(chǎng)甲、乙兩隊(duì)積分分別為，，則，，2，因兩隊(duì)積分相等，所以，即，則，所以（A）．21.已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，的面積取得最大值．O是坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）直線與橢圓C在第一象限交于點(diǎn)N，過(guò)N作兩條關(guān)于直線l對(duì)稱的直線，分別交橢圓于不同于N的兩點(diǎn)A，B．求證：．【答案】（1）；（2）見解析.【解析】【分析】（1）由橢圓性質(zhì)可得點(diǎn)在短軸上時(shí)，的面積取最大，再由a,b,c的關(guān)系進(jìn)而得出橢圓方程；（2）由題意求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，與