第五節(jié)指數(shù)函數(shù)xn＝a

0無意義

(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：①aras＝____(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝____(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝_____(a＞0，b＞0，r∈Q).ar＋s

ars

arbr

3．指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)

圖象0＜a＜1a＞1圖象特征在x軸____，過定點_____

當(dāng)x逐漸增大時，圖象逐漸下降當(dāng)x逐漸增大時，圖象逐漸上升上方

(0，1)

函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)

性質(zhì)定義域___值域_________

單調(diào)性____函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x＝0時，_____

當(dāng)x＜0時，______；當(dāng)x＞0時，_________當(dāng)x＜0時，_______；當(dāng)x＞0時，______R

(0，＋∞)

減增y＝1y＞10＜y＜10＜y＜1y＞13．指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較下圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c＞d＞1＞a＞b.規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大．4．指數(shù)函數(shù)圖象的對稱規(guī)律函數(shù)y＝ax的圖象與y＝a－x的圖象關(guān)于y軸對稱，y＝ax的圖象與y＝－ax的圖象關(guān)于x軸對稱，y＝ax的圖象與y＝－a－x的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱．B

2．(基本方法：作指數(shù)函數(shù)圖象)函數(shù)f(x)＝1－ex的圖象大致是(

)A3．(基本能力：研究函數(shù)性質(zhì))函數(shù)y＝(ax＋1)ex過定點________．答案：(0，1)答案：a

＞c＞b答案：(1，＋∞)

D答案：47方法總結(jié)

1．這種循環(huán)根式型的化簡，一般由里向外，將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行運算．2．指數(shù)冪運算的一般原則：(1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運算．(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)．(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式來表示，運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答．

[典例剖析][典例]

(1)(2021·河北武邑中學(xué)調(diào)研)函數(shù)y＝e－|x－1|的大致圖象是(

)解析：當(dāng)x＝1時，y＝1，排除選項CD.當(dāng)x＞1時，y＝e－(x－1)為減函數(shù)，排除選項A.B(2)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(

)A．a(chǎn)＞1，b<0 B．a(chǎn)>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0D解析：由題圖可知，y隨x的增大而減小，所以函數(shù)f(x)＝ax－b是單調(diào)遞減的，則0<a<1.又因為函數(shù)圖象與y軸的交點在點(0，1)的下方，所以函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象是由函數(shù)f(x)＝ax的圖象向左平移得到的，所以b<0.(3)若曲線y＝|3x－1|與直線y＝m有兩個不同交點，則實數(shù)m的取值范圍是________．解析：曲線y＝|3x－1|的圖象是由函數(shù)y＝3x的圖象向下平移一個單位長度后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，而直線y＝m的圖象是平行于x軸的一條直線，它的圖象如圖所示，由圖象可知，如果曲線y＝|3x－1|與直線y＝m有兩個公共點，則m的取值范圍是(0，1).答案：(0，1)方法總結(jié)

1．對于y＝ax(a＞0，且a≠1)當(dāng)a∈(0，1)且a逐漸變大時，圖象右端(第一象限逐漸變“高”)，圖象逐漸接近y＝1，當(dāng)a＝1時，圖象就是直線y＝1.當(dāng)a∈(1，＋∞)時，a逐漸變大，在第一象限內(nèi)圖象逐漸接近于y軸．總之，圖象過定點(0，1)，在第一象限內(nèi)，逆時針方向看，底數(shù)逐漸變大．2．與指數(shù)函數(shù)有關(guān)圖象問題的求解方法(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象，一般是取特殊點，判斷選項中的圖象是否過這些點，若不滿足，則排除．(2)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論．[對點訓(xùn)練]1．函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是(

)A解析：f(x)＝1－e|x|是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，又e|x|≥1，所以f(x)的值域為(－∞，0]，因此排除選項BCD，只有選項A滿足．B3．(母題變式)(1)將本例(3)變?yōu)椋簓＝|3x－1|與y＝m有且只有一個公共點，則m的范圍為________．答案：{0}∪[1，＋∞)(2)若本例(3)條件變?yōu)椋汉瘮?shù)y＝|3x－1|在(－∞，m]上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案：(－∞，0]

C方法總結(jié)對于函數(shù)y＝af(x)和復(fù)合函數(shù)y＝f(ax)的定義域、值域常利用換元法，其關(guān)鍵點：(1)函數(shù)y＝af(x)的定義域與f(x)的定義域相同．f(ax)的定義域：使ax在f(x)的定義域內(nèi)，解指數(shù)不等式．(2)y＝af(x)的值域：先確定f(x)的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定y＝af(x)的值域．(3)y＝f(ax)的值域：先確定ax的值域、再利用f(x)的性質(zhì)確定y＝f(ax)的值域．

AB方法總結(jié)

對于冪值的大小比較，若可化為同底數(shù)(指數(shù)不同)則借用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大?。艨苫癁橥笖?shù)(底數(shù)不同)，則借用冪函數(shù)單調(diào)性比較大?。舨豢苫癁橥?或同指)，可引入常數(shù)0，1，2等值進(jìn)行比較．

類型3指數(shù)不等式[例3]

(1)不等式2x2－x＜4的解集為________.解析：不等式2x2－x＜4可轉(zhuǎn)化為2x2－x＜22，利用指數(shù)函數(shù)y＝2x的性質(zhì)可得，x2－x＜2，解得－1＜x＜2，故所求解集為{x|－1＜x＜2}．答案：{x|－1＜x＜2}(2)設(shè)f(x)＝32x－3x.若f(x)＞6，則x的取值范圍是________．解析：由f(x)＞6得32x－3x＞6，即(3x)2－3x－6＞0，∴(3x－3)(3x＋2)＞0，∵3x＞0，∴3x＞3，∴x＞1.答案：(1，＋∞)方法總結(jié)1．形如ax＞ab的不等式，借助于函數(shù)y＝ax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論．2．形如ax＞b的不等式，注意將b轉(zhuǎn)化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助于函數(shù)y＝ax的單調(diào)性求解．3．解決此類問題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時進(jìn)行分類討論．

類型4指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性判斷[例4]

(1)已知函數(shù)f(x)＝2|2x－m|(m為常數(shù)).若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是________．(－∞，4](2)函數(shù)f(x)＝4x－2x＋1的單調(diào)增區(qū)間是________．解析：f(x)＝(2x)2－2·2x＝(2x－1)2－1，設(shè)t＝2x在R上為增函數(shù)，y＝(t－1)2－1在[1，＋∞)上為增函數(shù)，∴2x≥1，∴x≥0.答案：[0，＋∞)方法總結(jié)

利用復(fù)合函數(shù)判斷形如y＝af(x)的單調(diào)性，它的單調(diào)區(qū)間與f(x)的單調(diào)區(qū)間有關(guān)．

方法總結(jié)

有關(guān)指數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)復(fù)合之后的性質(zhì)，要綜合考慮函數(shù)的性質(zhì)及研究方法．

A2．(2020·黑龍江七臺河質(zhì)檢)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，則(

)A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．c＞a＞b D．b＞c＞a解析：由0.2＜0.6，0.4＜1，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象(圖略)可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因為a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.綜上，a＞b＞c.A3．(母題變式)將例1(1)變?yōu)椋汉瘮?shù)y＝ax2＋2x－1，其值域為______