內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)論文引言可再生自然資源（如生物資源等）是自然資源的重要組成部分,是發(fā)展經(jīng)濟(jì),改善和提高人們生活質(zhì)量的重要物質(zhì)基礎(chǔ).近年來(lái),可再生資源的利用強(qiáng)度不斷增大,出現(xiàn)了資源枯竭、再生能力下降等現(xiàn)象.這類(lèi)資源雖然可以再生,但也不是“取之不盡,用之不竭”的.所以,可再生資源的持續(xù)利用問(wèn)題已成為當(dāng)前學(xué)術(shù)界普遍關(guān)注的重要研究課題[1,2].但現(xiàn)有研究多偏重于定性分析,對(duì)有關(guān)最大可持續(xù)利用和最大商業(yè)利潤(rùn)下的利用策略的研究較少,所以尋求可再生資源的最大可持續(xù)利用量問(wèn)題也就成為資源科學(xué)研究中的一個(gè)要點(diǎn).目前,雖然已有這方面線性利用策略的研究,但利用線性理論還不能更深入的研究這方面內(nèi)容.所以,我們將利用非線性理論來(lái)研究可再生資源的管理與開(kāi)發(fā).非線性科學(xué)作為一門(mén)嶄新的科學(xué),已經(jīng)被應(yīng)用到地學(xué)、環(huán)境科學(xué)、大氣科學(xué)和管理科學(xué)等領(lǐng)域中.它的最大特點(diǎn)是能夠量化研究事物之間的的關(guān)系和機(jī)理.只有深刻了解管理對(duì)象（要素）之間的內(nèi)在動(dòng)力學(xué)關(guān)系和演化機(jī)制,才能實(shí)施科學(xué)而有效的管理,從而達(dá)到最大限度的合理利用可再生資源的目的.由于資源的分布不合理,利用的方式也不同,實(shí)際的利用策略往往并不是線性的.所以本文嘗試運(yùn)用非線性理論來(lái)研究在人類(lèi)對(duì)可再生自然資源非線性利用條件下的策略問(wèn)題.第一章微分方程穩(wěn)定性理論§1.1線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)[3]1.1.1系統(tǒng)的基本概念動(dòng)力學(xué)研究的是系統(tǒng)如何隨時(shí)間而變化的.所謂系統(tǒng),就是指由一些相互聯(lián)系(或相互作用)的客體組成的集合.這些客體,既可以是自然科學(xué)中的一些物質(zhì),如氣體、液體、固體、化合物、生物的各部分或其整體,也可以是各種社會(huì)事物和組織,如各種群體或財(cái)政經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)以及生產(chǎn)力和知識(shí)等較抽象的事物.系統(tǒng)的性質(zhì)或特征是用一些所謂狀態(tài)變量(statevariables)所表征的,如粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量,熱力學(xué)中的溫度、壓強(qiáng)和體積,化學(xué)反應(yīng)中各化合物的濃度,以及社會(huì)現(xiàn)象中的人口和人口密度、生產(chǎn)力和生產(chǎn)資料,股票行情,等等.當(dāng)這類(lèi)狀態(tài)變量隨時(shí)間變化,也就是系統(tǒng)處于非平衡態(tài)時(shí),此時(shí)的系統(tǒng)稱(chēng)為動(dòng)力(或動(dòng)態(tài))系統(tǒng)(dynamicalsystem).動(dòng)力學(xué)就是研究動(dòng)力系統(tǒng)中狀態(tài)變量如何隨時(shí)間變化(即系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng))的一個(gè)學(xué)科.狀態(tài)變化的規(guī)律既可能表示為連續(xù)形式的微分方程或微分積分方程,也可能用關(guān)于狀態(tài)變量的離散方程表示.對(duì)于一個(gè)由微分方程表示的動(dòng)力系統(tǒng),如果方程中不顯含時(shí)間,又稱(chēng)其為自治的(autonomous)系統(tǒng);否則,稱(chēng)其為非自治的(nonautonomous)系統(tǒng).1.1.2線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的概述非線性科學(xué)[4]的理論研究重要的一步是建立數(shù)學(xué)模型,通過(guò)建模來(lái)較逼真地描寫(xiě)客觀動(dòng)力系統(tǒng).要做到這一點(diǎn),最為關(guān)鍵的就是關(guān)于相互作用的描述,包括系統(tǒng)內(nèi)部的相互作用、系統(tǒng)與外部的相互作用,以及系統(tǒng)對(duì)這些作用的響應(yīng)和反饋.關(guān)于相互作用的描述通?？煞譃榫€性和非線性兩類(lèi).線性描述的就是所謂的線性模式系統(tǒng),非線性描述的就是所謂的非線性模式系統(tǒng).線性模式系統(tǒng)對(duì)客觀動(dòng)力系統(tǒng)的描寫(xiě)是近似的,往往只適用于描寫(xiě)系統(tǒng)局部和短時(shí)的行為,其特點(diǎn)就是數(shù)學(xué)上的簡(jiǎn)單和物理上的一目了然.非線性模式系統(tǒng)對(duì)客觀動(dòng)力系統(tǒng)的描寫(xiě)是較客觀的和全局性的,不僅可以描述全空域還可以描寫(xiě)全時(shí)域的行為.其代價(jià)就是模式上的復(fù)雜帶來(lái)了數(shù)學(xué)求解的困難,大部分的非線性模式是無(wú)法求出數(shù)學(xué)上的解析解的.為了解決這個(gè)矛盾,穩(wěn)定性理論及尋找其近似解的各種方法應(yīng)運(yùn)而生.在非線性科學(xué)誕生之前,人們多用線性模式來(lái)近似研究、處理非線性的客觀動(dòng)力系統(tǒng).在客觀世界里,非線性作用和非線性現(xiàn)象是普遍的,而線性作用和線性現(xiàn)象則是非線性作用和非線性現(xiàn)象在極端條件下的特例,是極不普遍的.1.1.3線性和非線性的數(shù)學(xué)描述如果空間是均勻的（1.1）（1.2）只要是線性（關(guān)于或的一次冪）函數(shù),那么系統(tǒng)（1.2）式就是一線性系統(tǒng).如果是一非線性函數(shù),那么系統(tǒng)（1.2）式就是一非線性系統(tǒng).如果空間不均勻,即,則（1.3）即個(gè)別變化=局地變化+平流項(xiàng).如果廣義速度是不均勻的,那么是一非線性項(xiàng),所以不管是否為線性函數(shù),系統(tǒng)（1.2）都是一非線性系統(tǒng).如果廣義速度是均勻的,那么是一線性項(xiàng).當(dāng)是線性函數(shù)時(shí),系統(tǒng)（1.2）式是一線性系統(tǒng),如果是一非線性函數(shù),系統(tǒng)（1.2）式則是一非線性系統(tǒng).1.1.4線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)線性系統(tǒng)具有以下顯著特點(diǎn)：均勻性（空間分布均勻、相互作用等權(quán)重）;獨(dú)立性（代數(shù)疊加律）;可逆性.所謂的可逆性指的是當(dāng),物理規(guī)律或結(jié)果僅變號(hào)而形式、分布不變,即非線性系統(tǒng)具有以下顯著特點(diǎn)：非均勻（空間分布、相互作用的方式、效應(yīng)、結(jié)果隨時(shí)間、地點(diǎn)條件而變）;相干性（各要素喪失其獨(dú)立性,遵守矢量疊加原理）;不可逆性（空間不均勻所致,各要素的作用和重要性不同）,如生物進(jìn)化、天氣演變、地球自轉(zhuǎn)等演化行為的不可逆性;存在支配與從屬、控制與反饋、策動(dòng)與響應(yīng)等對(duì)立矛盾的兩個(gè)方面.§1.2穩(wěn)定性分析理論1.2.1線性擾動(dòng)方程所謂的定態(tài)指的是在一定參數(shù)下不隨時(shí)間變化的態(tài),也就是在相空間里靜止不動(dòng)的點(diǎn),即滿足以下條件的點(diǎn):定態(tài)的物理意義是指相空間里廣義相速度為零的點(diǎn)(一個(gè)或多個(gè)),因?yàn)閺V義速度為零,系統(tǒng)是靜止的(所以叫做“定”).上式是一代數(shù)方程組,可以容易求出其解:.定態(tài)的另一個(gè)物理含義則是指,當(dāng)時(shí)系統(tǒng)將達(dá)到的態(tài).狀態(tài)（定態(tài)）的穩(wěn)定性是指系統(tǒng)不隨參數(shù)或物理量的微小漲落而遠(yuǎn)離該態(tài).在非線性科學(xué)里,由于非線性微分方程的求解的困難,一般是很難求得系統(tǒng)任意時(shí)刻的狀態(tài).假設(shè)系統(tǒng)的初態(tài)為某一定態(tài),現(xiàn)給系統(tǒng)一個(gè)擾動(dòng),,考察系統(tǒng)是否會(huì)遠(yuǎn)離該定態(tài).擾動(dòng)后的狀態(tài)為：（1.4）所謂的穩(wěn)定性分析就是研究時(shí)刻后該擾動(dòng)是否放大或衰減.如果經(jīng)過(guò)充分長(zhǎng)的時(shí)間后,擾動(dòng),系統(tǒng)將回到原來(lái)的初態(tài),則稱(chēng)該定態(tài)是穩(wěn)定的.如果擾動(dòng)不隨時(shí)間的增大而衰減并并趨于零反而增大,那么經(jīng)擾動(dòng)后的狀態(tài)將隨時(shí)間的增加而遠(yuǎn)離初態(tài).此時(shí),我們稱(chēng)該定態(tài)是不穩(wěn)定的.一般我們利用多項(xiàng)式展開(kāi)法和Taylor展開(kāi)法求非線性動(dòng)力系統(tǒng)的某一定態(tài)的擾動(dòng)方程,下面介紹確定非線性動(dòng)力系統(tǒng)的某一定態(tài)的擾動(dòng)方程的步驟：（1）求系統(tǒng)的定態(tài)解,：?jiǎn)巫兞肯到y(tǒng)：令 （1.5）或雙變量系統(tǒng)：令（1.6）由（1.5）或（1.6）式可求得系統(tǒng)的（由方程的冪次和維數(shù)所決定）個(gè)定態(tài)：或.（2）分別對(duì)每一個(gè)定態(tài)或計(jì)算Jacobi矩陣元,并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的Jacobi矩陣和擾動(dòng)方程.個(gè)定態(tài)就有個(gè)擾動(dòng)方程.1.2.2平衡態(tài)（系統(tǒng)）的穩(wěn)定性[5]我們知道,在一維、二維（元）情況下,系統(tǒng)的擾動(dòng)方程都是線性的,即（1.7）（1.8）對(duì)于線性微分方程其解為;,（1.9）二維情況：（1.10）所以,線性擾動(dòng)方程的解的形式是指數(shù)形式的.由于,擾動(dòng)隨時(shí)間增大;,擾動(dòng)隨時(shí)間減少.所以,的正負(fù)決定了系統(tǒng)（定態(tài)）的穩(wěn)定與不穩(wěn)定.而得實(shí)、虛數(shù)則決定系統(tǒng)定態(tài)的物理性質(zhì)和空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).現(xiàn)在,我們來(lái)討論如何確定的取值.將擾動(dòng)方程的解代入擾動(dòng)方程（1.10）式,利用可得所以,要使擾動(dòng)為零解的條件是（1.11）即（1.12）其中是單位對(duì)角矩陣由（1.11）得（1.13）其中（1.14）（1.12）式的解,即特征方程的特征值：（1.15）我們把（1.12）式叫做定態(tài)（系統(tǒng)）的特征方程,而則為特征方程的特征根.定態(tài)的穩(wěn)定性分析的關(guān)鍵就是對(duì)取值的討論.將特征根寫(xiě)為由（1.15）式可以得出以下的穩(wěn)定性條件判據(jù)：如果,擾動(dòng)得到放大,平衡態(tài)是不穩(wěn)定的;如果,擾動(dòng)將得到衰減,平衡態(tài)是穩(wěn)定的;如果,而,平衡態(tài)是臨界穩(wěn)定的.1.2.3奇點(diǎn)（平衡態(tài)）的分類(lèi)第一類(lèi)：此時(shí)方程（1.15）式的兩個(gè)根和為同號(hào)、不等的實(shí)根,這意味著系統(tǒng)將不會(huì)出現(xiàn)振蕩（即非周期的曲線或直線）地趨近或遠(yuǎn)離定態(tài),該定態(tài)（奇點(diǎn)）叫做結(jié)點(diǎn).如果,兩個(gè)實(shí)根都是大于零的,擾動(dòng)將隨時(shí)間增加而放大,解遠(yuǎn)離平衡點(diǎn),奇點(diǎn)為不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn).如果,兩個(gè)實(shí)根都是小于零的,擾動(dòng)將隨時(shí)間增加而減小,最終趨于零,解趨于平衡點(diǎn),奇點(diǎn)為穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn).第二類(lèi)：此時(shí)特征根是兩個(gè)異號(hào)（一正一負(fù)）的實(shí)根（奇點(diǎn)不穩(wěn)定）,即（1.15）式的解有兩支,一是趨于平衡點(diǎn),一是遠(yuǎn)離平衡點(diǎn).該奇點(diǎn)稱(chēng)為鞍點(diǎn),此時(shí)相空間已分為四個(gè)區(qū),系統(tǒng)的演化軌線為馬鞍形.鞍點(diǎn)永遠(yuǎn)是不穩(wěn)定的.第三類(lèi)：此時(shí)特征值是兩個(gè)不等的復(fù)根,,而且這兩個(gè)復(fù)數(shù)根的實(shí)部都不為零..此時(shí)解的行為時(shí)振蕩形的,即做不等振幅的周期運(yùn)動(dòng).我們把該奇點(diǎn)稱(chēng)為焦點(diǎn).如果,實(shí)部大于零,擾動(dòng)隨時(shí)間增加而放大,解振蕩遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)（振幅不斷增加）,奇點(diǎn)為不穩(wěn)定的焦點(diǎn).如果,實(shí)部小于零,擾動(dòng)隨時(shí)間增加而減小,解振蕩趨近平衡點(diǎn)（振幅不斷衰減）,奇點(diǎn)為穩(wěn)定的焦點(diǎn).第四類(lèi)：此時(shí)特征值為純虛數(shù)（）,解為周期振蕩,奇點(diǎn)為中心點(diǎn),中心點(diǎn)是臨界穩(wěn)定的.下面總結(jié)在已知數(shù)學(xué)模型的前提下,對(duì)非線性動(dòng)力系統(tǒng)[6]進(jìn)行數(shù)理分析的步驟：求定態(tài),令：解代數(shù)方程組;計(jì)算Jacobi矩陣元（用定態(tài)值代入）;寫(xiě)出特征根方程一元;求解特征根方程的所有解,…;根據(jù)特征值的虛實(shí)和正負(fù)來(lái)判斷定態(tài)的性質(zhì)和穩(wěn)定與否;①為純虛數(shù)時(shí),平衡態(tài)是中心（系統(tǒng)作周期運(yùn)動(dòng)）;②為虛數(shù)時(shí),平衡態(tài)是焦點(diǎn)（系統(tǒng)作變振幅的周期運(yùn)動(dòng)）;③為一正一負(fù)的實(shí)數(shù)時(shí),平衡態(tài)是鞍點(diǎn)（系統(tǒng)作馬鞍形運(yùn)動(dòng)）;④兩值同為正或同為負(fù)的實(shí)數(shù)時(shí),平衡態(tài)是結(jié)點(diǎn)（系統(tǒng)作非周期曲線或直線運(yùn)動(dòng)）;對(duì)于一維動(dòng)力系統(tǒng),為正或負(fù)時(shí),平衡態(tài)是結(jié)點(diǎn)（系統(tǒng)作直線運(yùn)動(dòng)）;⑤如果或,平衡態(tài)是不穩(wěn)定的,反之,或,平衡態(tài)是穩(wěn)定的.§1.3分岔理論[7]1.3.1分岔的定義、條件分岔理論是耗散結(jié)構(gòu)理論、突變理論和混沌理論的基礎(chǔ).所有的耗散結(jié)構(gòu)、突變和混沌現(xiàn)象都必須經(jīng)過(guò)分岔.但分岔未必能夠出現(xiàn)耗散結(jié)構(gòu)和混沌現(xiàn)象.所以分岔是耗散結(jié)構(gòu)、突變和混沌的必要條件.分岔的定義：由于參數(shù)的變化,系統(tǒng)因原平衡態(tài)失穩(wěn)而進(jìn)入新的平衡態(tài)的過(guò)程.分岔點(diǎn)的條件分岔點(diǎn)的必要條件分岔點(diǎn)意味著原來(lái)的平衡態(tài)失穩(wěn)而分出新的平衡態(tài),所以,分岔點(diǎn)必定是奇點(diǎn)（平衡態(tài)）.因此分岔點(diǎn)的必要條件是：一維（元）（1.16）二維（元）（1.17）分岔點(diǎn)的充分條件分岔意味著從一個(gè)態(tài)分岔出至少兩個(gè)態(tài)或兩個(gè)狀態(tài)分支,所以分岔點(diǎn)必定是臨界的.換句話說(shuō),分岔點(diǎn)是若干個(gè)奇點(diǎn)的一個(gè),故要滿足臨界定態(tài)條件,即：從穩(wěn)定性分析理論可知,對(duì)于動(dòng)力系統(tǒng)如果是奇點(diǎn)條件,那么則是奇點(diǎn)性質(zhì)判別條件.當(dāng)時(shí),平衡態(tài)是穩(wěn)定的;當(dāng)時(shí),平衡態(tài)是不穩(wěn)定的;當(dāng)時(shí),平衡態(tài)將由穩(wěn)定的變?yōu)椴环€(wěn)定的.所以（1.18）是一維動(dòng)力系統(tǒng)出現(xiàn)分岔的充分條件（臨界定態(tài)條件）.對(duì)于二維情況,由特征根方程可知,如果這兩個(gè)根的實(shí)部在某參數(shù)值的一側(cè)為負(fù),在另一側(cè)為正,而在中間則恰好為零,即,則在處有分支存在.所以,其分岔的充分條件為或（1.19）所以,分岔點(diǎn)的充要條件是和（一維）（1.20）和（二維）（1.21）1.3.2一維離散動(dòng)力系統(tǒng)的分岔離散動(dòng)力系統(tǒng)也稱(chēng)映射（迭代）動(dòng)力系統(tǒng),一維的映射（迭代）動(dòng)力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為（1.22）算子叫做操作,是迭代操作,反映了映射機(jī)制和迭代機(jī)制.算子相當(dāng)于函數(shù),是系統(tǒng)本身的性質(zhì).的形式不同,所描寫(xiě)的離散動(dòng)力系統(tǒng)就不同,動(dòng)力系統(tǒng)的行為也就不一樣,整個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的行為取決于操作,這一點(diǎn)與連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的函數(shù)相似.對(duì)于確定的系統(tǒng),操作是確定的,只要知道初值,則可逐步迭代求出以后所有各步（次）的值.離散動(dòng)力系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)離散動(dòng)力系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)的物理意義類(lèi)似于連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的平衡態(tài),都是描寫(xiě)最終（）的狀態(tài),但數(shù)學(xué)上式有區(qū)別的.對(duì)于離散動(dòng)力系統(tǒng)任意次迭代后仍然不變的點(diǎn)為不動(dòng)點(diǎn).所以,不動(dòng)點(diǎn)的方程為（1.23）而連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的平衡態(tài)方程是（1.24）例1.1求的不動(dòng)點(diǎn).不動(dòng)點(diǎn)方程為（）檢驗(yàn)：將代入,得該不動(dòng)點(diǎn)實(shí)際就是以下兩直線（方程）的交點(diǎn)：例1.2求蟲(chóng)口（Logistic）模式的不動(dòng)點(diǎn)（）.該模式說(shuō)明下一代蟲(chóng)口與父母數(shù)成正比,與環(huán)境容量成正比.其不動(dòng)點(diǎn)方程為不動(dòng)點(diǎn)為這兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)實(shí)際就是以下兩方程的兩個(gè)交點(diǎn)：不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性離散動(dòng)力系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性是由Floquet（夫洛開(kāi)）乘子為判據(jù)的.這里的Floquet乘子類(lèi)似于連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的Jacobi矩陣的特征值,作為判據(jù),其性質(zhì)類(lèi)似于.（1.25）對(duì)于蟲(chóng)口模式,,當(dāng)時(shí),系統(tǒng)只有一個(gè)解.而且（）是穩(wěn)定的.當(dāng),系統(tǒng)有兩個(gè)解：;.對(duì)于：（）不動(dòng)點(diǎn)不穩(wěn)定.對(duì)于：,（）不動(dòng)點(diǎn)是穩(wěn)定的.所以,當(dāng)參數(shù)從變到時(shí),系統(tǒng)發(fā)生分岔,分岔點(diǎn)的參數(shù)值為,一個(gè)穩(wěn)定的失穩(wěn)后分岔出一個(gè)穩(wěn)定的.上面我們介紹了蟲(chóng)口模式一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的情況,是否還有其他的不動(dòng)點(diǎn)？我們知道離散系統(tǒng)的周期解就是不動(dòng)點(diǎn),一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)叫周期1,其表達(dá)式是.二個(gè)不動(dòng)點(diǎn)叫周期2,其表達(dá)式是,即描寫(xiě)了連續(xù)兩次操作：以此類(lèi)推,個(gè)不動(dòng)點(diǎn)叫周期,其表達(dá)式是,即描寫(xiě)了次連續(xù)操作.例1.3對(duì)于系統(tǒng),其連續(xù)兩次操作結(jié)果為系統(tǒng)只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).但對(duì)于Logistic模式,連續(xù)二次操作結(jié)果為即系統(tǒng)有4個(gè)解（不動(dòng)點(diǎn)）,（1.26）不動(dòng)點(diǎn)和是原來(lái)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),而和才是周期2的新解.由于和是周期2的解（不動(dòng)點(diǎn)）,則有（1.27）（1.27）式說(shuō)明了,如果第一年蟲(chóng)口是,第二年就是,第三年又是,第四年又是,…….這是典型的雙穩(wěn)態(tài)如野生螃蟹今年是大年捕撈的多,明年是小年少捕撈（捕撈的人也少了）,后年又是大年,…….例如,取,則,,即不同年（代）的蟲(chóng)口只在這兩個(gè)值上下往返跳動(dòng)：這就是周期2的物理意義.周期的穩(wěn)定性判據(jù)周期的穩(wěn)定性也滿足（1.25）式,但此時(shí)（1.28）對(duì)于Logistic模式,由周期1的條件可知：除了是個(gè)分岔點(diǎn),也是一個(gè)分岔點(diǎn),即當(dāng)參數(shù)時(shí),原來(lái)穩(wěn)定的將失穩(wěn),但分岔出新的兩個(gè)態(tài)和.當(dāng)（1.29）即當(dāng)時(shí),和又將失穩(wěn),各將分岔出兩個(gè)（共是4個(gè)）新態(tài),該過(guò)程是倍分岔.如時(shí),將分岔出當(dāng),,不動(dòng)點(diǎn)和都是穩(wěn)定的.對(duì)于Logistic模式,其參數(shù)取值與分岔過(guò)程如下：一個(gè)態(tài)分岔出2個(gè)新的穩(wěn)定態(tài)（）;1～2分岔;和各自分岔出2個(gè)新的穩(wěn)定態(tài),2～4分岔;上述的4個(gè)態(tài)將分岔出8個(gè)新的態(tài),4～8分岔.……周期,,次操作：后,由可知共有個(gè)態(tài),其中的個(gè)態(tài)是新的平衡態(tài).例1.4蟲(chóng)口模式：,其中.,有利于蟲(chóng)口繁衍,,不利于蟲(chóng)口繁衍.當(dāng),不動(dòng)點(diǎn)方程為求得不動(dòng)點(diǎn)對(duì)于,穩(wěn)定對(duì)于,不穩(wěn)定周期1分岔點(diǎn)的參數(shù)約束為所以,當(dāng),不動(dòng)點(diǎn)失穩(wěn),分岔出新的不動(dòng)點(diǎn)（周期2）,它們滿足：第二章再生資源管理與開(kāi)發(fā)模型的建立§2.1模型建立的前提[8]在人類(lèi)有限度的收獲（捕撈、收割、采集、砍伐等）下,資源一般具有自我恢復(fù)能力,即再生能力.漁業(yè)資源是一種典型的再生資源,在陸地資源日漸匱乏的21世紀(jì),漁業(yè)這一再生資源尤為重要.所以本文將以漁業(yè)為例來(lái)說(shuō)明再生資源的管理與開(kāi)發(fā),將介紹Scheafer資源開(kāi)發(fā)模型和有關(guān)的最大經(jīng)濟(jì)效益的收獲策略等基本理論和方法,這些理論和方法對(duì)任意的可再生資源的管理與開(kāi)發(fā)都適用.對(duì)再生資源最重要的就是適度開(kāi)發(fā),不能為了一時(shí)的高產(chǎn)去“竭澤而漁”.人類(lèi)應(yīng)該在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)的大前提下,才可以追求最高產(chǎn)量或最優(yōu)的經(jīng)濟(jì)效益.所以,資源開(kāi)發(fā)與資源管理是一對(duì)矛盾.所謂的開(kāi)發(fā)就是收獲或捕撈,對(duì)資源或?qū)οx(chóng)口（如魚(yú)口）的增長(zhǎng)來(lái)說(shuō),這相當(dāng)于一個(gè)阻力或死亡因素.而所謂的管理,就是捕撈策略.其前提就是必須維持穩(wěn)定的魚(yú)量或資源量,而后再研究如何控制捕撈或使持續(xù)產(chǎn)量最大或使捕撈（收獲）的經(jīng)濟(jì)效益最大[9].產(chǎn)量和經(jīng)濟(jì)效益是兩個(gè)不同的概念,產(chǎn)量高未必經(jīng)濟(jì)效益就好,這與收獲的代價(jià)和市場(chǎng)的價(jià)值有關(guān).§2.2Scheafer模型的建立假設(shè)在沒(méi)有捕撈的情況下,魚(yú)（或任意養(yǎng)殖種群）的數(shù)量（魚(yú)口）遵守Logistic的蟲(chóng)口模式：（）（2.1）其中,是物種不受環(huán)境和資源的限制的固有增長(zhǎng)率,是自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大蟲(chóng)口數(shù)量（密度）.設(shè)捕撈強(qiáng)度為,表示特定的捕撈策略,即要求捕魚(yú)者每天只能捕撈一定的數(shù)量,該數(shù)量決定了出海的漁船數(shù)和噸位數(shù);捕撈系數(shù)為,表示單位強(qiáng)度下的捕撈率.則單位時(shí)間的捕撈率為：.如果假設(shè)單位時(shí)間的捕撈量與漁場(chǎng)魚(yú)量成正比,則（2.2）為方便起見(jiàn),（2.2）式取.由Logistic模型（2.1）式和條件（2.2）式可以容易得到在捕撈情況下漁場(chǎng)魚(yú)量滿足的動(dòng)力方程,即Scheafer模型：()（2.3）這是一個(gè)一階二次非線性方程.系統(tǒng)的分岔點(diǎn)的充要條件為即（2.4）（2.4）式的解為所以,系統(tǒng)的分岔?xiàng)l件是,而分岔點(diǎn)為.另一方面,由平衡點(diǎn)（態(tài)）條件或可知Scheafer系統(tǒng)（2.3）式有兩個(gè)平衡點(diǎn)（態(tài)）：平衡點(diǎn)的性質(zhì)和穩(wěn)定性討論如下：對(duì)于（2.5）即當(dāng),為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)（適度捕撈,系統(tǒng)將離開(kāi)0而增長(zhǎng)）,而當(dāng),為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)（過(guò)度捕撈,系統(tǒng)始終為0,滅絕了）.對(duì)于平衡態(tài),因?yàn)椋?.6）（2.6）式說(shuō)明,當(dāng)（適度捕撈）時(shí),為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)（永遠(yuǎn)捕撈不完）;而當(dāng)（過(guò)度捕撈）,為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)（離開(kāi)平衡態(tài),向滅絕發(fā)展）.綜合（2.5）和（2.6）式有以下結(jié)論：（1）時(shí),是一臨界條件,即分岔?xiàng)l件,而分岔點(diǎn)為;（2）時(shí),適度捕撈,魚(yú)口將從不穩(wěn)定的向穩(wěn)定的平衡態(tài)發(fā)展,這時(shí)漁場(chǎng)里的魚(yú),永遠(yuǎn)捕撈不完.我們可以獲得持續(xù)的產(chǎn)量：（2.7）而我們?nèi)绻M(jìn)行過(guò)度捕撈,即時(shí),魚(yú)口將從穩(wěn)定的向滅絕態(tài)發(fā)展.事實(shí)上Scheafer系統(tǒng)的含時(shí)解可以用初等積分法求得（2.8）其中為初始魚(yú)量.當(dāng),時(shí),解漸近地趨于解（穩(wěn)定態(tài)）.說(shuō)明:只要捕撈適度（）,漁場(chǎng)的魚(yú)群總能自行調(diào)節(jié)到持續(xù)生產(chǎn)水平上去,從而獲得持續(xù)產(chǎn)量.當(dāng),時(shí),解漸近地趨于解(穩(wěn)定態(tài)）.注意,此時(shí)的,為負(fù)數(shù),是不穩(wěn)定的,即不現(xiàn)實(shí)的態(tài).說(shuō)明:當(dāng)捕撈過(guò)度時(shí)（）,漁場(chǎng)魚(yú)量將減至,當(dāng)然談不上獲得持續(xù)產(chǎn)量了,或持續(xù)產(chǎn)量.所以過(guò)度捕撈只能以逐日減產(chǎn)的形式維持一段時(shí)間,直至魚(yú)量為0后而沒(méi)有任何的捕撈量,系統(tǒng)才達(dá)到真正的平衡.第三章模型的分析與結(jié)果討論在第二章里,我們只考慮資源（魚(yú)量）的可否持續(xù)發(fā)展（捕撈）的問(wèn)題,而沒(méi)有考慮捕撈的經(jīng)濟(jì)效應(yīng)[10].如果每次航海只捕撈幾斤的魚(yú),是沒(méi)有實(shí)際意義的,盡管魚(yú)量不會(huì)滅絕.這里包含兩個(gè)問(wèn)題：一是每日或每月最多可持續(xù)捕撈多少;二是每次捕撈既要保證可持續(xù)性,又要保證以最少的捕撈費(fèi)用得到最大的可持續(xù)捕撈魚(yú)量.前一問(wèn)題是關(guān)于最大可持續(xù)（收獲）捕撈量,而后一問(wèn)題則是關(guān)于如何才能做到漁資源在持續(xù)捕撈的條件下為人們提供最大收益的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題.§3.1最大持續(xù)收獲量策略下面先解決第一個(gè)問(wèn)題,即最大持續(xù)捕魚(yú)（收獲）量的策略[11].從數(shù)學(xué)上來(lái)看,最大持續(xù)捕魚(yú)（收獲）量的策略就是取某一特定的捕撈策略,使可持續(xù)產(chǎn)量（穩(wěn)定的平衡態(tài)）,或持續(xù)產(chǎn)量為極值（最大捕撈而不滅絕）.即（3.1）將代入,得（3.2）從而求得最大可持續(xù)捕撈量（3.3）而漁場(chǎng)的穩(wěn)定魚(yú)量,即平衡態(tài)（3.4）從以上的討論可知,是得到最大持續(xù)捕魚(yú)（收獲）量的策略.如果每天捕的魚(yú)量,則為每天的凈增長(zhǎng)率;如果每月捕的魚(yú)量,則為每月的凈增長(zhǎng)率.§3.2最大經(jīng)濟(jì)效益[12]的收獲（捕撈）策略現(xiàn)在我們來(lái)討論第二個(gè)問(wèn)題,即如何才能在持續(xù)捕撈（收獲）的條件下為人類(lèi)提供最大的經(jīng)濟(jì)效益.眾所周知,當(dāng)今對(duì)（魚(yú)類(lèi)）資源的開(kāi)發(fā)、利用的目的不是追求最大收（捕撈）量,而是最大經(jīng)濟(jì)效益.最簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)效益模型就是用從捕撈所得到的收入中扣除開(kāi)支后的利潤(rùn)來(lái)衡量.因此,我們簡(jiǎn)單的假設(shè)：?jiǎn)挝徊稉茝?qiáng)度（如每條出海漁船）的費(fèi)用為（常數(shù)）,魚(yú)的銷(xiāo)售為（常數(shù)）,那么單位時(shí)間的收入和支出分別為（3.5）單位時(shí)間的利潤(rùn)為 （3.6）所謂最大的經(jīng)濟(jì)收益就是在使魚(yú)量穩(wěn)定在（3.7）的約束條件下的（3.8）取極（最大）值.令：,有（3.9）比較（3.2）式最大捕撈下的強(qiáng)度可知,在最大經(jīng)濟(jì)效益下,捕撈強(qiáng)度減小了.而最大利潤(rùn)下的漁場(chǎng)穩(wěn)定魚(yú)量為：（3.10）比最大捕撈量下的魚(yú)量（3.3）式增加了.最大利潤(rùn)下漁場(chǎng)單位時(shí)間的持續(xù)產(chǎn)量為（3.11）較最大捕撈下的持續(xù)產(chǎn)量有所減小.在最大經(jīng)濟(jì)效益下的最大可持續(xù)凈收益[13,14]（3.12）或最大可持續(xù)凈收益=最大利潤(rùn)下漁場(chǎng)單位時(shí)間的持續(xù)產(chǎn)量?jī)r(jià)格即與前一模型相比較可以看出,在最大效益原則下捕撈強(qiáng)度和持續(xù)產(chǎn)量均有減少,而漁場(chǎng)的魚(yú)量則有所增加.而且所減少或所增加的比例隨著捕撈成本的增長(zhǎng)（捕得較少）而變大,隨著銷(xiāo)售價(jià)格的增長(zhǎng)（價(jià)格貴,則多捕一點(diǎn)）而變小,這顯然是符合實(shí)際情況的.所以,在固定的成本價(jià)格體系中以優(yōu)化持續(xù)利潤(rùn)[15]為目標(biāo)將會(huì)起到保護(hù)生物種群的作用,而不會(huì)刺激人們對(duì)資源進(jìn)行掠奪式開(kāi)發(fā).結(jié)論本文主要介紹了非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論和分岔理論,以及它們?cè)谠偕Y源管理與開(kāi)發(fā)中的應(yīng)用.本文運(yùn)用非線性理論,建立了可再生資源（以漁業(yè)資源為例）二次非線性收獲的動(dòng)力模式.本文通過(guò)理論知識(shí)的介紹,進(jìn)一步熟悉了微分方程穩(wěn)定性理論和分岔理論的知識(shí),在這些知識(shí)的基礎(chǔ)上,建立了可再生資源管理與應(yīng)用的模型,通過(guò)對(duì)模型的分析與討論,我得到以下結(jié)論：為了保證可再生資源的可持續(xù)利用,必須控制收獲量,采取合理的周期性收獲策略,才能避免可再生資源的過(guò)度利用,正確處理好經(jīng)濟(jì)發(fā)展與可再生資源保護(hù)之間的關(guān)系.由于自己學(xué)習(xí)的還不夠全面,因此,本文只粗淺的討論了可再生資源的最大持續(xù)收獲策略和最大經(jīng)濟(jì)效益的收獲策略.隨著現(xiàn)代社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步,在以后的研究中人們肯定還會(huì)利用微分方程的穩(wěn)定性理論,對(duì)再生資源的管理與開(kāi)