密排六方結(jié)構(gòu)（hcp）

面心立方結(jié)構(gòu)（fcc）

體心立方結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單立方結(jié)構(gòu)NaCl結(jié)構(gòu)CsCl結(jié)構(gòu)金剛石結(jié)構(gòu)閃鋅礦結(jié)構(gòu)BA基矢和原胞Wigner-Seitz原胞§1.3晶體的宏觀對(duì)稱性一、點(diǎn)對(duì)稱操作

若一個(gè)空間圖形經(jīng)過一空間操作（線性變換），其性質(zhì)復(fù)原，則稱此空間操作為對(duì)稱操作。由于對(duì)稱操作前后圖形中任意兩點(diǎn)間的距離保持不變，故此線性變換為正交變換。

點(diǎn)對(duì)稱操作：在對(duì)稱操作過程中至少有一點(diǎn)保持不動(dòng)。點(diǎn)對(duì)稱操作要素：點(diǎn)：對(duì)稱中心；線：對(duì)稱軸；面：對(duì)稱面。二、晶體的對(duì)稱軸定理

若一晶體繞一直線至少轉(zhuǎn)過

角或

角的整數(shù)倍，其性質(zhì)復(fù)原，稱

為基轉(zhuǎn)角，稱為對(duì)稱軸的軸次。晶體的對(duì)稱軸定理：晶體中只有1，2，3，4，6五種對(duì)稱軸。三、晶體中八種獨(dú)立的對(duì)稱要素旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸Cn（真旋轉(zhuǎn)）旋轉(zhuǎn)－反映軸Sn（旋轉(zhuǎn)與反映的複合操作）晶體繞一直線轉(zhuǎn)過一基轉(zhuǎn)角（此時(shí)晶體未復(fù)原），緊接著對(duì)一垂直於此直線的平面反映，使晶體復(fù)原。C1(1)C2(2)C3(3)C4(4)C6(6)S1或CS(m)S2或Ci(i)S3=C3+CSS4S6=C3+Ci晶體中獨(dú)立的對(duì)稱要素：

C1(1)、C2(2)、C3(3)、C4(4)、C6(6)、Ci(i)、CS(m)和S4四、點(diǎn)群實(shí)際晶體中的對(duì)稱性就是由以上八種獨(dú)立對(duì)稱要素的組合組成，共有32種不同的組合方式，稱為32種點(diǎn)群。點(diǎn)群符號(hào)：Sch?nflies符號(hào)主軸：Cn、Dn、Sn、T和OCn：n次旋轉(zhuǎn)軸；Sn：n次旋轉(zhuǎn)－反映軸；

Dn：n次旋轉(zhuǎn)軸加上一個(gè)與之垂直的二次軸

T：四面體群；O：八面體群。

腳標(biāo)：h、v、dh：垂直於n次軸（主軸）的水平面為對(duì)稱面；

v：含n次軸（主軸）在內(nèi)的豎直對(duì)稱面；

d：垂直於主軸的兩個(gè)二次軸的平分面為對(duì)稱面?！?.4晶系和Bravais格子一、晶胞與軸矢坐標(biāo)系晶胞：既能反映晶體的對(duì)稱性特徵又能反映晶格週期性（平移對(duì)稱性）的重複單元。軸矢：a、b、c

晶胞參量：a、b、c、

、

、

0bac

0bacAD二、軸矢坐標(biāo)系中的方向指數(shù)和麵指數(shù)晶向指數(shù)晶向指數(shù)：從一個(gè)格點(diǎn)出發(fā)，沿晶向前進(jìn)到另一格點(diǎn)的位移向量：ua+vb+wc

u:v:w=l:m:n，其中l(wèi)、m、n為互質(zhì)整數(shù)，則稱[lmn]為晶向指數(shù)。

等效晶向（等效方向）：

lmn

2.晶面指數(shù)

在一平面族中，取一個(gè)不過原點(diǎn)的平面，它在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為Sa、Tb和Uc，其中h、k、l為互質(zhì)整數(shù)，則定義該晶面的面指數(shù)為（hkl）。等效晶面：{hkl}三、晶系根據(jù)晶體的對(duì)稱性特徵，可將晶體劃分為七個(gè)晶系。0bac晶系對(duì)稱性特徵晶胞參數(shù)所屬點(diǎn)群Bravais格子三斜只有C1或Ciabc

C1、CiP單斜唯一C2或CSabc==90o

C2、CS、C2hP、C正交三個(gè)C2或CSabc=＝=90oD2、C2V、D2hP、C、I、F三方唯一C3或S6a=b=c=＝90oC3、S6、D3C3Ｖ、D3dR四方唯一C4或S4a=bc=＝=90oC4、S4、C4h、D4C4V、D2d、D4hP、I六方唯一C6或S3a=bc=＝90o=120oC6、C3h、C6h、D6、C6V、D3h、D6hH立方四個(gè)C3a=b=c=＝

＝90oT、Th、TdO、OhP、I、F四、Bravais格子根據(jù)晶體的對(duì)稱性特徵，我們將晶體劃分成七個(gè)晶系，每個(gè)晶系都有一個(gè)能反映其對(duì)稱性特徵的晶胞。由於空間點(diǎn)陣是從晶格經(jīng)數(shù)學(xué)抽象得來的，因此空間點(diǎn)陣也應(yīng)分別屬於這七個(gè)晶系。並且可按所屬晶系的軸矢坐標(biāo)系找出其相應(yīng)的單胞。我們將這種既能反映平移對(duì)稱性又能反映所屬晶系對(duì)稱性特徵的空間點(diǎn)陣單胞稱為Bravais格子，共有14種Bravais格子。

P：簡(jiǎn)單Bravais格子；C：底心Bravais格子；

I：體心Bravais格子；F：面心Bravais格子abca3a2a10abca1a2a30fcc：bcc：立方晶系的基矢

半導(dǎo)體電子論

半導(dǎo)體的價(jià)帶與導(dǎo)帶之間的帶隙介於0.2~3.5eV範(fàn)圍內(nèi)，其導(dǎo)電能力介於絕緣體與金屬導(dǎo)體之間，室溫下半導(dǎo)體的電阻率在10－3~109(cm)範(fàn)圍內(nèi)。在半導(dǎo)體中電子可以做多種形式的運(yùn)動(dòng)（如漂移、擴(kuò)散等），其性質(zhì)與雜質(zhì)、溫度、光照及壓力等有密切關(guān)係。通過研究半導(dǎo)體的物理性質(zhì)，可以不斷揭示出各種形式的電子運(yùn)動(dòng)，闡明其規(guī)律性，從而可以設(shè)計(jì)出更多的半導(dǎo)體器件。因此，半導(dǎo)體材料有極其廣泛的應(yīng)用前景。在所有固體材料中，半導(dǎo)體材料無疑是最令人感興趣的材料，也是被人們研究最廣泛的材料之一?！?.1半導(dǎo)體的基本能帶結(jié)構(gòu)

半導(dǎo)體中能量最高的滿帶稱為價(jià)帶，能量最低的空帶稱為導(dǎo)帶。在價(jià)帶頂和導(dǎo)帶底之間的能量間隙稱為帶隙（或能隙），用Eg表示。由於半導(dǎo)體的帶隙較窄，因此，在一定溫度下，由於熱激發(fā)，導(dǎo)帶底有少量電子，而價(jià)帶頂有少量空穴。半導(dǎo)體的導(dǎo)電性就來自導(dǎo)帶底的少量電子或價(jià)帶頂?shù)纳倭靠昭ǖ呢暙I(xiàn)。我們將這些對(duì)電流有貢獻(xiàn)的電子和空穴稱為載流子。而載流子的運(yùn)動(dòng)則取決於半導(dǎo)體的能帶結(jié)構(gòu)。一、半導(dǎo)體的帶隙

當(dāng)光照射到半導(dǎo)體時(shí)，價(jià)帶中的電子就會(huì)吸收光子的能量而躍遷到導(dǎo)帶中，這個(gè)過程稱為本征光吸收。本征光吸收的光子能量必須滿足或——本征吸收邊

電子的光吸收過程必須滿足能量守恆和準(zhǔn)動(dòng)量守恆。在本征吸收邊附近，有兩種類型的光躍遷：1.導(dǎo)帶底與價(jià)帶頂在k空間中的相同位置，當(dāng)電子吸收光

子能量從價(jià)帶頂?shù)膋態(tài)躍遷導(dǎo)帶底的k’態(tài)，其準(zhǔn)動(dòng)量守恒定律為：kp為光的波矢。kp~104cm－1，而布裏淵區(qū)的尺度範(fàn)圍為108cm－1。因此，在討論光吸收時(shí)，光子的動(dòng)量可忽略不計(jì)。即光吸收的躍遷選擇定則可近似為即在躍遷過程中，電子的波矢可以看成是不變的，這種躍遷稱為豎直躍遷。2.第二種類型是導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂在k空間中的不同位置，

這時(shí)本征吸收邊附近的光吸收過程稱為非豎直躍遷。

在這種情況下，電子在吸收光子能量從價(jià)帶頂躍遷到

導(dǎo)帶底的同時(shí)，為滿足準(zhǔn)動(dòng)量守恒，必須伴隨著吸收

或發(fā)射一個(gè)聲子。這時(shí)的能量守恆和準(zhǔn)動(dòng)量守恆關(guān)係

為：{由此可以看出，在非豎直躍遷過程中，光子主要提供電子躍遷所需的能量，而聲子則主要提供躍遷所需的準(zhǔn)動(dòng)量。與豎直躍遷相比，非豎直躍遷是一個(gè)二級(jí)過程，發(fā)生的幾率比豎直躍遷的幾率小得多。直接帶隙半導(dǎo)體：導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂在k空間中的同一點(diǎn)。

間接帶隙半導(dǎo)體：導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂在k空間中的不同點(diǎn)。

導(dǎo)帶中的電子躍遷到價(jià)帶中的空能級(jí)而發(fā)射光子稱為電子－空穴對(duì)複合發(fā)光。在一般情況下，電子集中在導(dǎo)帶底，空穴集中在價(jià)帶頂，因此發(fā)射光子的能量基本上等於帶隙寬度。直接帶隙半導(dǎo)體的電子－空穴對(duì)複合發(fā)光的幾率遠(yuǎn)大於間接帶隙半導(dǎo)體。

半導(dǎo)體的帶隙寬度的測(cè)量方法：可以用本征光吸收實(shí)驗(yàn)，也可用電導(dǎo)率隨溫度的變化實(shí)驗(yàn)來測(cè)定，用光學(xué)測(cè)量方法還可以確定是直接半導(dǎo)體還是間接半導(dǎo)體。直接帶隙半導(dǎo)體：GaAs、CdS和GaN等

間接帶隙半導(dǎo)體：Si、Ge等。

LX

U,KEnergy(eV)LΓΓXU,K二、帶邊有效品質(zhì)

由於電子的能量在能帶底和能帶頂取極值，因此，可將E(k)在導(dǎo)帶底或價(jià)帶頂附近展開導(dǎo)帶底附近：價(jià)帶頂附近：在主軸坐標(biāo)系中，能量具有對(duì)角化形式導(dǎo)帶：價(jià)帶：

這表明，在導(dǎo)帶底附近或價(jià)帶頂附近電子（或空穴）的等能面為橢球面，其有效品質(zhì)可用電子迴旋共振實(shí)驗(yàn)來測(cè)定?！?.2半導(dǎo)體中的雜質(zhì)

當(dāng)晶體中少量有雜質(zhì)存在時(shí)，晶格的週期性就會(huì)被破壞，在雜質(zhì)周圍會(huì)產(chǎn)生一個(gè)局域場(chǎng)而影響電子的運(yùn)動(dòng)。因此，能帶中的電子除了有用Bloch函數(shù)描述的共有化狀態(tài)外，還會(huì)附加一個(gè)局域化的電子態(tài)（局域態(tài)），即電子可以被適當(dāng)?shù)碾s質(zhì)所束縛，就如電子被原子所束縛一樣。而被束縛的電子也有確定的能級(jí)，這種能級(jí)在帶隙之中。如束縛能級(jí)處於允帶中，電子不需要能量就可以直接轉(zhuǎn)入共有化運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，因此，不可能是穩(wěn)定的束縛態(tài)。正是由於這個(gè)束縛態(tài)能級(jí)的存在，改變了半導(dǎo)體的能帶結(jié)構(gòu)，對(duì)半導(dǎo)體的性質(zhì)起著決定性的作用。一、施主與受主1.施主

若雜質(zhì)在能隙中提供帶有電子的能級(jí)，這種雜質(zhì)稱為施主。電子從雜質(zhì)能級(jí)激發(fā)到導(dǎo)帶遠(yuǎn)比從價(jià)帶激發(fā)容易（尤其是能級(jí)離導(dǎo)帶底很近的情況）。因此，主要含施主雜質(zhì)的半導(dǎo)體的導(dǎo)電性往往幾乎完全依靠施主熱激發(fā)到導(dǎo)帶的電子。這種主要依靠電子導(dǎo)電的半導(dǎo)體稱為N型半導(dǎo)體。2.受主

若雜質(zhì)在帶隙中提供空的能級(jí)，稱為受主。電子從價(jià)帶激發(fā)到受主比激發(fā)到導(dǎo)帶容易得多，因此，主要含受主雜質(zhì)的半導(dǎo)體，由於價(jià)帶中有些電子被激發(fā)到受主能級(jí)而產(chǎn)生一些空穴，半導(dǎo)體的導(dǎo)電性主要依靠空穴。這種主要依靠空穴導(dǎo)電的半導(dǎo)體稱為P型半導(dǎo)體。T=0T>0導(dǎo)帶施主價(jià)帶T=0T>0導(dǎo)帶受主價(jià)帶N型P型EE

在Si或Ge中加入少量五價(jià)的P、As或Sb，或在GaAs中用Ⅵ族元素（S、Se、Te）替代As就形成N型半導(dǎo)體；若在Si或Ge中摻入少量三價(jià)的B、Al、In等，或在GaAs中用Ⅱ族元素（Zn、Be、Mg）替代Ga則形成P型半導(dǎo)體。二、類氫雜質(zhì)能級(jí)

雜質(zhì)能級(jí)模型中最簡(jiǎn)單也是最重要的模型是類氫雜質(zhì)能級(jí)模型，以在Si中摻入Ⅴ族元素（P）為例。P原子比Si原子多出的一個(gè)正電荷正好束縛多餘一個(gè)電子，就如同氫原子核束縛其外層電子一樣。氫原子的波動(dòng)方程為其能量本征值為n＝1,2,3,···氫原子的第一電離能為相應(yīng)的基態(tài)波函數(shù)為C為歸一化常數(shù)，a0為玻爾半徑在Si中，“多餘”的正電荷與“多餘”電子的相互作用能為

為Si的相對(duì)介電常數(shù)。根據(jù)與氫原子的相似性可知，施主的電離能為這裏m*為導(dǎo)帶底電子的有效品質(zhì)，與氫原子相比，施主的電離能僅為氫原子電離能的對(duì)於Si<100>：在導(dǎo)帶底附近mL*=0.98m，mT*0.19m；=12，由此可估算出施主的電離能約為10－2eV的數(shù)量級(jí)。

這裏所指的施主電離實(shí)際上是電子擺脫施主的束縛而躍遷到導(dǎo)帶中運(yùn)動(dòng)，因此，施主能級(jí)應(yīng)在導(dǎo)帶底EC以下，其能量差就是施主的電離能ED，即只要給施主電子以ED大小的能量，就可以將它激發(fā)到導(dǎo)帶中。類比可得施主的基態(tài)波函數(shù)為ECEV施主ECEV受主其中與氫原子的玻爾半徑a0相比，rd增大了(m/m*)

倍。因此，rd>>a0，這意味著類氫施主的波函數(shù)是相當(dāng)擴(kuò)展的。

對(duì)於受主雜質(zhì)所形成的雜質(zhì)能級(jí)也可做類似的討論，如在Si中摻入少量的Ⅲ族元素（Al），一個(gè)Al原子替代一個(gè)Si原子，相當(dāng)於在雜質(zhì)出多一個(gè)負(fù)電荷，同時(shí)少了一個(gè)電子，即多一個(gè)空穴，這個(gè)空穴正好被負(fù)電荷所束縛。這種情況同樣類似於氫原子的情況，只是正負(fù)電荷互換了。受主能級(jí)位於價(jià)帶頂EV以上的EA處?？昭ǖ碾婋x相當(dāng)於在價(jià)帶中產(chǎn)生一個(gè)自由運(yùn)動(dòng)的空穴。在能帶中就表現(xiàn)為用EA的能量將價(jià)帶頂?shù)囊粋€(gè)電子激發(fā)到受主能級(jí)上，從而在價(jià)帶頂產(chǎn)生一個(gè)自由空穴。

由於典型半導(dǎo)體材料的價(jià)帶結(jié)構(gòu)比導(dǎo)帶複雜，類氫受主能級(jí)的理論比施主能級(jí)要複雜些。類氫雜質(zhì)的電離能很小，它們往往是這些材料中決定導(dǎo)電性的主要雜質(zhì)。施主（或受主）能級(jí)很靠近導(dǎo)帶（或價(jià)帶），因此這類雜質(zhì)稱為淺能級(jí)雜質(zhì)。在Si中的幾種淺能級(jí)雜質(zhì)雜質(zhì)類型施主受主元素PAsSbBAlGaIn電離能

(eV)0.0440.0490.0390.0450.0570.0650.16三、深能級(jí)雜質(zhì)

若在Si、Ge等Ⅳ族元素半導(dǎo)體中摻入Ⅵ族元素原子（如Se、Te等），Ⅵ族原子的外殼層比Ⅳ族原子多兩個(gè)價(jià)電子，其原子核也比Ⅳ族原子多兩個(gè)正電荷。因此，當(dāng)Ⅵ族原子摻入Ⅳ族半導(dǎo)體後，這兩個(gè)“多餘”的價(jià)電子就圍繞兩個(gè)正電荷運(yùn)動(dòng)，類似於氦原子。由於每個(gè)價(jià)電子同時(shí)受兩個(gè)正電荷的束縛，束縛能比較大，因此所對(duì)應(yīng)的雜質(zhì)能級(jí)離導(dǎo)帶底較遠(yuǎn)，稱這種能級(jí)為深雜質(zhì)能級(jí)。而這種雜質(zhì)就稱為深能級(jí)雜質(zhì)。當(dāng)兩個(gè)價(jià)電子中的一個(gè)被激發(fā)而脫離雜質(zhì)的束縛躍遷到導(dǎo)帶後，剩下的一個(gè)價(jià)電子就受到兩個(gè)正電荷的束縛，束縛能更大，其能級(jí)離導(dǎo)帶底更遠(yuǎn)。如在Si、Ge等Ⅳ族元素半導(dǎo)體中摻入Ⅱ族元素原子（如Zn），可產(chǎn)生兩個(gè)離價(jià)帶頂相當(dāng)遠(yuǎn)的深受主雜質(zhì)能級(jí)。ECEVEAED0.54eV0.35eVAu在Si中的雜質(zhì)能級(jí)

深能級(jí)雜質(zhì)對(duì)半導(dǎo)體材料性質(zhì)有多方面的影響，由於深能級(jí)雜質(zhì)的存在會(huì)大大降低載流子的壽命；它可以成為非輻射複合中心，從而影響發(fā)光效率；由於深受主能級(jí)的存在與自發(fā)輻射，可降低淺能級(jí)雜質(zhì)的有效密度，從而大大提高材料的電阻率。從另一角度看，深能級(jí)雜質(zhì)也提高半導(dǎo)體器件的開關(guān)速度?！?.3載流子的統(tǒng)計(jì)分佈一、半導(dǎo)體載流子的Fermi統(tǒng)計(jì)及近似處理

與金屬中的電子一樣，半導(dǎo)體中的電子也遵從Fermi統(tǒng)計(jì)分佈。設(shè)導(dǎo)帶底和導(dǎo)帶頂?shù)哪芰糠謩e為EC和EC’，單位體積中導(dǎo)帶的能態(tài)密度為NC(E)，那麼導(dǎo)帶中的電子濃度可表為其中為Fermi分佈函數(shù)

在金屬中，電子是強(qiáng)簡(jiǎn)並的，其費(fèi)米能在導(dǎo)帶中，在EF以下的能級(jí)幾乎完全為電子所填滿。而在半導(dǎo)體中（若雜質(zhì)濃度不是很高），EF位於帶隙中，而且與導(dǎo)帶底EC和價(jià)帶頂EV的距離一般都比kBT大的多。所以，導(dǎo)帶中這表明導(dǎo)帶中的電子很接近於經(jīng)典的Boltzmann分佈，且由於f(E)<<1，說明導(dǎo)帶中的能態(tài)被電子佔(zhàn)據(jù)的幾率很小，這時(shí)，電子的分佈是非簡(jiǎn)並的。價(jià)帶中空穴的情況也很類似，價(jià)帶能級(jí)被空穴佔(zhàn)據(jù)的幾率也就是不為電子佔(zhàn)據(jù)的幾率，即由於

空穴所占狀態(tài)的能量E越低，表示空穴的能量越高。所以，上式說明空穴的佔(zhàn)有幾率隨空穴能量的升高而按Boltzmann統(tǒng)計(jì)的指數(shù)規(guī)律迅速減小。與金屬的強(qiáng)簡(jiǎn)並情況完全不同，由於半導(dǎo)體中的電子和空穴數(shù)都很少，當(dāng)考慮它們?cè)趯?dǎo)帶或價(jià)帶中的分佈時(shí)，不必計(jì)及Pauli不相容原理的約束，可以用經(jīng)典的Boltzmann分佈代替量子的Fermi分佈。二、載流子濃度與EF

如果導(dǎo)帶底附近電子和價(jià)帶頂附近空穴可以用簡(jiǎn)單的有效品質(zhì)me*和mh*來描述，就可以直接引用自由電子的能態(tài)密度公式分別寫出單位體積中導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂附近的能態(tài)密度：

由於電子和空穴主要集中在導(dǎo)帶底或價(jià)帶頂附近~kBT的範(fàn)圍內(nèi)，因此有作變換有這裏引用了積分公式令——導(dǎo)帶的有效能態(tài)密度

這表明，在計(jì)算導(dǎo)帶電子數(shù)時(shí)可以等效地用導(dǎo)帶底能級(jí)EC代替整個(gè)導(dǎo)帶，導(dǎo)帶的電子數(shù)就如同在導(dǎo)帶底EC處集中了NC個(gè)能態(tài)所含有的電子數(shù)。同理可計(jì)算出價(jià)帶頂?shù)目昭舛葹槠渲袨閮r(jià)帶的有效能態(tài)密度上式表明，半導(dǎo)體中兩種載流子濃度的乘積是一個(gè)僅與禁帶寬度Eg及溫度有關(guān)的量，而與半導(dǎo)體的費(fèi)米能EF無關(guān)。在一定溫度下，導(dǎo)帶中的電子越多，價(jià)帶中的空穴就越少；反之亦然。若要求得半導(dǎo)體的載流子濃度，關(guān)鍵是確定費(fèi)米能EF，EF不僅與晶體結(jié)構(gòu)和基質(zhì)原子的結(jié)構(gòu)有關(guān)，而且還與雜質(zhì)原子有關(guān)。1.本征半導(dǎo)體

我們將無雜質(zhì)及缺陷的半導(dǎo)體稱為本征半導(dǎo)體，這時(shí)半導(dǎo)體的EF和載流子濃度完全取決於半導(dǎo)體本身的性質(zhì)。顯然，這時(shí)導(dǎo)帶中的電子濃度等於價(jià)帶中的空穴濃度。即解得本征費(fèi)米能為

在一般情況下，由於kBT較小，且mh*和me*相差不大，所以，本征半導(dǎo)體的費(fèi)米能EFi近似地在帶隙的中間。2.非本征半導(dǎo)體

對(duì)於非本征半導(dǎo)體，其費(fèi)米能EF及載流子濃度均與雜質(zhì)原子有關(guān)。設(shè)半導(dǎo)體中各含一個(gè)淺施主和一個(gè)淺受主。在一定溫度下，導(dǎo)帶中的電子可以來自施主的熱電離，也可以來自價(jià)帶的熱激發(fā)；而價(jià)帶中的空穴可以產(chǎn)生於帶間的熱激發(fā)或受主的熱電離。此外，電子還可以從施主能級(jí)落入受主能級(jí)。因此，在一定溫度下，半導(dǎo)體中兩種載流子的濃度並不相同。對(duì)本征半導(dǎo)體：

設(shè)半導(dǎo)體中的施主和受主濃度分別為ND和NA。在一定溫度下，假設(shè)在ND個(gè)施主雜質(zhì)中束縛有nD個(gè)電子；而在NA個(gè)受主中束縛有pA個(gè)空穴。所以，半導(dǎo)體中正電荷的數(shù)目為p+ND－nD，負(fù)電荷數(shù)為n+NA－pA。由於半導(dǎo)體必須保持電中性，即半導(dǎo)體中正負(fù)電荷的總數(shù)相等。

由於雜質(zhì)能級(jí)上只允許一個(gè)電子佔(zhàn)據(jù)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)物理可得，施主雜質(zhì)能級(jí)上的電子佔(zhàn)有數(shù)為而未被電子佔(zhàn)據(jù)的受主雜質(zhì)數(shù)（或其上的空穴數(shù)）為代入電中性關(guān)係式得

根據(jù)上式即可確定非本征半導(dǎo)體的費(fèi)米能EF，並求出相應(yīng)的電子濃度n和空穴濃度p。

對(duì)於只有施主雜質(zhì)ND的N型半導(dǎo)體，在較低溫度下，載流子只有由施主雜質(zhì)電離的導(dǎo)帶電子，而從價(jià)帶躍遷到導(dǎo)帶的電子非常少，p

0。這時(shí)，電中性條件為可以解得其中{

當(dāng)溫度很低時(shí)，EC－ED>>2kBT，<<2(NC

T3/2)，這時(shí)只有部分雜質(zhì)電離，可近似得在一般情況下，ND<2NC，所以，在很低溫度下這時(shí)的N型半導(dǎo)體就好像一個(gè)帶隙為Eg＝EC－ED的本征半導(dǎo)體一樣。在<<2時(shí)，電子濃度為隨著溫度的升高，

值逐漸變大，當(dāng)滿足>>2時(shí)，這時(shí)施主雜質(zhì)已全部電離，導(dǎo)帶中的電子濃度就等於施主雜質(zhì)濃度ND，稱為強(qiáng)電離情形。隨著溫度的進(jìn)一步升高，由價(jià)帶電子的熱激發(fā)（稱為本征激發(fā)）所產(chǎn)生的電子和空穴就不能忽略，這時(shí)半導(dǎo)體進(jìn)入本征激發(fā)區(qū)，這時(shí)的電中性條件為這時(shí)可解得和如ni<<ND，則n

ND，p

0，此即強(qiáng)電離情況；而如ni>>ND，n

p

ni，這時(shí)本征激發(fā)起主要作用，與本征半導(dǎo)體的情況相同。由為簡(jiǎn)單，假設(shè)NC＝NV＝N，可求得隨著溫度升高，本征載流子濃度ni不斷增大，當(dāng)ni>>ND時(shí)，這時(shí)隨溫度升高，費(fèi)米能EF逐漸趨於本征費(fèi)米能EFi。

對(duì)於只有受主雜質(zhì)的P型半導(dǎo)體。也可作類似的討論。雜質(zhì)電離區(qū)飽和區(qū)本征區(qū)ND=1015cm－3§8.4半導(dǎo)體的電導(dǎo)率與Hall效應(yīng)一、半導(dǎo)體的導(dǎo)電率半導(dǎo)體導(dǎo)帶底的電子與價(jià)帶頂?shù)目昭ǘ伎梢钥闯墒欠謩e具有有效品質(zhì)me*和mh*的自由粒子，因此可以直接應(yīng)用自由電子的結(jié)果來討論在外電場(chǎng)作用下所產(chǎn)生的電導(dǎo)。和分別是電子和空穴的遷移率。

表示在電場(chǎng)作用下載流子（電子或空穴）沿電場(chǎng)方向漂移的平均速度，遷移率則表示單位電場(chǎng)作用下載流子的平均漂移速度。半導(dǎo)體的總電導(dǎo)為在雜質(zhì)激發(fā)範(fàn)圍內(nèi)，主要由一種載流子導(dǎo)電，有（N型）（P型）{

在實(shí)際問題中，遷移率的大小是相當(dāng)重要的。Ge和Si的遷移率

~103cm2/Vs的數(shù)量級(jí)；有些金屬化合物半導(dǎo)體（如GaAs、InSb等），由於其電子的有效品質(zhì)僅為電子品質(zhì)的1/100左右，因此其遷移率可達(dá)~105cm2/Vs的數(shù)量級(jí)。

遷移率的大小不僅取決於有效品質(zhì)（即取決於能帶結(jié)構(gòu)），而且還與散射幾率有關(guān)。而散射既可以來自晶格振動(dòng)，也可以來自雜質(zhì)。在較高溫度下，晶格的散射是主要的，溫度升高，聲子的散射增大，因而遷移率隨溫度的升高而下降。理論計(jì)算表明。對(duì)於簡(jiǎn)單能帶，由晶格振動(dòng)所限制的遷移率與溫度的關(guān)係為

在低溫下，雜質(zhì)的散射是主要的。而電離雜質(zhì)對(duì)載流子的散射類似於

粒子的Rutherford散射。溫度升高時(shí)載流子熱運(yùn)動(dòng)的速度增大，電離雜質(zhì)的散射作用相應(yīng)減弱，從而使遷移率增大。理論計(jì)算結(jié)果可表為

半導(dǎo)體的導(dǎo)電率

除了與遷移率有關(guān)外，還與載流子的濃度有關(guān)。而載流子的濃度隨溫度的升高以指數(shù)形式增加（飽和區(qū)除外）。由於指數(shù)形式的變化總是比冪函數(shù)的變化快，因此除飽和區(qū)外，導(dǎo)電率主要以指數(shù)形式隨溫度的升高而迅速增大，表現(xiàn)出很強(qiáng)的熱敏性。這與金屬的導(dǎo)電率有明顯不同。因?yàn)榻饘俚妮d流子（電子或空穴）濃度與溫度無關(guān)，溫度升高時(shí)，傳導(dǎo)電子的遷移率因與聲子的碰撞更加頻繁而減小，所以金屬的導(dǎo)電率溫度係數(shù)為負(fù)，溫度升高，導(dǎo)電率下降。二、半導(dǎo)體的Hall效應(yīng)當(dāng)載流子為電子時(shí)，Hall係數(shù)為類比可得，當(dāng)載流子為空穴時(shí)，Hall係數(shù)為如半導(dǎo)體中同時(shí)存在兩種載流子，此時(shí)的Hall係數(shù)為

由於Hall係數(shù)與載流子濃度成反比，因此，半導(dǎo)體的Hall效應(yīng)比金屬強(qiáng)得多。Hall效應(yīng)的主要應(yīng)用就是確定載流子的濃度，由Hall係數(shù)的測(cè)定可以直接得到載流子的濃度，而且，從Hall係數(shù)的符號(hào)還可確定載流子是電子還是空穴。對(duì)於本征半導(dǎo)體，n＝p，有由於一般有

對(duì)於非本征半導(dǎo)體，在溫度較高時(shí)，在本征激發(fā)範(fàn)圍內(nèi)，n

p，因此R<0。對(duì)於P型半導(dǎo)體，當(dāng)溫度較低時(shí)，在雜質(zhì)激發(fā)範(fàn)圍內(nèi)，p>>n，即滿足，R>0；

當(dāng)R＝0；

當(dāng)

因此，對(duì)於P型半導(dǎo)體，在溫度由雜質(zhì)激發(fā)升至本征激發(fā)範(fàn)圍的過程中，Hall係數(shù)將改變符號(hào)。對(duì)於N型半導(dǎo)體，在雜質(zhì)激發(fā)溫區(qū)，n>>p，R<0。達(dá)到本征激發(fā)溫區(qū)，無論溫度多高，電子濃度總是大於空穴濃度n>p，且

e>

p，所以N型半導(dǎo)體R<0不會(huì)隨溫度變化而改變符號(hào)。Hall效應(yīng)還可以用來確定半導(dǎo)體的遷移率。以N型半導(dǎo)體為例，}

對(duì)於P型半導(dǎo)體，也有類似的關(guān)係式。所以，通過測(cè)量非本征半導(dǎo)體的導(dǎo)電率和Hall係數(shù)，就可確定電子或空穴的遷移率。通常將稱為Hall遷移率

H，它與實(shí)際的遷移率非常接近。其差別的大小與載流子在運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的散射機(jī)理（雜質(zhì)或聲子）有關(guān)?！?.5非平衡載流子

在摻有施主雜質(zhì)的N型半導(dǎo)體中，電子濃度n總是大於空穴濃度p，這時(shí)電子稱為多數(shù)載流子（簡(jiǎn)稱多子），空穴稱為少數(shù)載流子（簡(jiǎn)稱少子）。而在摻有受主雜質(zhì)的P型半導(dǎo)體中，空穴為多子，電子為少子。在熱平衡時(shí)，單位體積中有一定數(shù)目的電子n0和一定數(shù)目的空穴p0，這時(shí)n0和p0必須滿足以N型Si為例，室溫下Si的本征電子濃度ni1010cm－3，對(duì)於電子（多子）濃度n0＝1016cm－3的N型Si，其少子（空穴）濃度p0104cm－3。一、非平衡載流子與光電導(dǎo)

在外界的作用下，半導(dǎo)體中的電子濃度n和空穴濃度p有可能偏離平衡值。例如半導(dǎo)體的本征光吸收產(chǎn)生電子—空穴對(duì)，用

n＝n－n0，

p＝p－p0表示超出熱平衡的多餘載流子，稱為非平衡載流子。通常情況下，由於電中性要求，

n＝

p。非平衡載流子在數(shù)目上對(duì)多子和少子的影響顯然是不同的。多子的數(shù)量一般都很大，非平衡載流子不會(huì)對(duì)它有顯著影響。但對(duì)少子來說，數(shù)量的變化將非常明顯。例：室溫下，在摻雜n0＝1016cm－3的N型Si中，p0=104cm－3，若產(chǎn)生非平衡載流子

n＝

p＝1010cm－3

因此，在討論非平衡載流子時(shí)，常常最關(guān)心的是非平衡的少數(shù)載流子。半導(dǎo)體中的許多重要現(xiàn)象都與非平衡載流子有關(guān)，光電導(dǎo)就是有關(guān)明顯的例子。光照前的導(dǎo)電率為——暗電導(dǎo)率

在光的照射下發(fā)生本征光吸收，產(chǎn)生非平衡電子

n和非平衡空穴

p，導(dǎo)電率將發(fā)生變化，——遷移率比

用光照產(chǎn)生非平衡載流子稱為光注入。光照使半導(dǎo)體導(dǎo)電率增大的現(xiàn)象稱為光電導(dǎo)。二、非平衡載流子的複合與壽命

在產(chǎn)生非平衡載流子的同時(shí)，也存在著載流子的複合過程，即導(dǎo)帶中的電子回落到價(jià)帶上，與價(jià)帶中的空穴複合，使電子—空穴對(duì)湮滅。這是從非平衡恢復(fù)到平衡的自發(fā)過程。熱平衡指的是電子—空穴對(duì)的不斷產(chǎn)生與複合的動(dòng)態(tài)平衡。當(dāng)有非平衡載流子存在時(shí)，這種動(dòng)態(tài)平衡被破壞了，這時(shí)複合的幾率將大於產(chǎn)生的幾率，淨(jìng)複合率＝複合率－產(chǎn)生率。

如果半導(dǎo)體受到外界作用（如光照），半導(dǎo)體載流子的平衡被破壞，產(chǎn)生附加的非平衡電子

n與空穴

p

。一旦撤銷外界作用，這些附加的非平衡載流子將通過複合作用而逐漸消失。最簡(jiǎn)單情況，設(shè)非平衡載流子的複合以固定的幾率發(fā)生。那麼，當(dāng)外部作用撤銷後，非平衡載流子將按以下方程逐漸消失積分得

即撤銷外界作用後，非平衡載流子是以指數(shù)形式隨時(shí)間衰減的，

描述了非平衡載流子平均存在時(shí)間，稱為非平衡載流子的壽命。

非平衡載流子的壽命反映了半導(dǎo)體中載流子複合過程的快慢，壽命越短，載流子複合過程越快；反之，複合就越慢。非平衡載流子的壽命對(duì)光電導(dǎo)現(xiàn)象相當(dāng)重要。在變化光照的情況下，載流子的壽命決定了光電導(dǎo)反應(yīng)的快慢。如果兩個(gè)光訊號(hào)之間的時(shí)間間隔小於

，那麼，第一個(gè)訊號(hào)的影響尚未消除，第二個(gè)訊號(hào)已經(jīng)傳過來了，使得兩個(gè)訊號(hào)無法區(qū)分開。此外，

越大，光電導(dǎo)的效應(yīng)就越強(qiáng)。因?yàn)橐粋€(gè)非平衡載流子只在

的時(shí)間內(nèi)起增加電導(dǎo)的作用，

越大，產(chǎn)生一個(gè)非平衡載流子對(duì)增加電導(dǎo)的效果就越大。通過測(cè)量光電導(dǎo)的衰減可以確定非平衡載流子的壽命。三、複合機(jī)制

直接複合：導(dǎo)帶中的電子直接躍入價(jià)帶與空穴複合。間接複合：導(dǎo)帶中的電子躍入帶隙中的雜質(zhì)能級(jí)，然

後再躍入價(jià)帶與空穴複合。有些雜質(zhì)深能

級(jí)能大大促進(jìn)載流子的復(fù)合，成為主要決

定載流子壽命的雜質(zhì)，稱為復(fù)合中心。

在載流子的複合過程中，必然伴隨著載流子多餘能量的釋放過程。若按照能量釋放方式的不同。又可分為三種過程：1.輻射複合：載流子多餘的能量是以光子的形式釋放的，

或者為滿足準(zhǔn)動(dòng)量守恆，在發(fā)射光子的同時(shí)，

伴隨著發(fā)射或吸收聲子。2.無輻射複合：載流子多餘的能量以發(fā)射聲子的形式釋

放，即載流子將多餘的能量傳遞給晶格振動(dòng)。一般此

過程放出的聲子不止一個(gè)，故稱為多聲子過程。3.Auger過程：在電子與空穴複合的過程中，電子把能

量傳遞給其鄰近的一個(gè)載流子，使之成為高能載流子，

然后它再與其載流子碰撞而逐漸將能量釋放出來。光子導(dǎo)帶價(jià)帶聲子導(dǎo)帶價(jià)帶E＝0發(fā)射e1e2hE1E2E3E4輻射複合無輻射複合

非平衡載流子壽命的長短與半導(dǎo)體材料的製備工藝密切相關(guān)，長的可達(dá)~10－3s，短的僅~10－9s，一般約為~10－6s的數(shù)量級(jí)。在一般情況下，通過深雜質(zhì)能級(jí)的間接複合過程是決定載流子壽命的主要複合過程，所以，

的大小與材料中的雜質(zhì)和缺陷密切相關(guān)。四、非平衡載流子的擴(kuò)散

半導(dǎo)體中的非平衡載流子除了可以在外電場(chǎng)的作用下形成電流（稱為漂移電流）外，還可以形成另一種形式的電流，稱為擴(kuò)散電流。擴(kuò)散電流的產(chǎn)生是由於半導(dǎo)體中載流子濃度的不均勻分佈而造成的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)。對(duì)於非平衡少數(shù)載流子來說，擴(kuò)散往往是其主要的運(yùn)動(dòng)形式。

在一般情況下，少數(shù)載流子數(shù)量極少，與多子相比，對(duì)漂移電流的貢獻(xiàn)微不足道。但如有非平衡載流子，就可以在不破壞電中性的情況下形成載流子的濃度梯度，從而形成顯著的擴(kuò)散電流。

考慮一個(gè)一維穩(wěn)定擴(kuò)散問題，以均勻光照射在半導(dǎo)體表面為例。光只在很薄的一層表面內(nèi)被吸收，因而所產(chǎn)生的非平衡載流子也只在表面層內(nèi)。這些少數(shù)載流子通過擴(kuò)散向體內(nèi)運(yùn)動(dòng)，一邊擴(kuò)散，一邊複合。在半導(dǎo)體內(nèi)建立穩(wěn)定的非平衡載流子分佈。其中，是非平衡載流子（電子）的濃度梯度，De是電子的擴(kuò)散係數(shù)。非平衡載流子邊擴(kuò)散邊複合，在半導(dǎo)體中形成穩(wěn)定的分佈，其濃度分佈滿足連續(xù)性方程上式的左邊是因擴(kuò)散所造成的積累，右邊表示因複合而造成的損失。其解為其中邊界條件：{

這表明，表面產(chǎn)生的非平衡載流子在邊擴(kuò)散邊複合的過程中，隨距離增加而指數(shù)衰減，L標(biāo)誌著非平衡載流子深入樣品的平均距離，稱為擴(kuò)散長度。擴(kuò)散流密度：在x＝0的介面處，

由於

n0是邊界處非平衡少數(shù)載流子的濃度，所以，擴(kuò)散流密度就好像是這些載流子全部以De

/L的速度運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的，故稱為擴(kuò)散速度?！?.6PN結(jié)PN結(jié)是許多半導(dǎo)體器件的核心，掌握PN結(jié)的性質(zhì)是分析這些器件的基礎(chǔ)。PN結(jié)的性質(zhì)集中反映了半導(dǎo)體導(dǎo)電性能的特點(diǎn)：存在兩種載流子，載流子有漂移、擴(kuò)散和產(chǎn)生－複合三種基本運(yùn)動(dòng)形式。在不同情況下，這三種運(yùn)動(dòng)形式對(duì)導(dǎo)電性能的貢獻(xiàn)各不相同。因此，作為半導(dǎo)體所特有的物理現(xiàn)象，PN結(jié)一直受到人們的重視。在一塊半導(dǎo)體中，若一部分是N型區(qū)，另一部分是P型區(qū)，在N型區(qū)和P型區(qū)的交界面處就形成PN結(jié)。PN結(jié)最基本的電學(xué)特性是具有單向?qū)щ姷恼餍再|(zhì)。一、平衡PN結(jié)勢(shì)壘PN結(jié)整流性質(zhì)的物理根源是在PN結(jié)區(qū)內(nèi)存在載流子的勢(shì)壘。

當(dāng)兩塊不同的金屬相互接觸時(shí)，由於其EF的不同，就會(huì)使電子從EF高的一側(cè)流向EF低的另一側(cè)，在介面處形成接觸電勢(shì)差。在PN結(jié)區(qū)形成載流子勢(shì)壘的過程與兩不同金屬形成接觸電勢(shì)差的過程完全類似。

在PN結(jié)的N型區(qū)，在雜質(zhì)激發(fā)範(fàn)圍內(nèi)，電子濃度遠(yuǎn)高於空穴濃度，其EF應(yīng)在帶隙的上半部，靠近導(dǎo)帶底；而在P型區(qū)，空穴濃度遠(yuǎn)大於電子濃度，EF在帶隙的下半部接近於價(jià)帶頂。即(EF)N>(EF)P，於是電子將從EF高的N型區(qū)流向P型區(qū)，在PN結(jié)的介面上產(chǎn)生電荷的積累，形成一定的接觸電勢(shì)差。這個(gè)接觸電勢(shì)差使得P型區(qū)相當(dāng)於N型區(qū)具有負(fù)的電勢(shì)－VD，從而使P型區(qū)中電子的靜電勢(shì)能提高了eVD，即P型區(qū)的整個(gè)電子能級(jí)上移了，eVD恰好補(bǔ)償P型區(qū)與N型區(qū)EF原來的差別，即使兩邊的費(fèi)米能拉平。

平衡時(shí)，在接觸介面處形成了一能帶過渡區(qū)，在此區(qū)域內(nèi)，電子和空穴的分佈破壞了原來的電中性，形成一空間電荷區(qū)，其寬度約為~10－6m的數(shù)量級(jí)。此區(qū)域的強(qiáng)電場(chǎng)對(duì)N型區(qū)的電子和P型區(qū)的空穴都是一個(gè)高為eVD的勢(shì)壘，稱為平衡PN結(jié)勢(shì)壘。

建立穩(wěn)定的PN結(jié)勢(shì)壘後，從N型區(qū)進(jìn)入P型區(qū)電子的濃度nP0為其中，nN0為N型區(qū)電子的平衡濃度。同理，進(jìn)入N型區(qū)的空穴濃度pN0為這裏，pp0為P型區(qū)中空穴的平衡濃度。由此可知，在空間電荷區(qū)中，電子（空穴）濃度由N（P）型區(qū)的nN0（pp0

）按指數(shù)形式衰減到P（N）型區(qū)的nP0

（pN0

）。

在平衡PN結(jié)中，載流子的擴(kuò)散和漂移運(yùn)動(dòng)處於相對(duì)平衡。二、PN結(jié)的單向?qū)щ娦?/p>

若在PN結(jié)上加一外電壓V，由於空間電荷區(qū)中載流子濃度很低，因而電阻很高，PN結(jié)勢(shì)壘將改變eV，從而破壞了原來的平衡，引起載流子的重新分佈。1.PN結(jié)的正向注入

當(dāng)PN結(jié)加正向偏壓時(shí)，外加電壓使空間電荷區(qū)中的電場(chǎng)減弱，PN結(jié)勢(shì)壘降低為e(VD-V)，打破了漂移運(yùn)動(dòng)與擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的相對(duì)平衡。由於PN結(jié)加正向偏壓，將有部分電子從N型區(qū)進(jìn)入P型區(qū)，空穴從P型區(qū)進(jìn)入N型PN區(qū)，稱為非平衡載流子。這種現(xiàn)象稱為PN結(jié)的正向注入。

由於正向注入，勢(shì)壘邊界上的少數(shù)載流子濃度從原來的nP0↗nP和pN0↗pN，根據(jù)Boltzmann統(tǒng)計(jì)可求得{與平衡是的濃度相比，得和即正向偏壓使介面處的少數(shù)載流子積累，其濃度提高了倍。於是，邊界處非平衡載流子的濃度為{這些邊界處的非平衡載流子邊擴(kuò)散邊複合向體內(nèi)運(yùn)動(dòng)，從而形成擴(kuò)散電流，擴(kuò)散電流密度為{因此，通過PN結(jié)的總電流密度為其中

這表明，在正向偏壓下，通過PN結(jié)的電流與少數(shù)載流子的濃度成正比，且隨正向偏壓的增大而迅速增大。2.PN結(jié)的反向抽取PN

當(dāng)PN結(jié)外加反向偏壓時(shí)，外加電場(chǎng)使空間電荷區(qū)的電場(chǎng)增強(qiáng)，從而使PN結(jié)勢(shì)壘增大，由原來的eVD變?yōu)閑(VD+V)。這時(shí)，載流子的漂移運(yùn)動(dòng)超過了擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)。在反向偏壓的作用下，P型區(qū)中的電子一旦到達(dá)空間電荷區(qū)的邊界，就會(huì)被電場(chǎng)拉向N型區(qū)；同樣，N型區(qū)的空穴一旦進(jìn)入空間電荷區(qū)，也會(huì)被拉向P型區(qū)。這種現(xiàn)象稱為PN結(jié)的反向抽取。反向抽取使PN結(jié)介面處的載流子濃度小於其平衡濃度，這時(shí)，非平衡載流子濃度為負(fù)值。這意味著載流子的複合率為負(fù)值，即在外電場(chǎng)的作用下，實(shí)際上有新的電子－空穴對(duì)產(chǎn)生，其中的少數(shù)載流子可能擴(kuò)散到空間電荷區(qū)，而被電場(chǎng)拉向?qū)γ妫纬煞聪螂娏?。所以，PN結(jié)的反向電流實(shí)質(zhì)上就是產(chǎn)生電流。反向電流密度為在一般情況下，eVr>>kBT，即

通常由於少數(shù)載流子的濃度很低，因而，在一定的反向電壓範(fàn)圍內(nèi)，反向電流一般都很小。

但是，如果有外界作用，使得達(dá)到反向PN結(jié)空間電荷區(qū)邊界的少數(shù)載流子濃度很高，這些載流子同樣可以被空間電荷區(qū)的電場(chǎng)拉向?qū)γ?，形成大的反向電流。?NPN電晶體正向發(fā)射結(jié)把電子注入到P型區(qū)，由於基區(qū)的寬度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小於擴(kuò)散長度，注入到基區(qū)的電子還來不及複合就擴(kuò)散到反向集電結(jié)的邊界，被反向集電結(jié)的抽取作用拉向集電區(qū)，這時(shí)集電結(jié)反向大電流狀態(tài)，這就是電晶體電流放大作用的物理基礎(chǔ)。三、高摻雜半導(dǎo)體與PN結(jié)

當(dāng)淺能級(jí)雜質(zhì)的摻雜濃度達(dá)到1018~1019cm－3時(shí)，不同雜質(zhì)原子上的軌道就會(huì)發(fā)生明顯的重疊。這時(shí)，電子（或空穴）將不再被某個(gè)固定的雜質(zhì)原子所束縛，而是可以的整個(gè)半導(dǎo)體中運(yùn)動(dòng)的；雜質(zhì)能級(jí)將展寬為一個(gè)雜質(zhì)帶，雜質(zhì)帶的寬度隨雜質(zhì)濃度的增加而加寬。雜質(zhì)帶導(dǎo)帶尾N(E)

高摻雜不僅使雜質(zhì)能級(jí)發(fā)生變化，而且也引起能帶的變化。電子在晶體中運(yùn)動(dòng)時(shí)不僅受到晶格原子的作用，而且也受到雜質(zhì)原子的作用，使能帶失去明確的邊界，而產(chǎn)生一個(gè)伸入到禁帶中的“尾”。

如果P區(qū)和N區(qū)的摻雜濃度都很高，就形成P+N+結(jié)。對(duì)於摻雜濃度很高的N型半導(dǎo)體，其費(fèi)米能可上升到導(dǎo)帶中；而對(duì)於摻雜濃度很高的P型半導(dǎo)體，其費(fèi)米能則可降到價(jià)帶中。這種高摻雜的半導(dǎo)體稱為“簡(jiǎn)並”半導(dǎo)體。用簡(jiǎn)並半導(dǎo)體所組成的PN結(jié)，稱為隧道二極體，其伏安特性將與普通PN結(jié)有明顯的差異。VI/I0100%GeSiGaAs

在正向小電壓下，電流先上升，達(dá)到一個(gè)峰值；電壓繼續(xù)升高時(shí)，電流反而下降，出現(xiàn)負(fù)阻區(qū)；當(dāng)電壓達(dá)到一定值後，電流將迅速增大，這時(shí)PN結(jié)處於導(dǎo)通狀態(tài)。

正向電流峰的出現(xiàn)是在高摻雜條件下費(fèi)米能級(jí)進(jìn)入能帶的結(jié)果。

由於高摻雜，N區(qū)和P區(qū)的費(fèi)米能級(jí)分別進(jìn)入了導(dǎo)帶和價(jià)帶，平衡時(shí)兩邊的費(fèi)米能相等。當(dāng)對(duì)PN結(jié)施加正向小電壓V時(shí)，N區(qū)的費(fèi)米能比P區(qū)高eV，由於N區(qū)的導(dǎo)帶底有大量的電子，而P區(qū)的價(jià)帶頂有大量的空能級(jí)，因此，N區(qū)的導(dǎo)帶中處於EF與EF－eV之間的電子可以通平衡時(shí)施加正向小電壓過隧穿從N區(qū)進(jìn)入P區(qū)而形成PN結(jié)電流，稱為PN結(jié)的隧道效應(yīng)。隨著正向電壓的增加，正向電流也隨之增加，當(dāng)N區(qū)的費(fèi)米能與P區(qū)的價(jià)帶頂EV相等時(shí)，穿透幾率達(dá)到極大，正向電流也達(dá)到極大。如正向電壓繼續(xù)增加，N區(qū)的費(fèi)米能將超過P區(qū)的價(jià)帶頂EV，將有一部分電子不能隧穿到價(jià)帶的空能級(jí)中，因此，隧道電流將隨正向電壓的增加而下降。當(dāng)N區(qū)的導(dǎo)帶底與P區(qū)的價(jià)帶頂相等時(shí)，隧道電流降到極小。NP

若電壓繼續(xù)增加，當(dāng)達(dá)到正嚮導(dǎo)通電壓時(shí)，就只有一般PN結(jié)的正向注入電流了。

隧道二極體的反向特性也完全不同於一般PN結(jié)二極體。隧道二極體的反向電流很大，且隨反向電壓迅速增大。這時(shí)，價(jià)帶中的電子可以通過隧道效應(yīng)穿透的導(dǎo)帶中，形成大的反向電流。利用隧道二極體的負(fù)阻區(qū)可進(jìn)行微波振盪和微波放大。(EF)N(EF)P(EF)N(EF)P正嚮導(dǎo)通反向隧穿四、電晶體的放大作用PPNEBCPNNECBBECBECRLNN＋PIBICIECBE

通常，電晶體的兩個(gè)PN結(jié)並不對(duì)稱，一般發(fā)射區(qū)有較高的摻雜濃度。圖為N+-P-N電晶體。在發(fā)射區(qū)與基區(qū)間的N+-P結(jié)處於正向，而集電區(qū)與基區(qū)的P-N結(jié)處於反向。因此，在N+-P結(jié)中將有大的正向電流密度jE通過，此正向電流密度由兩部分組成：由N+區(qū)向P區(qū)注入的電子電流密度je和由P區(qū)向N+區(qū)注入的空穴電流密度jh。而在N+區(qū)中平衡的多子濃度nN0和少子濃度pN0必須滿足同樣，在P區(qū)中平衡的多子濃度pP0和少子濃度nP0滿足由以上兩式可得由於發(fā)射區(qū)（N+區(qū)）是高摻雜區(qū)，有很高的多子（電子）濃度nN0

，而基區(qū)（P區(qū)）的摻雜濃度比較低，多子（空穴）濃度pP0較低，因此有再由上式即可得：

由此可以得出，由發(fā)射區(qū)（N+區(qū)）向基區(qū)（P區(qū)）注入的電子電流密度je比由基區(qū)（P區(qū)）向發(fā)射區(qū)（N+區(qū)）注入的空穴電流密度jh大的多，即je>>jh。通常定義為電晶體的發(fā)射效率或注射比。顯然，電晶體的注射比

<1，但接近於1。一般電晶體的基區(qū)（P區(qū)）都比較薄，因此，由發(fā)射區(qū)（N+區(qū)）注入到基區(qū)（P區(qū)）的電子可很快渡過基區(qū)而達(dá)到反向偏置的集電區(qū)P-N結(jié)勢(shì)壘的邊緣，並被結(jié)區(qū)內(nèi)強(qiáng)的內(nèi)電場(chǎng)拉向集電區(qū)（N區(qū)），形成集電極電流密度jC。由於從發(fā)射區(qū)（N+區(qū)）注入到基區(qū)（P區(qū)）的電子在穿越基區(qū)（P區(qū)）時(shí)，有一部分被複合，因此，集電區(qū)的電流密度jC必小於je。令

稱為基區(qū)的輸運(yùn)係數(shù)，

<1。如果基區(qū)做得足夠薄，且材料的晶格又比較完整，那麼電子在穿越基區(qū)時(shí)只有很少一部分被複合，因此可近似認(rèn)為

1。嚴(yán)格說，在集電極電流密度jC中還應(yīng)包括處於反向偏置的PN結(jié)的反向飽和電流密度j0，但由於這部分電流密度通常比je小得多，可以忽略不計(jì)。由於

和

均小於1，但接近於1，所以，集電極電流密度jC小於但接近於發(fā)射極電流密度

jE。於是，基極電流為A為結(jié)的面積。因?yàn)閖C

jE

，所以IB為小量。在電晶體放大電路中，基極電流IB常作為輸入電流，而IC作為輸出電流。因此，定義電路的電流放大倍數(shù)

為因?yàn)?/p>

1，所以

值可以相當(dāng)大，一般可達(dá)50~100。從上式可以看出，為了獲得足夠大的電流放大倍數(shù)

，必須要求盡可能大的注射比

及基極輸運(yùn)係數(shù)

。發(fā)射區(qū)的摻雜濃度之所以要比基區(qū)的摻雜濃度高得多（即形成N+-P結(jié)或P+-N結(jié)）就是為了提高注射比

；而在電晶體的製作工藝上要求將基區(qū)做得很薄，並儘量保證材料有完整的晶體結(jié)構(gòu)，其目的也是為了提高基區(qū)的輸運(yùn)係數(shù)

?！?.7MOS結(jié)構(gòu)MOS結(jié)構(gòu)是大規(guī)模積體電路中的最重要單元之一，因此，研究其工作原理不僅在理論上而且在實(shí)際應(yīng)用上都非常重要。設(shè)半導(dǎo)體為P型半導(dǎo)體，空穴為多子，電子為少子。若半導(dǎo)體接地，而使金屬處正電位，在半導(dǎo)體中產(chǎn)生一個(gè)向下的電場(chǎng)。在電場(chǎng)的作用下，表面處的空穴被趕走，而留下帶負(fù)電的電離受主雜質(zhì)。這些電離受主雜質(zhì)可遮罩外電場(chǎng)，於是MOS結(jié)構(gòu)就好像一個(gè)平行板電容器。當(dāng)對(duì)金屬一側(cè)施加正向電壓，歐姆接觸半導(dǎo)體金屬氧化物＋V在半導(dǎo)體一側(cè)就產(chǎn)生負(fù)電荷。在厚度為d的由電離受主雜質(zhì)所構(gòu)成的空間電荷區(qū)內(nèi)，由於電場(chǎng)的存在，其電勢(shì)是逐漸變化的，造成此區(qū)域中半導(dǎo)體能帶的彎曲。xVVSd0EVEFECeVS將半導(dǎo)體表面（x=0）相對(duì)於體內(nèi)（x

d）的電勢(shì)差稱為表面勢(shì)VS。在空間電荷區(qū)內(nèi)，價(jià)帶邊離費(fèi)米能EF較遠(yuǎn)，表明在表面附近空穴被趕走，空穴濃度很低，為高阻區(qū)，稱為表面載流子的耗盡區(qū)。EVEFECEi如果升高金屬的正電壓，表面勢(shì)將增大，能帶也將更為彎曲。當(dāng)費(fèi)米能級(jí)EF高於表面處的本征費(fèi)米能Ei時(shí)，表面附近的電子濃度將高於空穴濃度，表面附近就將由P型變成N型，即表面附近的半導(dǎo)體導(dǎo)電類型變得與體內(nèi)相反。稱該區(qū)域?yàn)楸砻娣葱蛯印Ｈ缌頴VF表示體內(nèi)Ei與EF之差，形成反型層的條件一般取為

對(duì)於表面反型層的電子，左邊是絕緣層，而右邊是由耗盡層空間電荷區(qū)的電場(chǎng)所形成的勢(shì)壘。所以，在反型層中的電子，實(shí)際上被限制在表面附近能量最低的一個(gè)狹窄區(qū)域中。因此，反型層有時(shí)也稱為溝道。P型半導(dǎo)體的表面反型層是由電子構(gòu)成的，稱為N型溝道。對(duì)於由N型半導(dǎo)體所組成的MOS結(jié)構(gòu)，也可作同樣的討論。如在金屬層施加負(fù)電壓，半導(dǎo)體表面的電子將被趕走，形成缺少載流子（電子）的表面耗盡層。若加大負(fù)電壓的值，則半導(dǎo)體表面將由N型變?yōu)镻型，形成表面反型層（也稱為P型溝道）。如對(duì)P型半導(dǎo)體的MOS結(jié)構(gòu)加以負(fù)電壓，則將在P型半導(dǎo)體表面積累更多的空穴，稱這樣的半導(dǎo)體表面區(qū)為表面積累區(qū)。DGSP－Si襯底N+N+MOS結(jié)構(gòu)常被用來製成可放大電信號(hào)的MOS電晶體。如在SiMOS結(jié)構(gòu)的P型半導(dǎo)體上製作兩個(gè)N＋型擴(kuò)散區(qū)，形成兩個(gè)PN結(jié)，將與這兩個(gè)擴(kuò)散區(qū)連接的電極分別稱為漏極（D）和源極（S）；將與金屬層相連的電極稱為柵極（G）。若在D和S之間加一電壓，相當(dāng)於對(duì)兩個(gè)背靠背的PN結(jié)加電壓，其中一個(gè)PN結(jié)處於正向，另一個(gè)處於反向，因此流過的電流很小。如在柵極G與Si襯底間加一正電壓，使P型區(qū)的介面變?yōu)榉葱蛯?，即變?yōu)镹型Si。這樣，在氧化層介面形成N型Si的電流通道，於是，D和S之間就有大電流流過?！?.8異質(zhì)結(jié)

將兩種不同的半導(dǎo)體材料所組成的介面區(qū)稱為異質(zhì)結(jié)，如：在GaAs襯底上外延生長合金半導(dǎo)體AlxGa1-xAs，在其介面上就構(gòu)成異質(zhì)結(jié)。異質(zhì)結(jié)具有許多普通PN結(jié)所沒有的特性，常被用來改良半導(dǎo)體器件的性能。

1

1

2

2Eg1Eg2

EC

EVEF1EF2E0EV2EV1EC1EC2P型N型eVDE0：真空能級(jí)，表示電子逸出半導(dǎo)體進(jìn)入真空後所具有

的能量。

＝E0

－EC稱為電子的親合能，由材料本身的性質(zhì)決定。能帶邊失配{eVD1eVD2EC1EC2EV1EV2EFeVD1eVD2

由於兩種半導(dǎo)體材料的費(fèi)米能不同，當(dāng)它們組成異質(zhì)結(jié)時(shí)，將發(fā)生電荷轉(zhuǎn)移而在介面區(qū)形成PN結(jié)勢(shì)壘，從而使兩邊的費(fèi)米能相等。與同質(zhì)PN結(jié)的能帶圖相比，異質(zhì)結(jié)的能帶圖有明顯的不同：由於能帶在介面處的間斷，在勢(shì)壘的一側(cè)出現(xiàn)尖峰，而另一側(cè)則出現(xiàn)峽谷。在結(jié)區(qū)的能量降低為分別降落的異質(zhì)結(jié)兩邊的半導(dǎo)體上。而由於能帶邊的失配

EC和

EV的存在，使得電子從N區(qū)導(dǎo)帶流向P區(qū)導(dǎo)帶所需越過的勢(shì)壘變?。合喾矗琍區(qū)的空穴流向N區(qū)的價(jià)帶所需越過的勢(shì)壘變大：

異質(zhì)結(jié)的一個(gè)重要性質(zhì)是可以提高電流的注入比，即在總電流中電子電流與空穴電流之比。如在異質(zhì)結(jié)的N型區(qū)一側(cè)用寬頻隙的半導(dǎo)體材料，就可以提高電子的注入比。平衡時(shí)，P區(qū)中的電子濃度為而N區(qū)中的空穴濃度為

當(dāng)施加正向偏壓V後，設(shè)全部正向偏壓都降落在勢(shì)壘上，使電子和空穴的勢(shì)壘均降低eV，如假設(shè)載流子在勢(shì)壘區(qū)中沒有複合，這時(shí)有P區(qū)：N區(qū)：在P區(qū)勢(shì)壘邊界處的電子擴(kuò)散電流密度為同理，在N區(qū)勢(shì)壘邊界處的空穴擴(kuò)散電流密度為

平衡時(shí)，P區(qū)的電子（少子）濃度和N區(qū)的空穴（少子）濃度可分別表為{對(duì)於同質(zhì)PN結(jié)，

EC＝

EV＝0，ni1＝ni2，則注入比為ND和NA分別是N區(qū)的施主摻雜濃度和P區(qū)的受主摻雜濃度，注入比主要決定於摻雜濃度之比。因此，為了提高同質(zhì)PN結(jié)的注入比，就要提高N區(qū)的施主摻雜濃度。而對(duì)於異質(zhì)結(jié)，注入比為

這裏忽略了兩種不同材料有效能態(tài)密度的差異?？梢钥闯?，如果N區(qū)選用比P區(qū)更寬頻隙的半導(dǎo)體材料，那麼，即使兩邊的摻雜濃度相差不多，也可獲得很高的注入比。對(duì)於電晶體、半導(dǎo)體雷射器等半導(dǎo)體器件，注入比是一個(gè)很重要的參量。對(duì)於電晶體，高的注入比可獲得高的電流放大倍數(shù)；對(duì)於半導(dǎo)體雷射器，則可提高雷射器的工作效率。此外，由GaAs和AlxGa1-xAs所組成的異質(zhì)PN結(jié)，在窄帶隙的GaAs中可以存在電子或空穴的窄勢(shì)阱稱為量子阱。如果處於勢(shì)阱中的電子（或空穴）的能量低於勢(shì)壘高度（即能帶邊失配值

EC或

EV）,那麼電子（或空穴）的運(yùn)動(dòng)就被限制在勢(shì)阱中。如果勢(shì)阱的厚度（即窄禁帶GaAs的厚度）足夠薄，則可近似認(rèn)為勢(shì)阱中的電子（或空穴）只能在平行於介面的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，這時(shí)量子阱中的電子（或空穴）可近似看成二維電子（空穴）氣。

金屬自由電子論§5.1Sommerfeld的自由電子論一、自由電子模型

電子在一有限深度的方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，電子間的相互

作用可忽略不計(jì)；電子按能量的分布遵從Fermi－Dirac統(tǒng)計(jì)；電子的填充滿足Pauli不相容原理；電子在運(yùn)動(dòng)中存在一定的散射機(jī)制。二、運(yùn)動(dòng)方程及其解1.運(yùn)動(dòng)方程其中，U0為電子在勢(shì)阱底部所具有的勢(shì)能，為簡(jiǎn)單起見，可選取U0

＝0。令有方程的解為：其中，A為歸一化因數(shù)，可由歸一化條件確定。V為金屬的體積。k為電子波矢電子的能量：二、週期性邊界條件

設(shè)金屬為一平行六面體，其棱邊分別沿三個(gè)基矢a1、a2和a3方向，N1、N2和N3分別為沿a1、a2和a3方向金屬的原胞數(shù)，那麼，金屬中原胞的總數(shù)為

N＝N1N2N3週期性邊界條件：

k(r)＝

k(r+N

a

)，

＝1,2,3

k

N

a

＝2h

,h

為整數(shù)。由於波向量k是倒易空間中的向量，可用倒格子基矢表示：h

為整數(shù)，

＝1,2,3由於h1、h2、h3為整數(shù)，可見引入週期性邊界條件後，波矢k的取值不連續(xù)，每一個(gè)k的取值代表一個(gè)量子態(tài)，這些量子態(tài)在k空間中排成一個(gè)態(tài)空間點(diǎn)陣，每一個(gè)量子態(tài)在k空間中所占的體積為那麼，在k空間中，波矢k的分佈密度為這表明，在k空間中，電子態(tài)的分佈是均勻的，只與金屬的體積有關(guān)。3.能態(tài)密度這表明，在k空間中，自由電子的等能面為球面，在能量為E的球體中，波矢k的取值總數(shù)為每一個(gè)k的取值確定一個(gè)電子能級(jí)，若考慮電子自旋，根據(jù)Pauli原理每一個(gè)能級(jí)可以填充自旋方向相反的兩個(gè)電子。如將每一個(gè)自旋態(tài)看作一個(gè)能態(tài)，那麼，能量為E的球體中，電子能態(tài)總數(shù)為定義：能態(tài)密度其中：由此可見，電子的能態(tài)密度並不是均勻分佈的，電子能量越高，能態(tài)密度就越大。三、Fermi－Dirac統(tǒng)計(jì)1.量子統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)

經(jīng)典的Boltzmann統(tǒng)計(jì)：

量子統(tǒng)計(jì)：Fermi－Dirac統(tǒng)計(jì)和Bose－Einstein統(tǒng)計(jì)費(fèi)米子：自旋為半整數(shù)（n＋1/2）的粒子（如：電子、質(zhì)

子、中子等），費(fèi)米子遵從Fermi－Dirac統(tǒng)計(jì)規(guī)律；玻色子：自旋為整數(shù)n的粒子（如：光子、聲子等），

玻色子遵從Bose－Einstein統(tǒng)計(jì)規(guī)律。2.T＝0時(shí)電子的分佈

當(dāng)T＝0時(shí)，系統(tǒng)的能量最低。但是，由於電子的填充必須遵從Pauli原理，因此，即使在T＝0時(shí)，電子也不可能全部填充在能量最低的能態(tài)上。如能量最低的能態(tài)已經(jīng)填有電子，其他電子就必須填到能量較高的能態(tài)上。所以，在k空間中，電子從能量最低的原點(diǎn)開始填起，能量由低到高逐層向外填充，其等能面為球面，一直到所有電子都填完為止。由於等能面為球面，所以，在k空間中，電子填充的部分為球體，稱為Fermi球。將Fermi球的表面稱為Fermi面，F(xiàn)ermi面所對(duì)應(yīng)的能量稱為Fermi能EF0。於是，可得電子的分佈函數(shù)為f(E)={1EEF00E>EF0——費(fèi)米半徑——費(fèi)米動(dòng)量——費(fèi)米速度EEF001f(E)T＝0在E－E＋dE中的電子數(shù)為：dN＝f(E)N(E)dE系統(tǒng)的自由電子總數(shù)為T＝0其中——自由電子密度對(duì)於金屬：n：1022~1023cm－3

，所以EF0~幾個(gè)eV定義Fermi溫度：若將費(fèi)米能轉(zhuǎn)換成振動(dòng)能相當(dāng)於多高溫度下的熱振動(dòng)能。對(duì)於金屬，TF~104K。系統(tǒng)的總能量：T＝03.T>0時(shí)的分佈當(dāng)T>0時(shí)，電子熱運(yùn)動(dòng)的能量~kBT，在常溫下kBT<<EF0因此，只有費(fèi)米麵附近的電子才能被激發(fā)到高能態(tài)，即只有

E－EF0

~kBT的電子才能被熱激發(fā)，而能量比EF0低幾個(gè)kBT的電子則仍被Pauli原理所束縛，其分佈與T＝0時(shí)相同。能量在E－E＋dE之間的電子數(shù)為：其中為Fermi－Dirac分佈函數(shù)其中

是電子的化學(xué)勢(shì)，其物理意義是在體積不變的情況下，系統(tǒng)增加一個(gè)電子所需的自由能。從分佈幾率看，當(dāng)E＝

時(shí)，f()＝0.5，代表填充幾率為1/2的能態(tài)。當(dāng)E－>幾個(gè)kBT時(shí)，exp[(E－)/kBT]>>1，有，這時(shí)，F(xiàn)ermi－Dirac分佈過渡到經(jīng)典的Boltzmann分佈。且f(E)隨E的增大而迅速趨於零。這表明，E－>幾個(gè)kBT的能態(tài)是沒有電子佔(zhàn)據(jù)的空態(tài)。當(dāng)

－

E>幾個(gè)kBT時(shí)，exp[(E－)/kBT]<<1，這時(shí)，f(E)1，這表明，

－

E>幾個(gè)kBT的能態(tài)基本上是滿態(tài)。在強(qiáng)簡(jiǎn)並情況下，EF（EF是T>0時(shí)的費(fèi)米能）。這裏需要指出的是，金屬自由電子氣的簡(jiǎn)並性與量子力學(xué)中能量的簡(jiǎn)並性是不同的。金屬自由電子氣的簡(jiǎn)並性指的是統(tǒng)計(jì)的簡(jiǎn)並性，而不是能量的簡(jiǎn)並性，即指金屬自由電子氣與理想氣體遵從不同的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。我們將金屬自由電子氣與連續(xù)氣體性質(zhì)之間的差異稱為簡(jiǎn)並性。對(duì)金屬而言，其熔點(diǎn)均低於TF，因此，在熔點(diǎn)以下，T<<TF總是滿足的。所以，我們將金屬自由電子氣稱為強(qiáng)簡(jiǎn)並的費(fèi)米氣體。而對(duì)於半導(dǎo)體，n~1017cm－3，其TF~102K。

當(dāng)T~TF時(shí)，其分佈已經(jīng)很接近於經(jīng)典分佈了。

對(duì)於金屬而言，由於T<<TF總是成立的，因此，只有費(fèi)米麵附近的一小部分可以電子被激發(fā)到高能態(tài)，而離費(fèi)米麵較遠(yuǎn)的電子則仍保持原來（T＝0）的狀態(tài)，我們稱這部分電子被“冷凍”下來。因此，雖然金屬中有大量的自由電子，但是，決定金屬許多性質(zhì)的並不是其全部的自由電子，而只是在費(fèi)米麵附近的那一小部分。正因?yàn)檫@樣，對(duì)金屬費(fèi)米麵的研究就顯得尤為重要。四、結(jié)果與討論（粗略的數(shù)量級(jí)估算）1.電子熱容量

對(duì)於金屬，T<<TF，金屬自由電子氣是強(qiáng)簡(jiǎn)並的費(fèi)米氣體，所以，當(dāng)T>0時(shí)，佔(zhàn)有在費(fèi)米麵附近幾個(gè)kBT的電子受熱激發(fā)，而離費(fèi)米麵較遠(yuǎn)處的電子仍保持原來的狀態(tài)（被“冷凍”下來）。因此，儘管金屬中有大量的自由電子，但對(duì)電子熱容量有貢獻(xiàn)的只是在費(fèi)米麵附近厚度~kBT的一層電子，而這層電子僅占電子總數(shù)的很小一部分。在E－EF

kBT中的電子數(shù)為

N’

N(EF)f(EF)EN(EF0)(2kBT)/2＝N(EF0)kBT及於是，而每個(gè)電子熱運(yùn)動(dòng)的平均能量為由於熱激發(fā)，系統(tǒng)所獲得的能量為電子熱容量為：對(duì)於一摩爾金屬，N＝ZN0，Z是每個(gè)金屬原子所貢獻(xiàn)的自由電子數(shù)。而常溫下，CL3R，由於T<<TF，所以Ce<<CL，即常溫下可以不必考慮電子熱容量的貢獻(xiàn)。2.Pauli順磁這裏只考慮T

0的極端情況。當(dāng)B=0時(shí)，由於電子自旋方向相反的兩種取向的幾率相等，所以，整個(gè)系統(tǒng)不顯示磁性，即M=0。當(dāng)B

0時(shí)，自旋磁矩在磁場(chǎng)中的取向能：

B平行於B：－

BB；

B反平行於B：＋

BB導(dǎo)致兩種自旋電子的能級(jí)圖發(fā)生移動(dòng)，相應(yīng)的費(fèi)米能相差2BB。因此，電子的填充情況要重新調(diào)整，即有一部分電子從自旋磁矩反平行於B轉(zhuǎn)到平行於B的方向，最後使兩邊的費(fèi)米能相等。－

BB

BB－

B

BEB－

BB

BB－

B

BEBEF0自旋磁矩改變方向的電子數(shù)：而每個(gè)電子的自旋磁矩從－

B變?yōu)椋?/p>

B改變了2

B所以，產(chǎn)生的總磁矩為所以

由於

BB<<EF0，所以，我們?cè)俅慰吹綄?duì)電子Pauli順磁有貢獻(xiàn)的並不是金屬所有的自由電子，而只是在費(fèi)米麵附近的一小部分電子。3.導(dǎo)電率

當(dāng)

＝0時(shí)，費(fèi)米球的球心在原點(diǎn)，這時(shí)，任何一個(gè)量子態(tài)k，都有一個(gè)反方向的－k態(tài)與之對(duì)應(yīng)，處在這兩種量子態(tài)的電子具有大小相等、方向相反的速度，所以，系統(tǒng)的總電流為0。當(dāng)

0時(shí)，電子的定向運(yùn)動(dòng)可看成兩個(gè)過程：電子在電場(chǎng)

的作用下作加速運(yùn)動(dòng)；電子由於碰撞而失去定向運(yùn)動(dòng)。0kxky

0時(shí)，電子在電場(chǎng)的作用下沿電場(chǎng)的反方向作加速運(yùn)動(dòng)：這表明，在電場(chǎng)作用下，整個(gè)電子分佈將在k空間沿

的反方向移動(dòng)。所以，費(fèi)米球的球心將偏離原點(diǎn)位置，從而使原來對(duì)稱的分佈偏向一邊，這樣就有一部分電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)不能被抵消，而產(chǎn)生宏觀電流。

另一方面，電子由於碰撞而失去其定向運(yùn)動(dòng)。設(shè)電子相鄰兩次碰撞之間的時(shí)間間隔為

，且一旦發(fā)生碰撞，電子就完全失去其定向運(yùn)動(dòng)。粗略假想，所有電子都在

時(shí)間內(nèi)同時(shí)發(fā)生碰撞，其結(jié)果使分佈回到平衡狀態(tài)，這樣反復(fù)迴圈。於是，可求出費(fèi)米球心移動(dòng)的距離為所以，電子的定向漂移速度為電流密度：所以

人們對(duì)電子電導(dǎo)有兩種不同的解釋：一種看法認(rèn)為，金屬中的所有自由電子都參與導(dǎo)電過程，而每個(gè)電子的漂移速度都比較小；另一種看法則認(rèn)為，並非所有電子都參與傳輸電流的過程，只有在費(fèi)米麵附近的電子才對(duì)金屬的導(dǎo)電有貢獻(xiàn)，但由於在費(fèi)米麵附近的電子具有很高的速度（VF106m/s的數(shù)量級(jí)），所以，雖然參與導(dǎo)電的電子數(shù)少，其效果與大量的低漂移速度的電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)相當(dāng)。0kxky

kFⅠⅡ右圖中Ⅰ和Ⅱ是關(guān)於ky－kz面對(duì)稱的這兩個(gè)區(qū)域的電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)相互抵消，只有在費(fèi)米麵附近未被補(bǔ)償部分的電子才對(duì)傳導(dǎo)電流有貢獻(xiàn)，這部分電子所占的分?jǐn)?shù)為這部分電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)為

根據(jù)這一模型，對(duì)傳導(dǎo)電流有貢獻(xiàn)的電子數(shù)目雖然少，但其運(yùn)動(dòng)速度很快，其結(jié)果與高濃度但低漂移速度的電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)相同。嚴(yán)格理論計(jì)算結(jié)果支持了後一種說法。這主要是由於Pauli不相容原理的結(jié)果。能量比EF低得多的電子，其附近的狀態(tài)仍被其他電子所佔(zhàn)據(jù)，沒有空狀態(tài)來接納它，因此，這些電子不能吸收電場(chǎng)的能量而躍遷到較高的能態(tài)，對(duì)電導(dǎo)作出貢獻(xiàn)，能被電場(chǎng)激發(fā)的只有在費(fèi)米麵附近的一小部分電子?！?.2Sommerfeld展開式及其應(yīng)用一、問題的提出在定量計(jì)算金屬性質(zhì)時(shí)，常會(huì)遇到以下形式的積分和這裏，f(E)為F—D分佈函數(shù)，，這種積分不能用精確的解析運(yùn)算式積出，因而給定量計(jì)算金屬的性質(zhì)帶來困難。所幸的是，由於金屬的費(fèi)米能EF0>>kBT，當(dāng)T>0時(shí)，只有在費(fèi)米麵附近的一小部分電子被激發(fā)而躍遷到高能態(tài)，而比EF0低幾個(gè)kBT的電子仍保持原來的狀態(tài)，因此，上述的積分可以作適當(dāng)?shù)慕铺幚?。二、Sommerfeld展開式設(shè)函數(shù)Q(E)在（-

，+）上連續(xù)可微，Q(0)＝0，並且滿足條件，其中α為大於0的常數(shù)。在kBT<<EF的情況下，有其中為F－D分佈函數(shù)證明：考察：(-df/dE)是（E－EF）的偶函數(shù)；

(-df/dE)的值集中在

E－EFkBT的一小範(fàn)圍內(nèi)，當(dāng)

E－EF>幾個(gè)kBT時(shí)，函數(shù)的值迅速趨於0，具有

類似於

函數(shù)的性質(zhì)。

因此，積分的貢獻(xiàn)主要來自E~EF附近的區(qū)域，由於EF>>kBT，所以，我們可以將均分的下限由0改為-∞，而並不會(huì)影響積分值。

由於(-df/dE)的值集中在E=EF附近，因此，可將Q(E)在E=EF附近展開成Taylor級(jí)數(shù)。利用Taylor展開式：三、Sommerfeld展開式的應(yīng)用1.EF的確定

對(duì)於金屬，由於TF>>T，所以EF

EF0

。我們可以定性地分析為什麼EF會(huì)略低於EF0

。當(dāng)T>0時(shí)，由於TF>>T，所以電子的分佈函數(shù)只在費(fèi)米能附近幾個(gè)kBT的範(fàn)圍內(nèi)有變化，而離費(fèi)米能較遠(yuǎn)處電子的分佈於T=0時(shí)相同。在有限溫度下，EF0以下能態(tài)的佔(zhàn)有幾率減小，而EF0以上能態(tài)的佔(zhàn)有幾率增大，可以認(rèn)為，EF0上下電子佔(zhàn)有