專題05相似三角形中的基本模型--對角互補模型相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就對角互補模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.對角互補模型（相似模型）【模型解讀】四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補。該題型常用到的輔助線主要是頂定點向兩邊做垂線，從而證明兩個三角形相似.【常見模型及結(jié)論】1）對角互補相似1 條件：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，點O是AB的中點，輔助線：過點O作OD⊥AC，垂足為D，過點O作OH⊥BC，垂足為H，結(jié)論：①△ODE～△OHF；②（思路提示：）.2）對角互補相似 2條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.輔助線：作法1：如圖1，過點C作CF⊥OA，垂足為F，過點C作CG⊥OB，垂足為G；結(jié)論：①△ECG～△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，）輔助線：作法2：如圖2，過點C作CF⊥OC，交OB于F；結(jié)論：①△CFE～△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，）3）對角互補相似3 條件：已知如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°輔助線：過點D作DE⊥BA，垂足為E，過點D作DF⊥BC，垂足為F；結(jié)論：①△DAE～△DCF；②ABCD四點共圓。例1．（2023·重慶·九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，點P在AC上，PM交AB于點E，PN交BC于點F，當(dāng)PE＝2PF時，AP＝________．【答案】3【分析】如圖作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，設(shè)PQ=4x，則AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解決問題．【詳解】解：如圖作PQ⊥AB于點Q，PR⊥BC于點R．∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四邊形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴，，，∵PQ//BC，設(shè)PQ＝4x，則AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x＋3x＝3∴，∴AP＝5x＝3．故答案為3．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．例2．（2023·河南南陽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在等腰直角中，，，過點作射線，為射線上一點，在邊上（不與重合）且，與交于點．（1）求證：；（2）求證：；（3）如果，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)題意先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，從而結(jié)合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行線的性質(zhì)得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，從而得到△ADC∽△AEB；（2）根據(jù)題意由相似三角形的性質(zhì)得到AD：AE=AC：AB，轉(zhuǎn)化為AD：AC=AE：AB，結(jié)合∠DAE=∠CAB=45°得證結(jié)果；（3）根據(jù)題意結(jié)合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，從而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后即可求證．【詳解】解：（1）證明：∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，，∴；（2）證明：∵∴，即，∵，∴；（3）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴∴，又∵，∴，∴，∴【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過線段的比例關(guān)系得到三角形相似．例3．（河南省鶴壁市致遠(yuǎn)中學(xué)2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期第二階段考試數(shù)學(xué)試題）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，D為BC邊上的一點．過點D作射線DE⊥DF，分別交邊AB，AC于點E，F(xiàn)．(1)當(dāng)D為BC的中點，且DE⊥AB，DF⊥AC時，如圖①，______．(2)①若D為BC的中點，將∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)到圖②位置時，______．②若改變點D的位置，且時，求的值，請就圖③的情形寫出解答過程．(3)如圖③連接EF，當(dāng)BD＝______時，△DEF與△ABC相似．【答案】(1)(2)①；②，解答過程見解析(3)或【分析】（1）證、是的中位線，得，，即可得出答案；（2）①過點作于點，于點，先證，得出，再根據(jù)（1）所得結(jié)論即可得出答案；②過點作于點，于點，證，，推出，，同①得，則，即可得出結(jié)論；（3）分和兩種情況分別求解可得．【詳解】（1）解：，，，，，點是的中點，、是的中位線，，，，故答案為：3；（2）①過點作于點，于點，如圖2所示：則，四邊形是矩形，，即，，，即，，，，同（1）得：，，故答案為：3；②過點作于點，于點，如圖3所示：，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，與①同理得：，；（3）如圖所示：在中，由勾股定理得：，，與相似分兩種情況：①，則，即，整理得：，，；②，則，即，整理得：，，；綜上所述，當(dāng)或時，與相似；故答案為：或．【點睛】本題是相似綜合題，考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及分類討論等知識，本題綜合性強(qiáng)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．例4．（2022·山東·寧陽縣九年級期末）如圖1，將直角三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合，三角板的一邊交邊于點，另一邊交的延長線于點．（1）求證：；（2）如圖2，移動三角板，使頂點始終在正方形的對角線上，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立．請說明理由；（3）如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經(jīng)過點，其他條件不變，若，，則______．【答案】（1）見解析；（2）成立，見解析；（3）2【分析】(1)利用同角的余角相等，證即可，(2)成立．過點作于，過點作于，由四邊形為正方形，知平分，利用角平分線性質(zhì)，。推出四邊形是正方形，，利用同角的余角相等，證出即可，(3)過點作于，過點作于，垂足分別為、，則，，．可得，，得，，∴，即，再證即可．【詳解】(1)證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴；(2)解：成立．證明：如圖，過點作于，過點作于，∵四邊形為正方形，∴平分，又∵，，∴，∴四邊形是正方形，∴，∵，，∴，∴，∴；．(3)解：如圖，過點作于，過點作于，垂足分別為、，則，∴，．∴，，∴，，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查正方形中的探究問題，掌握探究問題的研究方法，試題研究，類比，應(yīng)用型進(jìn)行發(fā)展和提高，考查學(xué)生的應(yīng)變能力，及綜合運用的能力，難度較大，基礎(chǔ)知識要過硬是解題關(guān)鍵．例5．（2023·河南信陽·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點D，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F．（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，若m＝n，點E在線段AC上，則＝；（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖2，若點E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當(dāng)點E在直線AC上運動時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖3的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或【分析】（1）先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；（2）方法和一樣，先用等量代換判斷出，，得到∽，再判斷出∽即可；（3）由的結(jié)論得出∽，判斷出，求出DE，再利用勾股定理，計算出即可．【詳解】解：當(dāng)時，即：，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，成立如圖3，，，又，，，，，即，∽，，，，∽，，．由有，∽，，，，如圖4圖5圖6，連接EF．在中，，，，如圖4，當(dāng)E在線段AC上時，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，或舍如圖5，當(dāng)E在AC延長線上時，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，，或舍，③如圖6，當(dāng)E在CA延長線上時，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，，或（舍），綜上：或．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形相似的性質(zhì)和判定，勾股定理，判斷相似是解決本題的關(guān)鍵，求CE是本題的難點．例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如圖1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC邊上中點D，連接AD，點E為AB邊上一點，連接DE，作DF⊥DE交AC于點F，求證：BE＝AF；（2）探索發(fā)現(xiàn)：如圖2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC邊上中點D，連接AD，點E為BA延長線上一點，AE＝1，連接DE，作DF⊥DE交AC延長線于點F，求AF的長；（3）類比遷移：如圖3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC邊上中點D，連接AD，點E為射線BA上一點（不與點A、點B重合），連接DE，將射線DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°交射線CA于點F，當(dāng)AE＝4AF時，求AF的長．【答案】（1）見解析；（2）4；（3）或或【分析】（1）證明△BDE≌△ADF（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到BE＝AF；（2）方法同（1），利用全等三角形的性質(zhì)解決問題；（3）證明△EBD∽△DCF，推出，設(shè)AF＝m，則AE＝4m，分三種情形，分別構(gòu)建方程求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1中，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高，∴BD＝CD＝ADBC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；（2）解：如圖2中，由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4；（3）解：如圖3中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝60°，∴BD＝CD＝AB?sin60°＝2，∵AE＝4AF，∴可以假設(shè)AF＝m，則AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m，∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°，∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF，∴，∴，整理得，m2﹣5m+1＝0，解得m或（舍棄），經(jīng)檢驗，m是分式方程的解．當(dāng)點F在CA的延長線上時，CF＝4+m，由△EBD∽△DCF，可得，∴，解得，m或（舍棄），經(jīng)檢驗，m是分式方程的解．當(dāng)點E在射線BA上時，BE＝4+4m，∵△EBD∽△DCF，∴，∴解得，m或（舍棄），經(jīng)檢驗，m是分式方程的解．綜上所述，滿足條件的AF的值為或或．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．課后專項訓(xùn)練1．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）在菱形中，，對角線交于點，分別是邊上的點，且與交于點，則的值為．

【答案】【分析】由菱形的性質(zhì)及可證，得，；由得，，于是，可得，進(jìn)而求得答案．【詳解】∵∴∴∵四邊形是菱形，∴，∴∴∴，又∵∴．，∵∴，∴．設(shè)，則，，；故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用全等及相似得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知△ABC是等邊三角形,D是AC的中點,F為AB邊上一點,且AF=2BF,E為射線BC上一點,∠EDF=120°,則=.【答案】【分析】過D作DG∥BC交AB于G，則DG為△ABC的中位線，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ACB＝∠ABC＝60°，由DG∥BC，得∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD為等邊三角形，而∠EDF＝120°，得∠GDF＝∠CDE，易證得△GDF∽△CDE，所以FG：CE＝DG：DC，即CE：DC＝FG：DG＝FG：AG，設(shè)BF＝x，AF＝2x，則AB＝3x，AG＝1.5x，F(xiàn)G＝1.5x?x＝0.5x，即可得到CE：CD的比值．【詳解】解：過D作DG∥BC交AB于G，如圖，∵D是AC的中點，∴DG為△ABC的中位線，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠DCE＝120°，又∵DG∥BC，∴∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD為等邊三角形，∵∠EDF＝120°，∴∠GDF＝∠CDE，∴△GDF∽△CDE，∴FG：CE＝DG：CD，即CE：CD＝FG：DG，而DG＝AG＝BG，AF＝2BF，設(shè)BF＝x，AF＝2x，則AB＝3x，AG＝1.5x，F(xiàn)G＝1.5x?x＝0.5x，∴CE：CD＝FG：DG＝FG：AG＝0.5x：1.5x＝1：3．故答案為．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三邊相等；三個角都等于60°；也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練應(yīng)用各性質(zhì)進(jìn)行推理計算是解題關(guān)鍵．3．（2023青島版九年級月考）如圖，在中，，，直角的頂點在上，、分別交、于點、，繞點任意旋轉(zhuǎn)．當(dāng)時，的值為；當(dāng)時，為．（用含的式子表示）【答案】,【詳解】如圖，過點O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由條件可以表示出HO、GO的值，通過證明△PHO∽△QGO由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．解答：解：過點O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，∴∠OHP=∠OGQ=90°．∵∠ACB=90°，∴四邊形HCGO為矩形，∴∠HOG=90°，∴∠HOP=∠GOQ，∴△PHO∽△QGO，∴．∵，設(shè)OA=x，則OB=2x，且∠ABC=30°，∴AH=x，OG=x．在Rt△AHO中，由勾股定理，得OH=x，∴，∴=．故答案為．4．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到．連接，交于點D，則的值為．

【答案】5【分析】過點D作于點F，利用勾股定理求得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證、是等腰直角三角形，可得，再由，得，證明，可得，即，再由，求得，從而求得，，即可求解．【詳解】解：過點D作于點F，∵，，，∴，∵將繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，即，∵，，∴，∴，即，又∵，∴，∴，，∴，故答案為：5．

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，D，M，N分別在直線，直線，直線上，(1)若D是中點，，求；(2)若點D，M，N分別在，，的延長線上，且，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）倍長中線可證A，M，E，F(xiàn)四點共圓，從而≌，故（2）將轉(zhuǎn)化成對應(yīng)三角形的高之比，通過三角形相似：∽，可求．【詳解】（1）解：延長至，使，連接、,D是中點，，在和中，，≌，，，，，A，M，E，D四點共圓，，，，∽，，，，．（2）解：與交于點，連接，作交的延長線于，作于點，，，，，，，設(shè)，，，，，，∽，，∽，，．【點睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，掌握性質(zhì)和判定，并會利用面積轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．6．（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）點是內(nèi)一點，平分，延長交于點，延長交于點．

(1)如圖，若，證明：；(2)如圖，若，證明：；(3)如圖，若，，，，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)或．【分析】（）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，可得結(jié)論；（2）通過證明，可得，即可求解；（3）通過證明點，點，點，點四點共圓，可得，可求，，由勾股定理可求，由勾股定理可求解．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴；（2）證明：如圖，作，交的延長線于點，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴；（3）解：如圖3，連接，過點作于，過點作于，

∵平分，∴，∵，∴，∴點，點，點，點四點共圓，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得：或，∴或．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2023吉林九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知在中，，，，D為BC邊上的一點．過點D用射線，分別交邊于點E，F(xiàn)．

(1)當(dāng)D為的中點，且時，如圖①，______；(2)若D為BC的中點，將繞點D旋轉(zhuǎn)到圖②位置時，求的值；(3)若改變點D的位置，且時，如圖③，則______（用含m，n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)3(2)3(3)【分析】（1）根據(jù)題意可推出，結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解；（2）過點D作于點M，于點N，可證，即可進(jìn)一步求解；（3）過點P作于點P，于點Q，可證，，，即可進(jìn)一步求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴∴∴∵點D是的中點，∴∴∴故答案為：3（2）解：過點D作于點M，于點N，如圖2所示．

則．∴四邊形是矩形．∴，即．∵，∴，即．∴．∴．∴．同（1）得．∴；（3）解：過點P作于點P，于點Q，如圖3所示．

∴．∴四邊形是矩形．∴，，∵，∴，．∵，∴，．∴，．∴，．與（2）同理得：．∴．故答案為：【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點．熟記相關(guān)知識點進(jìn)行幾何推理是解題關(guān)鍵．8．（2023江蘇九年級月考）如圖，矩形ABCD中，∠ACB=30°，將一塊直角三角板的直角頂點P放在兩對角線AC，BD的交點處，以點P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB，BC所在的直線相交，交點分別為E，F(xiàn)．（1）當(dāng)PE⊥AB，PF⊥BC時，如圖1，則的值為；（2）現(xiàn)將三角板繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜60°）角，如圖2，求的值；【答案】見解析【詳解】試題分析：（1）當(dāng)PE⊥AB，PF⊥BC時，四邊形PEBF是矩形，所以PF=BE,因為在矩形ABCD中，點P是AC的中點，所以AE=BE=PF,又∠APE=∠ACB=30°，可得PE=AE,所以;（2）過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N，可證△PME∽△PNF．然后可得．試題解析：（1）．（2）如答圖1，過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N，則PM⊥PN．∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN．又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF．∴．由（1）知，，∴．考點：1．矩形的性質(zhì)；2．解直角三角形；3．相似三角形的判定與性質(zhì)．9．（2023陜西省西安市灞橋區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷）如圖1，四邊形ABCD是矩形，點P是對角線AC上的一個動點（不與A、C重合），過點P作PE⊥CD于點E，連接PB，已知AD＝3，AB＝4，設(shè)AP＝m．（1）當(dāng)m＝1時，求PE的長；（2）連接BE，試問點P在運動的過程中，能否使得△PAB≌△PEB？請說明理由；（3）如圖2，過點P作PF⊥PB交CD邊于點F，設(shè)CF＝n，試判斷5m+4n的值是否發(fā)生變化，若不變，請求出它的值；若變化，請說明理由．【答案】（1）PE＝；（2）不能，理由見解析；（3）不變，5m+4n＝16．【分析】（1）根據(jù)勾股定理得出AC，進(jìn)而利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可；（3）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答即可．【詳解】解：（1）連接BE，由已知：在Rt△ADC中，AC＝，當(dāng)AP＝m＝1時，PC＝AC﹣AP＝5﹣1＝4，∵PE⊥CD，∴∠PEC＝∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠PCE，∴△ACD∽△PCE，∴，即，∴PE＝；（2）如圖1，當(dāng)△PAB≌△PEB時，∴PA＝PE，∵AP＝m，則PC＝5﹣m，由（1）得：△ACD∽△PCE，∴，∴PE＝，由PA＝PE，即，解得：m＝，∴EC＝，∴BE＝，∴△PAB與△PEB不全等，∴不能使得△PAB≌△PEB；（3）如圖2，延長EP交AB于G，∵BP⊥PF，∴∠BPF＝90°，∴∠EPF+∠BPG＝90°，∵EG⊥AB，∴∠PGB＝90°，∴∠BPG+∠PBG＝90°，∴∠PBG＝∠EPF，∵∠PEF＝∠PGB＝90°，∴△BPG∽△PFE，∴，由（1）得：△PCE∽△ACD，PE＝，∴，即，∴EC＝，∴BG＝EC＝，∴，∴5m+4n＝16．【點睛】此題考查四邊形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行解答．10．（2023甘孜州中考模擬）如圖①，AD為等腰直角△ABC的高，點A和點C分別在正方形DEFG的邊DG和DE上，連接BG，AE．（1）求證：BG=AE；（2）將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)線段EG經(jīng)過點A時，（如圖②所示）①求證：BG⊥CE；②設(shè)DG與AB交于點M，若AG：AE=3：4，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②．【詳解】試題分析：（1）如圖①，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AD=BD，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠GDE=90°，DG=DE，則可根據(jù)“SAS“判斷△BDG≌△ADE，于是得到BG=AE；（2）①如圖②，先判斷△DEG為等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°，再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°，則可得∠BGE=90°，所以BG⊥GE；②設(shè)AG=3x，則AE=4x，即GE=7x，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得DG=GE=x，由（1）的結(jié)論得BG=AE=4x，則根據(jù)勾股定理得AB=5x，接著由△ABD為等腰直角三角形得到∠4=45°，BD=AB=x，然后證明△DBM∽△DGB，則利用相似比可計算出DM=x，所以GM=x，于是可計算出的值．試題解析：（1）證明：如圖①，∵AD為等腰直角△ABC的高，∴AD=BD，∵四邊形DEFG為正方形，∴∠GDE=90°，DG=DE，在△BDG和△ADE中，∵BD=AD，∠BDG=∠ADE，DG=DE，∴△BDG≌△ADE，∴BG=AE；（2）①證明：如圖②，∵四邊形DEFG為正方形，∴△DEG為等腰直角三角形，∴∠1=∠2=45°，由（1）得△BDG≌△ADE，∴∠3=∠2=45°，∴∠1+∠3=45°+45°=90°，即∠BGE=90°，∴BG⊥GE；②設(shè)AG=3x，則AE=4x，即GE=7x，∴DG=GE=x，∵△BDG≌△ADE，∴BG=AE=4x，在Rt△BGA中，AB===5x，∵△ABD為等腰直角三角形，∴∠4=45°，BD=AB=x，∴∠3=∠4，而∠BDM=∠GDB，∴△DBM∽△DGB，∴BD：DG=DM：BD，即x：x=DM：x，解得DM=x，∴GM=DG﹣DM=x﹣x=x，∴==．考點：四邊形綜合題；綜合題．11．（2023·四川·九年級專題練習(xí)）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動點，過點D作的垂線交直線于點F．

【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)時，興趣小組探究得出結(jié)論：，請寫出證明過程．【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)，且點F在線段上時，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）【拓展運用】(3)如圖3，連接，設(shè)的中點為M．若，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)①，證明過程略；②當(dāng)點F在射線上時，，當(dāng)點F在延長線上時，(3)【分析】（1）連接，當(dāng)時，，即，證明，從而得到即可解答；（2）①過的中點作的平行線，交于點，交于點，當(dāng)時，，根據(jù)，可得是等腰直角三角形，，根據(jù)（1）中結(jié)論可得，再根據(jù)，，即可得到；②分類討論，即當(dāng)點F在射線上時；當(dāng)點F在延長線上時，畫出圖形，根據(jù)①中的原理即可解答；（3）如圖，當(dāng)與重合時，取的中點，當(dāng)與重合時，取的中點，可得的軌跡長度即為的長度，可利用建系的方法表示出的坐標(biāo)，再利用中點公式求出，最后利用勾股定理即可求出的長度．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

當(dāng)時，，即，，，，,，，即，，，在與中，，，，；（2）①證明：如圖，過的中點作的平行線，交于點，交于點，

當(dāng)時，，即，是的中點，，，，，，，是等腰直角三角形，且，，根據(jù)（1）中的結(jié)論可得，；故線段之間的數(shù)量關(guān)系為；②解：當(dāng)點F在射線上時，如圖，在上取一點使得，過作的平行線，交于點，交于點，

同①，可得，，，，，同①可得，，即線段之間數(shù)量關(guān)系為；當(dāng)點F在延長線上時，如圖，在上取一點使得，過作的平行線，交于點，交于點，連接

同（1）中原理，可證明，可得，，，，，同①可得，即線段之間數(shù)量關(guān)系為,綜上所述，當(dāng)點F在射線上時，；當(dāng)點F在延長線上時，；（3）解：如圖，當(dāng)與重合時，取的中點，當(dāng)與重合時，取的中點，可得的軌跡長度即為的長度，

如圖，以點為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，過點作的垂線段，交于點，過點作的垂線段，交于點，

，，，，，，，是的中點，，，，，根據(jù)（2）中的結(jié)論，，，，，，．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確地畫出圖形，作出輔助線，找對邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．（2023·寧夏銀川·九年級?？茧A段練習(xí)）將一副三角尺如圖①擺放，在中，；在中，，點為的中點，交于點，經(jīng)過點．（1）求的度數(shù)；（2）如圖②，將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)角（），此時的等腰直角三角尺記為，交于點，交于點，試判斷的值是否隨著的變化而變化？如果不變，請求出的值；反之，請說明理由．【答案】（1）30°；（2）不變，．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，根據(jù)等邊對等角求出，再求出，再根據(jù)計算即可得解；（2）先證明，再根據(jù)兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似判斷出∽，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得為定值，再根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求解即可．【詳解】解：（1）如圖①，，點為的中點，，，，；（2）如圖②，，，，，，是等邊三角形，，，，在和中，，，，，的值不隨著的變化而變化，是定值．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并判斷出相似三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．13．（2023·廣西南寧·校聯(lián)考一模）在等邊中，點D是邊上一點，點E是直線上一動點，連接，將射線繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，與直線相交于點F．(1)若點D為邊中點．①如圖1，當(dāng)點E在邊上，且時，請直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系________；②如圖2，當(dāng)點E落在邊上，點F落在邊的延長線上時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請結(jié)合圖2說明理由；(2)如圖3，點D為邊上靠近點C的三等分點．當(dāng)時，直接寫出的值．【答案】(1)①；②仍然成立；理由見解析(2)或【分析】（1）①用“ASA”證明即可得出DE=DF；②將DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120°，交AC于點，則證明即可得出DE=DF；（2）分點E在A、B兩點之間和點E在B點下方兩種情況進(jìn)行討論，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：①DE=DF；∵△ABC為等邊三角形，∴，∵點D為BC的中點，∴，∵DE⊥AB，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴DE=DF；故答案為：DE=DF；②DE=DF仍然成立；將DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120°，交于AC于點，如圖所示：∵，∴，∴，∴，∴，∴，為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，∴DE=DF；（2）①當(dāng)點E在A、B兩點之間時，將DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120°，交于AC于點，如圖所示：設(shè)等邊三角形的邊長為a，∵AE:BE=3:2，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴；②點E在B點下方時，將DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120°，交于AC于點，如圖所示：設(shè)等邊三角形的邊長為a，∵AE:BE=3:2，∴，∵，∴，∴，∴，∴∴，為等邊三角形，∴，即，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴；綜上分析可知，的值為或4．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形相似的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確