專題07二次函數(shù)中的存在性問題專訓(xùn)（8大題型）【題型目錄】題型一二次函數(shù)中直角三角形的存在性問題題型二二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題題型三二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問題題型四二次函數(shù)中特殊角度的存在性問題題型五二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題題型六二次函數(shù)中矩形的存在性問題題型七二次函數(shù)中菱形的存在性問題題型八二次函數(shù)中正方形的存在性問題【經(jīng)典例題一二次函數(shù)中直角三角形的存在性問題】1．（2022·湖南衡陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)為拋物線上的點(diǎn)，連接交直線于，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在直線上，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（2023秋·廣東汕頭·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B，并與x軸交于另一點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為P．

(1)求a，k的值．(2)求的面積．(3)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)N，使是以為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．（2022春·河北保定·九年級(jí)保定市第十七中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、．

(1)求此拋物線的解析式；(2)設(shè)是直線上方該拋物線上除點(diǎn)外的一點(diǎn)，且與的面積相等，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在直線上方，拋物線上找一點(diǎn)，使得的面積最大，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________；(4)設(shè)是拋物線上一點(diǎn)，且為直角三角形，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為________．4．（2023春·福建福州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D拋物線交x軸于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，

(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)過定點(diǎn)（1，3）的直線：與二次函數(shù)的圖像相交于M，N兩點(diǎn)．①若，求k的值；②證明：無論k為何值，恒為直角三角形．【經(jīng)典例題二二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題】5．（2022秋·福建龍巖·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與軸交于點(diǎn)C．

(1)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)D，使最短，求出D點(diǎn)坐標(biāo)；(2)P是y軸正半軸上一點(diǎn)，且是以為腰的等腰三角形，試求P點(diǎn)坐標(biāo)．6．（2023秋·浙江·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，和，連接，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交直線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N．(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；(2)如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求m的值；(3)是否存在點(diǎn)這樣的點(diǎn)P，使得以O(shè)，M，N為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)，A，C為頂點(diǎn)的三角形相似，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．7．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).

(1)求此拋物線解析式；(2)如圖1，為線段上一點(diǎn)，作交拋物線于，的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，為射線上一點(diǎn)，在拋物線上，、均位于軸上方，且使，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo).8．（2022秋·江蘇連云港·九年級(jí)灌云縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，拋物線交軸于點(diǎn)、(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，對(duì)稱軸交軸于，點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是直線下方的拋物線上一點(diǎn)，且．求的坐標(biāo)；(3)為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在以、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【經(jīng)典例題三二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問題】9．（2023·黑龍江佳木斯·校聯(lián)考二模）如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上有一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，若是等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．10．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)將該拋物線平移，所得拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)B．如果以點(diǎn)A，O，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，那么應(yīng)將拋物線怎樣平移？為什么？11．（2023·寧夏銀川·?？级＃┤鐖D：一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，連接．

(1)當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，試確定點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)當(dāng)與相似時(shí)，試確定點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大？并求出最大值．12．（2023春·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象與坐標(biāo)軸相交于A、B、C三點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，連接．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BA上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為多少？(3)在線段上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【經(jīng)典例題四二次函數(shù)中特殊角度的存在性問題】13．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過原點(diǎn)O，與x軸正半軸交于另一點(diǎn)A，且經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如C是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連分別交x軸、y軸于D、E，若，求C點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如圖3，拋物線的頂點(diǎn)為F點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸下方、拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．14．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線（b，c為常數(shù)，）經(jīng)過點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，①求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，若點(diǎn)E的坐標(biāo)為，，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)如圖2．點(diǎn)是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，直接寫出拋物線解析式．15．（2023春·湖北武漢·九年級(jí)?？甲灾髡猩┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．

(1)直接寫出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，求拋物線的解析式．(2)D為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．①連接交于點(diǎn)E，記，求的最大值；②是否存在點(diǎn)D，使得？如果存在，寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．16．（2023秋·浙江杭州·九年級(jí)杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接和交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)．求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【經(jīng)典例題五二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題】17．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，直線與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)A，點(diǎn)E是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過E作軸交x軸于點(diǎn)F，交直線于點(diǎn)M．(1)求拋物線的解析式；(2)求線段的最大值；(3)在（2）的條件下，連接，點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．18．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，如圖①

(1)求拋物線解析式(2)直線的函數(shù)解析式為________________．點(diǎn)的坐標(biāo)為________．(3)在軸上找一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，具體作法如圖②，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接，，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(4)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．（2021秋·山西太原·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)如圖①，若點(diǎn)是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接，當(dāng)?shù)拿娣e等于面積的倍時(shí)，求的值；(3)若點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D②中探究拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．（2022秋·湖北隨州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知拋物線交軸于和，交軸于．

(1)求拋物線的解析式；(2)若為拋物線上第二象限內(nèi)一點(diǎn)，求使面積最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)是拋物線的頂點(diǎn)，為拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(4)若是對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在、，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【經(jīng)典例題六二次函數(shù)中矩形的存在性問題】21（2023·北京朝陽(yáng)·統(tǒng)考二模）圖1是一塊鐵皮材料的示意圖，線段長(zhǎng)為，曲線是拋物線的一部分，頂點(diǎn)C在的垂直平分線上，且到的距離為．以中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．

(1)求圖2中拋物線的表達(dá)式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)要從此材料中裁出一個(gè)矩形，使得矩形有兩個(gè)頂點(diǎn)在上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，求滿足條件的矩形周長(zhǎng)的最大值．22．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與坐標(biāo)軸相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)D為直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為G；交直線于點(diǎn)E．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求的最大值；(3)過點(diǎn)B的直線交y軸于點(diǎn)C，交直線于點(diǎn)F，H是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)．23．（2023·山東泰安·校考二模）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交坐標(biāo)軸于B、C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，且交x軸于另一點(diǎn)．點(diǎn)D為拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)Q．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，在點(diǎn)D的移動(dòng)過程中，存在，求出m值；(3)在拋物線上取點(diǎn)E，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)取點(diǎn)F，問是否存在以C、B、E、F為頂點(diǎn)且以為邊的矩形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．24．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．

(1)求拋物線解析式，并直接寫出直線的解析式；(2)點(diǎn)在此拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(3)若點(diǎn)是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(4)點(diǎn)在拋物線上，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【經(jīng)典例題七二次函數(shù)中菱形的存在性問題】25（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）如圖，已知經(jīng)過，兩點(diǎn)的拋物線與軸交于點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若線段上有一動(dòng)點(diǎn)不與、重合，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)．①求當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；②是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為菱形？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．26．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L：與x軸交于，兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸直線l與x軸交于點(diǎn)D．(1)求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式．(2)將拋物線L向左平移得到拋物線，當(dāng)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)A，E，F(xiàn)，M為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．27．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．與軸交于點(diǎn)，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)是第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到，距離相等時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在直線上，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．28．（2023秋·重慶南川·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸于，兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Р運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使四邊形ACPB的面積最大，求出此時(shí)四邊形ACPB的面積最大值和P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸上，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以點(diǎn)M、N、A、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【經(jīng)典例題八二次函數(shù)中正方形的存在性問題】29（2023·陜西西安·?？既＃┤鐖D，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)B坐標(biāo)為，點(diǎn)C坐標(biāo)為，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作軸與拋物線交于點(diǎn)N，點(diǎn)P在x軸上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以線段為對(duì)角線的四邊形為正方形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．30．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于一個(gè)函數(shù)，自變量x取a時(shí)，函數(shù)值y也等于a，則稱a是這個(gè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．已知拋物線．(1)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖，在（1）的條件下，在x軸上方作平行于x軸的直線l，與拋物線交于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在對(duì)稱軸的右側(cè)），過點(diǎn)B，C作x軸的垂線，垂足分別為E，D．當(dāng)矩形為正方形時(shí)，求B點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)若拋物線有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)a、b，且，求m的取值范圍．31．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線與