貴州省遵義市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(含解析)_第1頁(yè)
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遵義市2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)(滿分:150分,時(shí)間:120分鐘)注意事項(xiàng):1.考試開(kāi)始前,請(qǐng)用黑色簽字筆將答題卡上的姓名,班級(jí),考號(hào)填寫清楚,并在相應(yīng)位置粘貼條形碼.2.客觀題答題時(shí),請(qǐng)用2B鉛筆答題,若需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮輕輕擦拭干凈后再選其它選項(xiàng)!主觀題答題時(shí),請(qǐng)用黑色簽字筆在答題卡相成的位置答題;在規(guī)定區(qū)域以外的答題不給分,在試卷上作答無(wú)效.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求.【詳解】化直線為,所以直線的斜率,令直線的傾斜角為,則,,.故選:C.2.拋物線的準(zhǔn)線方程為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程知p=2,可得拋物線準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線y2=4x的焦點(diǎn)在x軸上,且2p=4,=1,∴拋物線的準(zhǔn)線方程是x=﹣1.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.3.已知向量,若,則x的值為()A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得,進(jìn)而求出x的值.【詳解】因?yàn)?,所以,即,解得,故選:D.4.已知正實(shí)數(shù)a、b滿足,則的最小值為()A. B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用,可得答案.【詳解】由,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,故選:A.5.若,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將、與2比較可得,將、用換底公式變換后構(gòu)造函數(shù),研究其單調(diào)性比較即可.【詳解】∵,,∴,又∵,,,∴,即:,∴,∴.故選:B.6.已知兩條直線和,下列不正確的是()A.“a=1”是“”的充要條件B.當(dāng)時(shí),兩條直線間的距離為C.當(dāng)斜率存在時(shí),兩條直線不可能垂直D.直線橫截距為1【答案】D【解析】【分析】由直線平行關(guān)系可以判斷A正確;利用平行線間距離公式可以判斷B正確;利用垂直關(guān)系可以判斷C正確;令可以求出直線得橫截距.【詳解】當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)時(shí),直線與重合,故舍去,所以A正確;當(dāng)時(shí),,和間的距離為,所以B正確;若,則,則,又當(dāng)斜率存在時(shí),,所以C正確;,令得,所以直線橫截距為-1,所以D錯(cuò)誤.故選:D.7.已知函數(shù)的圖象如下圖所示,則的大致圖象是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由函數(shù)的圖象變換得到偶函數(shù)的圖象,再根據(jù)平移變換得到的圖象.【詳解】在軸左側(cè)作函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱的圖象,得到偶函數(shù)的圖象,向左平移一個(gè)單位得到的圖象.故選:A.8.投擲一枚均勻的骰子,記事件A:“朝上的點(diǎn)數(shù)大于3”,B:“朝上的點(diǎn)數(shù)為2或4”,則下列說(shuō)法正確的是()A.事件A與事件B互斥 B.事件A與事件B對(duì)立C.事件A與事件B相互獨(dú)立 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)互斥事件以及對(duì)立事件的概念結(jié)合事件A與事件B的基本事件可判斷A,B;根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式可判斷C;求出事件的概率可判斷D.【詳解】對(duì)于A,B,事件A:“朝上的點(diǎn)數(shù)大于3”,B:“朝上的點(diǎn)數(shù)為2或4”,這兩個(gè)事件都包含有事件:“朝上的點(diǎn)數(shù)為4”,故事件A與事件B不互斥,也不對(duì)立,A,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,投擲一枚均勻骰子,共有基本事件6個(gè),事件A:“朝上的點(diǎn)數(shù)大于3”包含的基本事件個(gè)數(shù)有3個(gè),其概率為,B:“朝上的點(diǎn)數(shù)為2或4”,包含的基本事件個(gè)數(shù)有2個(gè),其概率為,事件包含的基本事件個(gè)數(shù)有1個(gè),其概率為,由于,故事件A與事件B相互獨(dú)立,C正確;對(duì)于D,事件包含的基本事件個(gè)數(shù)有朝上的點(diǎn)數(shù)為共4個(gè),故,D錯(cuò)誤,故選:C二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù),則()A.函數(shù)f(x)為偶函數(shù)B.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镃.函數(shù)f(x)的最小值為2D.函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A:根據(jù)偶函數(shù)的定義即可判斷;對(duì)于B:分母不為0即可判斷;對(duì)于C:根據(jù)基本不等式即可判斷;對(duì)于D:求導(dǎo)即可判斷.【詳解】對(duì)于A:的定義域?yàn)?,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,而,所以為偶函數(shù).故A正確;對(duì)于B:,的定義域?yàn)?故B正確;對(duì)于C:,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,故的最小值為2.故C正確;對(duì)于D:,當(dāng)時(shí),令即,解得,令即,解得,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.故D錯(cuò)誤.故選:ABC.10.已知函數(shù),則()A.函數(shù)f(x)的最小正周期為B.將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C.函數(shù)f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為D.函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】AD【解析】分析】運(yùn)用輔助角公式化簡(jiǎn)、圖象平移變換,再研究其周期性、奇偶性、對(duì)稱性及單調(diào)性即可.【詳解】,對(duì)于A項(xiàng),,故A項(xiàng)正確;對(duì)于B項(xiàng),的圖象向右平移個(gè)單位后為,所以,所以圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱.故B項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于C項(xiàng),因?yàn)椋?,所以的?duì)稱中心為,,當(dāng)時(shí),,所以不是的對(duì)稱中心.故C項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于D項(xiàng),因?yàn)椋瑒t,,令,則,,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞減.故D項(xiàng)正確.故選:AD.11.已知直線l:,點(diǎn)P為⊙M:上一點(diǎn),則()A.直線l與⊙M相離B.點(diǎn)P到直線l距離的最小值為C.與⊙M關(guān)于直線l對(duì)稱的圓的方程為D.平行于l且與⊙M相切的兩條直線方程為和【答案】AC【解析】【分析】利用圓心到直線l的距離與半徑的關(guān)系可以判斷A正確;點(diǎn)P到直線l距離的最小值為,判斷B錯(cuò)誤;求出圓心關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn),進(jìn)而求出圓的方程,判斷C正確;利用圓心到直線的距離,求出其切線方程,判斷D錯(cuò)誤.【詳解】⊙M:,圓心,半徑,圓心到直線l:的距離為:,所以直線l與⊙M相離,故A正確;點(diǎn)P到直線l距離的最小值為,故B錯(cuò)誤;設(shè)圓心關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)為,則,解得,則與⊙M關(guān)于直線l對(duì)稱的圓的方程為,故C正確;設(shè)平行于l且與⊙M相切的直線方程為,則,解得或,平行于l且與⊙M相切的兩條直線方程為和,故D錯(cuò)誤.故選:AC.12.雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線右支交于A、B兩點(diǎn),和內(nèi)切圓半經(jīng)分別為和,則()A.雙曲線C的漸近線方程為B.面積最小值為15C.和的內(nèi)切圓圓心的連線與x軸垂直D.為定值【答案】BCD【解析】【分析】A:根據(jù)定義和雙曲線性質(zhì)得漸近線方程為;B:,聯(lián)立方程,找到面積的表達(dá)式,函數(shù)解析式找到最小值,在垂直時(shí)取到;CD:畫圖,設(shè)圓切、、分別于點(diǎn)、、,推導(dǎo)出點(diǎn)、、的橫坐標(biāo)為,證得軸,,可得出,得證;【詳解】選項(xiàng):雙曲線的漸近線方程為化簡(jiǎn)成一般式為,錯(cuò)誤;選項(xiàng):設(shè)則;設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為l顯然與軸不垂直,設(shè):,,,聯(lián)立,故,,由于A,均在雙曲線右支,故,解得,帶入得:,代入韋達(dá)定理得,令,則,易知隨的增大而減小,則當(dāng)時(shí),,綜上:的面積的最小值為15,正確;選項(xiàng):(如圖所示)過(guò)的直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn),由切線長(zhǎng)定理可得,,,所以,則,所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為,同理可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,故軸,正確;選項(xiàng):由C可知圓和圓均與軸相切于,圓和圓兩圓外切.在中,,,,,所以,,所以,,則,所以,即,正確;故答案為:BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:雙曲線中的面積最值問(wèn)題的處理方法:設(shè)出直線方程,設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo),,直線方程代入雙曲線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得,可根據(jù)交點(diǎn)情況得出參數(shù)范圍,利用點(diǎn)的坐標(biāo)求出面積,代入韋達(dá)定理的結(jié)果后面積可化為所設(shè)參數(shù)的函數(shù),從而再利用函數(shù)知識(shí)、不等式知識(shí)求得最值.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.若復(fù)數(shù),則|z|=___.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算公式,可得答案.【詳解】由題意,復(fù)數(shù)的實(shí)部為,虛部為,則.故答案為:.14.若,則tan2=___.【答案】.【解析】【分析】方法1:運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可.方法2:運(yùn)用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系與商式關(guān)系及二倍角公式計(jì)算即可.【詳解】方法1:∵,,∴,∴.方法2:∵,∴,∴,∴.故答案為:.15.已知三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,若PA=2,AB=1,,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為_(kāi)__.【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合球心的性質(zhì)確定三棱錐的外接球的球心的位置,求得球的半徑,即可求外接球的表面積【詳解】由題意,在三棱錐中,平面,平面,所以,,又,,平面,所以平面,平面,所以,設(shè)的中點(diǎn)為,因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以,所以為三棱錐外接球的球心,因?yàn)?,,所以,因?yàn)?,,,所以,設(shè)三棱錐外接球的為,所以,所以三棱錐的外接球的表面積為.故答案為:.16.已知函數(shù),若方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、、、,且,則的取值范圍是___.【答案】.【解析】【分析】畫出的圖象可得m的范圍,,,,代入所求式子轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域即可.【詳解】的圖象如圖所示,∵方程有四個(gè)不相等的實(shí)根,∴,又∵,,∴,,,∴,又∵上單調(diào)遞減,∴,∴,∴的取值范圍為.故答案為:.四.解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.17.2022年卡塔爾世界杯正賽在北京時(shí)間11月21日-12月18日進(jìn)行,賽場(chǎng)內(nèi)外,豐富的中國(guó)元素成為世界杯重要的組成部分,某企業(yè)為了解廣大球迷世界杯知識(shí)的知曉情況.在球迷中開(kāi)展了網(wǎng)上測(cè)試,從大批參與者中隨機(jī)抽取100名球迷,他們測(cè)試得分(滿分100分)數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示:(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求a的值;(2)若從得分在[75,90]內(nèi)的球迷中用分層抽樣的方法抽取6人作世界杯知識(shí)分享,并在這6人中選取2人擔(dān)任分享交流活動(dòng)的主持人,求選取的2人中至少有1名球迷得分在內(nèi)的概率.【答案】(1)0.04.(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)所有頻率之和為1列式解方程即可.(2)根據(jù)分層抽樣的抽樣比相同抽取人數(shù),用列舉法解決古典概型.【小問(wèn)1詳解】,解得:.【小問(wèn)2詳解】由分層抽樣可知,從得分在內(nèi)的球迷中抽取人,分別記為、、,從得分在內(nèi)的球迷中抽取人,分別記為、,從得分在內(nèi)的球迷中抽取人,記為.所以從這6人中選取2人的基本事件有、、、、、、、、、、、、、、,共有15個(gè),兩人中至少有1名球迷得分在內(nèi)的基本事件有、、、、、、、、,共有9個(gè).所以兩人中至少有1名球迷得分在內(nèi)的概率為.18.已知的圓心在直線上,且過(guò)點(diǎn).(1)求的方程;(2)若:,求與公共弦的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)求出的垂直平分線的方程,聯(lián)立方程求得圓心坐標(biāo),繼而求得半徑,即可得答案;(2)求出兩圓的公共線的方程,求得到該直線的距離,根據(jù)圓的弦長(zhǎng)的求法可得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意知的圓心在直線上,且過(guò)點(diǎn),則的垂直平分線方程為,即,聯(lián)立,解得,即圓心為,則半徑為,故的方程為【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?,故和相交,將和相減可得,點(diǎn)到直線的距離為,故與公共弦的長(zhǎng)度為.19.如圖,正四棱柱中,M為中點(diǎn),且.(1)證明:平面;(2)求DM與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論;(2)作,證明平面,找到DM與平面所成角,求出相關(guān)線段的長(zhǎng),解直角三角形即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】證明:如圖,連接,因?yàn)?所以四邊形為平行四邊形,故,又平面,平面,故平面.【小問(wèn)2詳解】作,垂足為P,因?yàn)槠矫?M為中點(diǎn),平面,平面,故,平面,故平面,連接,則為DM與平面所成角,在中,,而,故在中,,即DM與平面所成角的正弦值為.20.在①;②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并解答.問(wèn)題:在△ABC中,A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,___________.(1)求C;(2)若a=1,b=2,D在線段AB上,且滿足,求線段CD的長(zhǎng).注:如果選擇多個(gè)條件分別作答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)選擇條件①,先用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,再利用余弦定理即可;選擇條件②,先用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,再由兩角和的正弦公式結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解;(2)先利用余弦定理求出,從而可得到,再由題意求出,再根據(jù)勾股定理即可求得.【小問(wèn)1詳解】選擇條件①,依題意由正弦定理得,即,又由余弦定理得,且,得,選擇條件②,依題意由正弦定理得,即,又,則,所以,得,【小問(wèn)2詳解】結(jié)合(1)由余弦定理得,即,則,所以,又,即,則,則在Rt△CBD中,,得.21.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD平行四邊形,PA⊥平面ABCD,點(diǎn)H為線段PB上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),平面AHC⊥平面PAB.(1)證明:;(2)若,四棱錐P-ABCD的體積為,求二面角P-BC-A的余弦值.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】(1)利用面面垂直性質(zhì)定理與線面垂直性質(zhì)定理,結(jié)合公理2,可得線面垂直,可得答案;(2)根據(jù)

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