第二講多屬性決策分析2023/12/27第二講多屬性決策分析多目標(biāo)決策與多屬性決策的劃分多目標(biāo)決策(multi-objectivedecisionmaking)

決策變量是連續(xù)型的（即備選方案有無(wú)限多個(gè)），求解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是向量?jī)?yōu)化，即數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題。多屬性決策(multi-attributedecisionmaking)

。 決策變量是離散型的（即備選方案數(shù)量為有限多個(gè)），求解這類問(wèn)題的核心是對(duì)各備選方案進(jìn)行評(píng)價(jià)后排定各方案的優(yōu)劣次序，再?gòu)闹袚駜?yōu)。第二講多屬性決策分析多屬性決策指標(biāo)體系多屬性多指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)有兩個(gè)顯著特點(diǎn):指標(biāo)間的不可公度性 即多屬性指標(biāo)之間沒(méi)有統(tǒng)一量綱，難用同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)價(jià)。指標(biāo)之間的矛盾性 提高了這個(gè)指標(biāo)值，可能損害另一指標(biāo)值。問(wèn)題： 如何解決指標(biāo)間的不可公度性和矛盾性？第二講多屬性決策分析多屬性決策指標(biāo)體系指標(biāo)體系的基本概念多屬性決策的指標(biāo)體系

由多個(gè)相互聯(lián)系、相互依存的評(píng)價(jià)指標(biāo)，按照一定層次結(jié)構(gòu)組合而成，具有特定評(píng)價(jià)功能的有機(jī)整體。 單一的評(píng)價(jià)指標(biāo)只能反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的某一具體特征，要全面、準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)一個(gè)系統(tǒng)，首先要構(gòu)建合理的指標(biāo)體系。社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)常用的評(píng)價(jià)指標(biāo)第二講多屬性決策分析經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)常用的評(píng)價(jià)指標(biāo)社會(huì)性指標(biāo)技術(shù)性指標(biāo)資源性指標(biāo)政策性指標(biāo)基礎(chǔ)設(shè)施指標(biāo)其他指標(biāo)產(chǎn)值、收入、成本、稅金、投資額、投資回收期、固定資產(chǎn)等等人員素質(zhì)、社會(huì)福利、生態(tài)環(huán)境、就業(yè)機(jī)會(huì)等產(chǎn)品性能、可靠性、工藝水平、人員素質(zhì)等礦產(chǎn)資源、水源、土地、人力等國(guó)家和地方的政策、法令、計(jì)劃等交通、供水、供電等特定決策系統(tǒng)的特有指標(biāo)，如凈現(xiàn)值第二講多屬性決策分析多屬性決策指標(biāo)體系指標(biāo)體系設(shè)置的原則系統(tǒng)性原則指標(biāo)體系應(yīng)反映系統(tǒng)的整體性能和綜合情況，指標(biāo)體系的整體評(píng)價(jià)功能應(yīng)大于各指標(biāo)的簡(jiǎn)單總和。指標(biāo)體系應(yīng)層次清晰，結(jié)構(gòu)合理，相互關(guān)聯(lián)，協(xié)調(diào)一致。應(yīng)抓住主要因素，既能反映直接效果，又能反映間接效果，保證決策的全面性和可信度。第二講多屬性決策分析多屬性決策指標(biāo)體系指標(biāo)體系設(shè)置的原則可比性原則決策指標(biāo)和評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的制定應(yīng)客觀實(shí)際，便于比較。指標(biāo)間應(yīng)避免顯見的包含關(guān)系，隱含的相關(guān)關(guān)系應(yīng)以適當(dāng)?shù)姆椒右韵２煌烤V的指標(biāo)應(yīng)按特定的規(guī)則作標(biāo)準(zhǔn)化處理，化為無(wú)量綱指標(biāo)，以便于整體綜合評(píng)價(jià)。指標(biāo)處理中應(yīng)保持同趨勢(shì)化，以保證指標(biāo)間的可比性。第二講多屬性決策分析多屬性決策指標(biāo)體系指標(biāo)體系設(shè)置的原則科學(xué)性原則定性分析與定量分析相結(jié)合。定量指標(biāo)應(yīng)注意絕對(duì)量和相對(duì)量的結(jié)合使用。實(shí)用性原則指標(biāo)應(yīng)涵義明確，數(shù)據(jù)規(guī)范，口徑一致，資料收集可靠。指標(biāo)設(shè)計(jì)應(yīng)符合國(guó)家和地方的政策法規(guī)，口徑和計(jì)算應(yīng)與通用的會(huì)計(jì)、統(tǒng)計(jì)、業(yè)務(wù)核算協(xié)調(diào)一致，便于統(tǒng)計(jì)和計(jì)算。第二講多屬性決策分析多屬性決策指標(biāo)體系決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化

將不同量綱的指標(biāo)，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，化為無(wú)量綱的標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)。決策指標(biāo)的變化方向效益型（正向）指標(biāo)：越大越優(yōu)成本型（逆向）指標(biāo)：越小越優(yōu)中立型指標(biāo)：在某中間點(diǎn)最優(yōu) （如人的體重）第二講多屬性決策分析多屬性決策指標(biāo)體系決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化

設(shè)有 n個(gè)決策指標(biāo)fj（1≤j≤n）

m個(gè)可行方案ai（1≤i≤m）m個(gè)方案n個(gè)指標(biāo)構(gòu)成決策矩陣：第二講多屬性決策分析多屬性決策指標(biāo)體系決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化

向量歸一化法

令：稱矩陣Y＝(yij)m×n為向量歸一標(biāo)準(zhǔn)化矩陣。矩陣Y的列向量模等于1，即注：向量歸一標(biāo)準(zhǔn)化后

①0≤yij≤1； ②正、逆向指標(biāo)的方向沒(méi)有發(fā)生變化。第二講多屬性決策分析決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化

線性比例變換法在決策矩陣X中，對(duì)于正向指標(biāo)fj，?。毫睿簩?duì)于負(fù)向指標(biāo)fj，?。毫睿悍Q矩陣Y＝(yij)m×n為線性比例標(biāo)準(zhǔn)化矩陣。注：經(jīng)線性比例變換后①0≤yij≤1；②所有指標(biāo)均化為正向指標(biāo)；③最優(yōu)值為1。第二講多屬性決策分析決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化

極差變換法在決策矩陣X中，對(duì)于正向指標(biāo)fj，?。簩?duì)于負(fù)向指標(biāo)fj，?。毫睿悍Q矩陣Y＝(yij)m×n為極差變換標(biāo)準(zhǔn)化矩陣。注：經(jīng)極差變換后①0≤yij≤1；②所有指標(biāo)均化為正向指標(biāo)；③最優(yōu)值為1，最劣值為0。第二講多屬性決策分析決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化

標(biāo)準(zhǔn)樣本變換法在決策矩陣X中，令：其中：稱矩陣Y＝(yij)m×n為標(biāo)準(zhǔn)樣本變換矩陣。注：經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)樣本變換后標(biāo)準(zhǔn)化矩陣的樣本均值為0，方差為1。第二講多屬性決策分析決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化定性指標(biāo)量化處理方法

將定性指標(biāo)依問(wèn)題的性質(zhì)劃分為若干級(jí)別，每一級(jí)別分別賦以不同的量值。如：分五級(jí)賦以分值等級(jí)指標(biāo)很低低一般高很高正向指標(biāo)13579逆向指標(biāo)97531分值第二講多屬性決策分析【例1】某航空公司欲購(gòu)買飛機(jī) 按6個(gè)決策指標(biāo)對(duì)不同型號(hào)的飛機(jī)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。這6個(gè)指標(biāo)是，最大速度(f1)、最大范圍(f2)、最大負(fù)載(f3)、價(jià)格(f4)、可靠性(f5)、靈敏度(f6)?，F(xiàn)有4種型號(hào)的飛機(jī)可供選擇，具體指標(biāo)值如下表：

指標(biāo)(fj)機(jī)型(ai)

最大速度(馬赫)最大范圍(公里)最大負(fù)載(千克)費(fèi)用(106美元)可靠性靈敏度a12.01500200005.5一般很高a22.52700180006.5低一般a31.82000210004.5高高a491800200005.0一般一般第二講多屬性決策分析【例1】寫出決策矩陣，并進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。解：第一步，劃分各類指標(biāo) 正向指標(biāo)：f1、f2、f3；負(fù)向指標(biāo)：f4； 定性指標(biāo)：f5、f6。第二步，將定性指標(biāo)化為定量指標(biāo)，得到如下決策矩陣:第二講多屬性決策分析【例1】解：第三步，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理向量歸一化法

令：第二講多屬性決策分析【例1】解：第三步，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理線性比例變換法極差變換法第二講多屬性決策分析決策指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化

極差變換法的改進(jìn)在決策矩陣X中，對(duì)于正向指標(biāo)fj，?。簩?duì)于負(fù)向指標(biāo)fj，?。毫睿鹤儞Q后①1≤yij≤100；②所有指標(biāo)均化為正向指標(biāo)；③最優(yōu)值為100，最劣值為1。第二講多屬性決策分析多屬性決策指標(biāo)體系決策指標(biāo)權(quán)重的確定指標(biāo)權(quán)重

表示各指標(biāo)相對(duì)于決策目標(biāo)的重要性程度，或表示一種效益替換另一種效益的比例系數(shù)。確定指標(biāo)權(quán)重的方法

主觀賦權(quán)法：根據(jù)主觀經(jīng)驗(yàn)和判斷，用某種特定法則測(cè)算出指標(biāo)權(quán)重的方法?？陀^賦權(quán)法：依據(jù)決策矩陣提供的評(píng)價(jià)指標(biāo)的客觀信息，用某種特定法則測(cè)算出指標(biāo)權(quán)重的方法。第二講多屬性決策分析決策指標(biāo)權(quán)重的確定幾種常用的確定指標(biāo)權(quán)重的方法1.

相對(duì)比較法（屬于主觀賦權(quán)法）

將所有指標(biāo)按三級(jí)比例標(biāo)度兩兩相對(duì)比較評(píng)分，三級(jí)比例標(biāo)度的含義是：顯然：注意：評(píng)分時(shí)應(yīng)滿足比較的傳遞性，即若f1比f(wàn)2重要，f2又比f(wàn)3重要，則f1比f(wàn)3重要。第二講多屬性決策分析決策指標(biāo)權(quán)重的確定幾種常用的確定指標(biāo)權(quán)重的方法1.

相對(duì)比較法（屬于主觀賦權(quán)法）

指標(biāo)fi的權(quán)重系數(shù)為第二講多屬性決策分析確定例1中6個(gè)指標(biāo)的權(quán)重解：1.相對(duì)比較法

指標(biāo)fi指標(biāo)fif1f2f3f4f5f6評(píng)分總計(jì)權(quán)重wif10.51110.50f200.50.50.500f300.50.50.500f400.50.50.500f50.51110.50f6111110.5評(píng)分值41.51.51.545.5∑：182/91/121/121/122/911/36第二講多屬性決策分析幾種常用的確定指標(biāo)權(quán)重的方法2.連環(huán)比率法（屬于主觀賦權(quán)法）

將所有指標(biāo)以任意順序排列，不妨設(shè)為：f1,f2,…,fn。從前到后，依次賦以相鄰兩指標(biāo)相對(duì)重要程度的比率值。指標(biāo)fi與fi＋1比較，賦以指標(biāo)fi以比率值ri（i=1，2，…，n-1）并賦以rn=1。第二講多屬性決策分析幾種常用的確定指標(biāo)權(quán)重的方法2.連環(huán)比率法（屬于主觀賦權(quán)法）

計(jì)算各指標(biāo)的修正評(píng)分值。賦以fn的修正評(píng)分值kn＝1，根據(jù)比率值ri計(jì)算各指標(biāo)的修正評(píng)分值：ki＝ri·ki+1 （i=1，2，…，n-1）歸一化處理，求出各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)值。即第二講多屬性決策分析【例3】確定例1中6個(gè)指標(biāo)的權(quán)重解：2.連環(huán)比率法

指標(biāo)fi比率值修正評(píng)分值指標(biāo)權(quán)重wif13f21f31f41/3f51/2f61∑11/21/61/61/61/25/21/51/151/151/151/52/5第二講多屬性決策分析幾種常用的確定指標(biāo)權(quán)重的方法3.熵值法（屬于客觀賦值法）利用指標(biāo)熵值確定權(quán)重，熵越大，權(quán)重越小。

對(duì)決策矩陣X=(xij)m×n用線性比例變換法作標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Y=(yij)m×n，并進(jìn)行歸一化處理，得:計(jì)算第j個(gè)指標(biāo)的熵值，其中，k＞0，ej≥0第二講多屬性決策分析幾種常用的確定指標(biāo)權(quán)重的方法3.熵值法（屬于客觀賦值法）

計(jì)算第j個(gè)指標(biāo)的差異系數(shù)確定指標(biāo)權(quán)重。第j個(gè)指標(biāo)的權(quán)重為第二講多屬性決策分析【例3】確定例1中6個(gè)指標(biāo)的權(quán)重解：3.熵值法

歸一化處理得：第二講多屬性決策分析【例3】確定例1中6個(gè)指標(biāo)的權(quán)重解：計(jì)算第j個(gè)指標(biāo)的熵值（取k＝0.5）

得：差異系數(shù)：指標(biāo)權(quán)重為：第二講多屬性決策分析幾種常用的確定指標(biāo)權(quán)重的方法4.專家咨詢法(Delphi法)

（屬于主觀賦值法）設(shè)有n個(gè)決策指標(biāo)f1,f2,…,fn，組織m個(gè)專家咨詢，每個(gè)專家確定一組指標(biāo)權(quán)重估計(jì)值對(duì)m個(gè)專家給出的權(quán)重估計(jì)值平均，得到平均估計(jì)值計(jì)算估計(jì)值和平均估計(jì)值的偏差第二講多屬性決策分析幾種常用的確定指標(biāo)權(quán)重的方法4.專家咨詢法(Delphi法)

（屬于主觀賦值法）對(duì)偏差△ij較大的第j個(gè)指標(biāo)的權(quán)重估計(jì)值，再請(qǐng)專家i重新估計(jì)第j個(gè)指標(biāo)的權(quán)重。反復(fù)進(jìn)行以上步驟，直至偏差滿足一定要求為止。這樣就得到一組權(quán)重指標(biāo)的平均估計(jì)修正值。第二講多屬性決策分析多指標(biāo)決策方法簡(jiǎn)單線性加權(quán)法根據(jù)實(shí)際情況，先確定各決策指標(biāo)的權(quán)重，再對(duì)決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，求出各方案的線性加權(quán)指標(biāo)平均值，并以此作為各可行方案排序的判據(jù)。注意

標(biāo)準(zhǔn)化處理時(shí)，應(yīng)當(dāng)使所有的指標(biāo)正向化。第二講多屬性決策分析簡(jiǎn)單線性加權(quán)法簡(jiǎn)單線性加權(quán)法的基本步驟用適當(dāng)?shù)姆椒ù_定各決策指標(biāo)的權(quán)重，設(shè)權(quán)重向量為：決策矩陣X=(xij)m×n標(biāo)準(zhǔn)化得Y=(yij)m×n，要求標(biāo)準(zhǔn)化之后的指標(biāo)均為正向指標(biāo)；求出各方案的線 性加權(quán)指標(biāo)值：選擇ui最大者為最 滿意方案，即：第二講多屬性決策分析【例4】 用簡(jiǎn)單線性加權(quán)法對(duì)例1的購(gòu)機(jī)問(wèn)題進(jìn)行決策解：①用適當(dāng)?shù)姆椒ù_定各決策指標(biāo)的權(quán)重為：用線性比例法將決策矩陣

X=(xij)m×n標(biāo)準(zhǔn)化得Y=(yij)m×n；求出各方案的線性加權(quán)指標(biāo)值ui：

ui最大者為0.851，故滿意方案為方案4。第二講多屬性決策分析多指標(biāo)決策方法理想解法（TOPSIS）通過(guò)構(gòu)造多指標(biāo)問(wèn)題的理想解和負(fù)理想解，并以靠近理想解和遠(yuǎn)離負(fù)理想解兩個(gè)基準(zhǔn)，作為評(píng)價(jià)各可行方案的判據(jù)。理想解 是設(shè)想各指標(biāo)屬性都達(dá)到最滿意值的解。負(fù)理想解 是設(shè)想各指標(biāo)屬性都達(dá)到最不滿意值的解。 又稱雙基點(diǎn)法，逼近理想解的排序方法。第二講多屬性決策分析理想解與負(fù)理想解 設(shè)決策問(wèn)題有m個(gè)可行方案a1,a2

,…,am，兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)f1、f2，不妨設(shè)二指標(biāo)均為正向指標(biāo)。方案ai的二指標(biāo)值記為xi1,xi2，于是方案ai可以用平面f1f2上的點(diǎn)Ai(xi1,xi2)表示。記：則： 理想解為A*(x*1,x*2)；

負(fù)理想解為A-(x-1,x-2)。第二講多屬性決策分析理想解與負(fù)理想解f1f2OA1A2A3AmA*A-問(wèn)題：如何表示各方案目標(biāo)值靠近理想解和遠(yuǎn)離負(fù)理想解的程度？第二講多屬性決策分析相對(duì)貼近度

設(shè)方案ai對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Ai到理想點(diǎn)A*和負(fù)理想點(diǎn)A-的距離分別為：定義方案ai與理想解、負(fù)理想解的相對(duì)貼近度為滿足：0≤Ci*≤1；

理想點(diǎn)Ci*＝1，負(fù)理想點(diǎn)Ci*＝0；方案逼近理想解而遠(yuǎn)離負(fù)理想解時(shí)Ci*→1。第二講多屬性決策分析理想解法的基本步驟用向量歸一化法對(duì)決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，得標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Y=(yij)m×n；用適當(dāng)?shù)姆椒ù_定各決策指標(biāo)的權(quán)重wj，計(jì)算加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化矩陣：確定理想解和負(fù)理想解正向指標(biāo)集負(fù)向指標(biāo)集第二講多屬性決策分析理想解法的基本步驟計(jì)算各方案到理想解和負(fù)理想解的距離計(jì)算各方案的相對(duì)貼近度Ci*，相對(duì)貼近度大者為優(yōu)，小者為劣。第二講多屬性決策分析【例5】用理想解法對(duì)例1的購(gòu)機(jī)問(wèn)題進(jìn)行決策解：①求決策矩陣的向量歸一標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Y適當(dāng)?shù)姆椒ù_定各決策指標(biāo)的權(quán)重為：計(jì)算加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化矩陣：V=(wj·yij)m×n；正正 正 負(fù)！ 正 正第二講多屬性決策分析【例5】解：③確定理想解和負(fù)理想解計(jì)算各方案到理想解和負(fù)理想解的距離；計(jì)算各方案的相對(duì)貼近度Ci*

：Ci*最大的方案最優(yōu)，故滿意方案為方案1。第二講多屬性決策分析多指標(biāo)決策方法改進(jìn)的理想解法利用決策矩陣的信息，客觀地賦以各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，并以各方案到理想點(diǎn)距離的加權(quán)平方和作為綜合評(píng)價(jià)的判據(jù)，更簡(jiǎn)便實(shí)用。設(shè)權(quán)重向量（待定）為：最優(yōu)的權(quán)重系數(shù)應(yīng)滿足：符號(hào)含義與理想解法相同第二講多屬性決策分析改進(jìn)的理想解法注意到：

vij=wj·yij用求解條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，可以解得：第二講多屬性決策分析改進(jìn)的理想解法的基本步驟將決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化得Y=(yij)m×n確定標(biāo)準(zhǔn)化矩陣的理想解按式（7.18）計(jì)算各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)wj (j=1,2,…,n)計(jì)算各方案到理想解的距離平方di，并按di對(duì)方案排序：di越小，方案越優(yōu)。第二講多屬性決策分析【例6】用改進(jìn)的理想解法對(duì)例7.1的購(gòu)機(jī)問(wèn)題進(jìn)行決策解：①求決策矩陣標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Y（以極差變換標(biāo)準(zhǔn)化矩陣為例）正正 正 負(fù)！正 正標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Y的理想解為Y*={1,1,1,0,1,1}第二講多屬性決策分析【例6】解：按式（18）計(jì)算各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)wj

計(jì)算各方案到理想解的距離平方dj：得按dj對(duì)方案排序：di越小，方案越優(yōu)。因此最優(yōu)方案為方案1。第二講多屬性決策分析多指標(biāo)決策方法功效系數(shù)法將各決策指標(biāo)的相異度量，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的無(wú)量綱的功效系數(shù)，再進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)的多指標(biāo)決策方法。功效系數(shù)的計(jì)算 設(shè)第j個(gè)指標(biāo)的滿意值為，不允許值為功效系數(shù)為：滿意值的功效系數(shù)為100，不允許值的功效系數(shù)60。第二講多屬性決策分析功效系數(shù)法功效系數(shù)法的基本步驟確定決策指標(biāo)體系 設(shè)決策矩陣為X=(xij)m×n，用適當(dāng)?shù)姆椒ù_定指標(biāo)的權(quán)重向量計(jì)算各指標(biāo)值的功效系數(shù)dij計(jì)算各方案的總功效系數(shù)以總功效系數(shù)為判據(jù)，對(duì)各方案進(jìn)行排序。 功效系數(shù)越大，方案越優(yōu)；功效系數(shù)越小，方案越劣。第二講多屬性決策分析【例7】用功效系數(shù)法對(duì)例1的購(gòu)機(jī)問(wèn)題進(jìn)行決策。解：①用適當(dāng)?shù)姆椒ù_定指標(biāo)的權(quán)重向量為計(jì)算各指標(biāo)值的功效系數(shù)dij負(fù)！第二講多屬性決策分析【例7】解：計(jì)算各指標(biāo)值的功效系數(shù)dij計(jì)算各方案的總功效系數(shù)di以總功效系數(shù)為判據(jù)，對(duì)各方案進(jìn)行排序。 功效系數(shù)越大，方案越優(yōu)；功效系數(shù)越小，方案越劣。因此方案3最優(yōu)。第二講多屬性決策分析主成分分析法主成分分析的原理 在多指標(biāo)決策中，當(dāng)指標(biāo)數(shù)量大，并且指標(biāo)之間存在某種程度的相關(guān)關(guān)系時(shí)，這不僅增加決策的工作量，也直接影響到?jīng)Q策的有效性和可靠性。問(wèn)題：如何消除指標(biāo)間的相關(guān)性？主成分分析法（主元分析法） 是將多個(gè)指標(biāo)轉(zhuǎn)化成少數(shù)幾個(gè)相互無(wú)關(guān)的綜合指標(biāo)的一種多元統(tǒng)計(jì)分析方法。 主成分分析體現(xiàn)了降維的思想。第二講多屬性決策分析主成分分析的原理假定只有兩個(gè)變量（指標(biāo)），分別以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建坐標(biāo)系，則每個(gè)觀測(cè)值都對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)。如果這些點(diǎn)形成一個(gè)橢圓形狀的點(diǎn)陣（這在變量服從二維正態(tài)的假定下是可能的），那么這個(gè)橢圓有一個(gè)長(zhǎng)軸和一個(gè)短軸。在短軸方向上，數(shù)據(jù)變化很少；在極端的情況，短軸如果退化成一點(diǎn)，那只有在長(zhǎng)軸的方向才能夠解釋這些點(diǎn)的變化了；這樣，由二維到一維的降維就自然完成了。第二講多屬性決策分析主成分分析的原理第二講多屬性決策分析主成分分析的原理當(dāng)坐標(biāo)軸和橢圓的長(zhǎng)短軸平行，那么代表長(zhǎng)軸的變量就描述了數(shù)據(jù)的主要變化，而代表短軸的變量就描述了數(shù)據(jù)的次要變化。但是，坐標(biāo)軸通常并不和橢圓的長(zhǎng)短軸平行。因此，需要尋找橢圓的長(zhǎng)短軸，并進(jìn)行變換，使得新變量和橢圓的長(zhǎng)短軸平行。如果長(zhǎng)軸變量代表了數(shù)據(jù)包含的大部分信息，就用該變量代替原先的兩個(gè)變量（舍去次要的一維），降維就完成了。橢圓（球）的長(zhǎng)短軸相差得越大，降維也越有道理。第二講多屬性決策分析主成分分析的原理對(duì)于多維變量的情況和二維類似，也有高維的橢球，只不過(guò)無(wú)法直觀地看見罷了。首先把高維橢球的主軸找出來(lái)，再用代表大多數(shù)數(shù)據(jù)信息的最長(zhǎng)的幾個(gè)軸作為新變量；這樣，主成分分析就基本完成了。注意，和二維情況類似，高維橢球的主軸也是互相垂直的。這些互相正交的新變量是原先變量的線性組合，叫做主成分(principal

component)。第二講多屬性決策分析主成分分析的原理正如二維橢圓有兩個(gè)主軸，三維橢球有三個(gè)主軸一樣，有幾個(gè)變量，就有幾個(gè)主成分。選擇越少的主成分，降維就越好。什么是標(biāo)準(zhǔn)呢？那就是這些被選的主成分所代表的主軸的長(zhǎng)度之和占了主軸長(zhǎng)度總和的大部分。有些文獻(xiàn)建議，所選的主軸總長(zhǎng)度占所有主軸長(zhǎng)度之和的大約85%即可，其實(shí)，這只是一個(gè)大體的說(shuō)法；具體選幾個(gè)，要看實(shí)際情況而定。第二講多屬性決策分析主成分分析的原理設(shè)有 n個(gè)決策指標(biāo)fj（1≤j≤n）

m個(gè)可行方案ai（1≤i≤m）m個(gè)方案n個(gè)指標(biāo)構(gòu)成決策矩陣：其中第二講多屬性決策分析主成分分析的原理如何用新的指標(biāo)來(lái)代替原來(lái)的n個(gè)指標(biāo)Xj呢？新變量是原先變量的線性組合：滿足第二講多屬性決策分析主成分分析的原理此外，新變量應(yīng)滿足：相互不相關(guān)

Z1的方差最大，Z2,…,Zn的方差依次減少。新舊指標(biāo)的總方差不變。第二講多屬性決策分析主成分分析的原理滿足上述條件的新變量（綜合指標(biāo)）Z1、Z2、…、Zn分別稱為原始指標(biāo)的第1、第2、…、第n個(gè)主成分（主元）。當(dāng)很小時(shí)，用Z1、Z2、…、Zk就可基本上反映出原始n個(gè)指標(biāo)所包含的信息量。優(yōu)點(diǎn)： 減少了評(píng)價(jià)指標(biāo)個(gè)數(shù)； 充分保留了原始指標(biāo)的信息量； 新指標(biāo)彼此不相關(guān)，避免了信息的交叉和重疊。第二講多屬性決策分析主成分分析的原理如何求得原始指標(biāo)的n個(gè)主成分？ 設(shè)X有協(xié)方差矩陣∑，λ1≥λ2≥…≥λn是∑的從大到小的n個(gè)特征根，L1,L2,…,Ln是這n個(gè)特征根對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化正交特征向量。其中：數(shù)理統(tǒng)計(jì)已經(jīng)證明，原始指標(biāo)的第j個(gè)主成分Zj為：第二講多屬性決策分析主成分分析的計(jì)算步驟設(shè)有 n個(gè)決策指標(biāo)，m個(gè)可行方案的決策問(wèn)題。決策矩陣為X=(xij)m×n決策矩陣標(biāo)準(zhǔn)化（一般采用標(biāo)準(zhǔn)樣本變換）其中：第二講多屬性決策分析主成分分析的計(jì)算步驟決策矩陣標(biāo)準(zhǔn)化（一般采用標(biāo)準(zhǔn)樣本變換）？為什么要進(jìn)行決策矩陣的標(biāo)準(zhǔn)化 由于主成分是從協(xié)方差矩陣∑求得的，而協(xié)方差矩陣會(huì)受評(píng)價(jià)指標(biāo)的量綱和數(shù)量級(jí)的影響，從而主成分也會(huì)因評(píng)價(jià)指標(biāo)的量綱和數(shù)量級(jí)的改變而不同。 標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)的協(xié)方差矩陣等于其相關(guān)系數(shù)矩陣，而相關(guān)系數(shù)矩陣不受指標(biāo)量綱或數(shù)量級(jí)的影響，因此標(biāo)準(zhǔn)化后的主成分是不受原指標(biāo)量綱或數(shù)量級(jí)的影響的。第二講多屬性決策分析主成分分析的計(jì)算步驟求出樣本相關(guān)系數(shù)矩陣R=(rij)n×n

R是對(duì)稱矩陣，且主對(duì)角線元素均為1，即：第二講多屬性決策分析主成分分析的計(jì)算步驟計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣R的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量

由特征方程

解出n個(gè)特征值：λ1≥λ2≥…≥λn再由齊次線性方程組解出對(duì)應(yīng)的特征向量：L1,L2,…,Ln第二講多屬性決策分析主成分分析的計(jì)算步驟按累積貢獻(xiàn)率準(zhǔn)則提取主成分

計(jì)算各主成分的貢獻(xiàn)率

并按累積貢獻(xiàn)率準(zhǔn)則，即以累積貢獻(xiàn)率為準(zhǔn)則，提取k個(gè)主成分第二講多屬性決策分析主成分分析的計(jì)算步驟分析主成分的經(jīng)濟(jì)意義，用主成分進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)

綜合評(píng)價(jià)值根據(jù)具體情況，可以取第1主成分；也可以按綜合評(píng)價(jià)值，即以各主成分的方差貢獻(xiàn)率為權(quán)數(shù)，對(duì)k個(gè)主成分線性加權(quán)求和：以Z值的大小來(lái)評(píng)判被評(píng)價(jià)對(duì)象的優(yōu)劣。第二講多屬性決策分析主成分分析的應(yīng)用實(shí)例 用主成分分析法對(duì)14個(gè)企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。經(jīng)過(guò)專家咨詢，。選取8個(gè)經(jīng)濟(jì)效益評(píng)價(jià)指標(biāo)這些指標(biāo)是：（1）凈產(chǎn)值利潤(rùn)率（％）；（2）固定資產(chǎn)利潤(rùn)率（％）；（3）總產(chǎn)值利潤(rùn)率（％）2（4）銷售收人利潤(rùn)率（％）；（5）產(chǎn)品成本利潤(rùn)率（％）；（6）物耗利潤(rùn)率（％）；（7）人均利潤(rùn)率（千元/人）；（8）流動(dòng)資金利潤(rùn)率（％）；第二講多屬性決策分析14個(gè)企業(yè)8個(gè)指標(biāo)的樣本數(shù)據(jù)如下表指標(biāo)企業(yè)xi1xi2xi3xi4xi5xi6xi7xi8123456789101112131440.425.013.222.334.335.622.048.440.624.812.51.832.638.524.712.73.36.711.812.57.813.417.18.09.70.613.99.17.211.23.95.67.116.49.910.919.89.84.20.79.411.36.111.04.33.77.116.710.29.919.08.94.20.78.39.58.312.94.46.08.022.812.610.929.711.94.60.89.812.238.720.25.57.48.929.317.613.939.616.26.51.113.316.42.4423.5420.5780.7161.7263.0170.8471.7722.4490.7890.8740.0562.1261.32720.09.13.67.327.526.610.617.835.813.73.91.017.111.6第二講多屬性決策分析主成分分析的應(yīng)用實(shí)例解:①樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化變換第二講多屬性決策分析求得樣本標(biāo)準(zhǔn)化變換矩陣如下表yij0.9574-0.2296-1.1391-0.43770.48720.5874-0.46081.57400.9728-0.2450-1.1930-2.01770.33310.81092.34880.3200-1.26920.69440.16790.2862-0.50840.43841.0639-0.4746-0.1872-1.72570.5229-0.2886-0.38120.4213-1.0433-0.7022-0.40131.46460.16050.36112.14670.1404-0.9831-1.68530.06020.4414-0.49430.4972-0.8585-0.9800-0.29201.65060.33530.27462.11600.0723-0.8788-1.587-0.04910.1937-0.36950.2449-0.8904-0.6767-0.40961.56730.2048-0.02222.48890.1113-0.8637-1.3713-0.16920.1554-0.58270.5503-0.8980-0.7108-0.5631.44690.2942-0.07042.46170.1562-0.7994-1.3315-0.12950.17590.53721.8532-0.8845-0.7570.17581.3683-1.34010.21830.8436-0.6896-0.6111-1.36660.5453-0.19270.5244-0.5512-1.0939-0.72881.26441.1756-0.40320.30732.0834-0.0973-1.0643-1.35040.2382-0.3045第二講多屬性決策分析求出樣本相關(guān)系數(shù)矩陣R=(rij)n×nrij10.76120.70760.64280.59640.54430.63120.77290.761210.51490.47540.46660.41950.74080.68020.70760.514910.98790.97770.97410.68420.78020.64280.47540.987910.98070.97980.68810.77310.59640.46660.97770.980710.99240.62650.78700.54430.41950.97410.97980.992310.62900.72450.63120.74080.68420.68810.62650.629010.61960.77290.68020.78020.77310.78700.72450.61961第二講多屬性決策分析求R的特征值、特征向量和貢獻(xiàn)率λj6.09121.01560.43320.21200.14200.01170.00300.0013L1j0.32370.39790.4596-0.66200.1174-0.11800.1501-0.1930L2j0.28390.6214-0.10700.2812-0.65200.1191-0.05000.0296L3j0.3905-0.22400.0230-0.2390-0.0990-0.1050-0.55300.6426L4j0.3856-0.2730-0.0530-0.10100.01500.85700.1268-0.1130L5j0.3804-0.31200.02040.1295-0.1830-0.32500.73230.2564L6j0.3716-0.3630-0.09500.0459-0.2160-0.3240-0.3310-0.6860L7j0.32210.2883-0.7470-0.07000.4812-0.12300.05240.0042L8j0.35630.13560.45360.62570.4896-0.0030-0.13300.0077bj0.76140.13820.05410.02650.01780.00150.00040.0002特征值：λ1≥λ2≥…≥λn第二講多屬性決策分析按累積貢獻(xiàn)率準(zhǔn)則提取主成分計(jì)算第1、2主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率

提取第1主成分：第2主成分：第二講多屬性決策分析用主成分進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)-2.8488企業(yè)1234567Z10.73561.0895-2.8488-2.04770.06453.4825-0.2922Z22.69920.0774-0.6040-0.05721.0097-0.8192-1.0618Z按Z1排序按Z排序企業(yè)891011121314Z11.01315.1459-0.3182-2.3927-4.39440.40220.3607Z20.8683-1.1556-0.77430.0824-0.76930.7407-0.2363Z按Z1排序按Z排序12345678910111213140.93310.8402-2.2525-1.56700.18862.5383-0.36920.89143.7594-0.3493-1.8104-3.45220.40860.24201234567891011121314第二講多屬性決策分析主成分分析的特點(diǎn)及缺陷能消除評(píng)價(jià)指標(biāo)間相關(guān)關(guān)系的影響，減少了指標(biāo)選擇的工作量。因此指標(biāo)的選擇原則是盡可能全面，而不必顧慮評(píng)價(jià)指標(biāo)之間的相關(guān)性。綜合評(píng)價(jià)所得的權(quán)數(shù)是伴隨數(shù)學(xué)變換自動(dòng)生成的，具有客觀性。但這種權(quán)數(shù)具有不穩(wěn)定性，且各評(píng)價(jià)對(duì)象之間數(shù)值差異大的指標(biāo)不一定有更重要的經(jīng)濟(jì)意義。綜合評(píng)價(jià)結(jié)果不穩(wěn)定。減少或增加被評(píng)價(jià)對(duì)象都有可能改變?cè)瓉?lái)的排序。適合一次性、大樣本容量的綜合評(píng)價(jià)。一般要求樣本容量大于指標(biāo)個(gè)數(shù)的兩倍。第二講多屬性決策分析物元決策方法物元分析和矛盾問(wèn)題現(xiàn)實(shí)世界存在各式各樣的矛盾，物元分析研究處理矛盾問(wèn)題的理論和方法。物元分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是可拓集合論經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是經(jīng)典集合論。在經(jīng)典集合中，一個(gè)元素與某個(gè)集合的關(guān)系，要么屬于它，要么不屬于它，二者必居其一。模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是模糊集合論。在模糊集合論中，一個(gè)元素與某個(gè)集合的關(guān)系，或者屬于它，或者不屬于它，或者在一定程度上屬于它，三者必居其一。第二講多屬性決策分析物元分析和矛盾問(wèn)題物元分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是可拓集合論 事物是處于不斷的運(yùn)動(dòng)和變化中的，經(jīng)典集合論不能描述事物及其性質(zhì)的可變性?？赏丶涎芯坎粚儆谀臣系帜軌蜣D(zhuǎn)化為屬于該集合的元素及其變換性質(zhì)。第二講多屬性決策分析物元決策方法物元和可拓集合的基本概念人、事統(tǒng)稱事物。事物各具不同的特征，事物的特征又由相應(yīng)的量值所規(guī)定。名稱、特征和量值是事物的三要素。定義4（物元） 設(shè)事物的名稱為N，關(guān)于特征C的量值為V，則三元有序組 R＝（N,C,V） 稱為事物的基本元，簡(jiǎn)稱物元。N，C，V稱為物元的三要素。第二講多屬性決策分析物元和可拓集合的基本概念 若某事物有多個(gè)(n個(gè))特征記作c1,c2,…,cn，相應(yīng)量值記作v1,v2,…,vn，則物元記為稱為n維物元，簡(jiǎn)記為R＝（N,C,V），其中：第二講多屬性決策分析物元和可拓集合的基本概念定義5（物元變換）

使物元R0=(N0,C0,V0)變換為物元R=(N,C,V)或若干個(gè)物元Ri=(Ni,Ci,Vi)，i=1,2,…,n 稱為物元R0的變換，記作

TR0=R

或

TR0={R1,R2,…,Rn} 物元變換可以是對(duì)事物的特征、量值或它們組合的變換。第二講多屬性決策分析物元和可拓集合的基本概念物元變換的基本運(yùn)算

設(shè)有物元R1,R2,R3積變換 若T1R1=R2，T2R2=R3，稱使R1變?yōu)镽3的變換為變換T2與T1的積變換。記作：

T=T2T1逆變換 若T1R1=R2，稱使R2變?yōu)镽1的變換為變換T的逆變換，記作T-1。有：

T-1(T1R1)=T-1R2=R1第二講多屬性決策分析物元和可拓集合的基本概念物元變換的基本運(yùn)算

設(shè)有物元R1,R2,R3或變換 若T1R1=R2，T2R1=R3，稱使R1變?yōu)镽2或R3的變換為變換T1與T2的或變換。記作：

T=T1∨T2與變換 若T1R1=R2，T2R1=R3，稱使R1變?yōu)镽2和R3的變換為變換T1與T2的與變換。記作：

T=T1∧T2第二講多屬性決策分析物元和可拓集合的基本概念定義6（可拓子集）

設(shè)?是論域U上的一個(gè)可拓子集，若對(duì)任意u∈U，都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)則稱為元素u對(duì)?的關(guān)聯(lián)度。實(shí)值函數(shù)稱為可拓子集?的關(guān)聯(lián)函數(shù)，簡(jiǎn)記為K(u)。第二講多屬性決策分析物元和可拓集合的基本概念定義6（可拓子集）

稱 A＝{u|u∈U,K(u)≥0} 為可拓子集?的經(jīng)典域；

稱 ＝{u|u∈U,-1≤K(u)＜0}

為可拓子集?的可拓域；

稱 ＝{u|u∈U,K(u)＜-1}

為可拓子集?的非域。第二講多屬性決策分析物元和可拓集合的基本概念定義7（點(diǎn)與區(qū)間的距）點(diǎn)x0與區(qū)間X＝[a,b]的距離稱為點(diǎn)與區(qū)間的距，記作：點(diǎn)與區(qū)間的距對(duì)于開區(qū)間、半開半閉區(qū)間同樣適用。第二講多屬性決策分析物元和可拓集合的基本概念定理2 設(shè)X0,X是實(shí)數(shù)域上的兩個(gè)區(qū)間，X?X0，且無(wú)公共端點(diǎn)，令關(guān)聯(lián)函數(shù)則x∈X0的充要條件是：K(x)≥0；

x∈X－X0的充要條件是：-1≤K(x)＜0；

x?X的充要條件是：K(x)＜-1。第二講多屬性決策分析物元和可拓集合的基本概念定義8（節(jié)域） 設(shè)有物元R=(N,C,V)，事物N關(guān)于特征C的允許取值范圍為V