2023-2024學年貴州省黔東南州名校高三數(shù)學第一學期期末監(jiān)測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面直角坐標系中，將點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)到點，設直線與軸正半軸所成的最小正角為，則等于()A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列的前項和為，且滿足，則的值是()A． B． C． D．3．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且，若正方體的六個面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．4．已知直線與直線則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．劉徽是我國魏晉時期偉大的數(shù)學家，他在《九章算術(shù)》中對勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也.合成弦方之冪，開方除之，即弦也”.已知圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，其中“正方形為朱方，正方形為青方”，則在五邊形內(nèi)隨機取一個點，此點取自朱方的概率為（）A． B． C． D．6．臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運動，也叫桌球（中國粵港澳地區(qū)的叫法）、撞球（中國地區(qū)的叫法）控制撞球點、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項重要技術(shù)，一次臺球技術(shù)表演節(jié)目中，在臺球桌上，畫出如圖正方形ABCD，在點E，F(xiàn)處各放一個目標球，表演者先將母球放在點A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點E，F(xiàn)處的目標球，最后停在點C處，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，則該正方形的邊長為（）A．50cm B．40cm C．50cm D．20cm7．如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖，則下列說法中不正確的是（）A．該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省B．與去年同期相比，該年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長C．該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個D．去年同期浙江省的GDP總量超過了4500億元8．若向量，則（）A．30 B．31 C．32 D．339．設，，是非零向量.若，則（）A． B． C． D．10．設集合，則()A． B．C． D．11．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，且，則（）A． B．或 C． D．12．已知，，由程序框圖輸出的為（）A．1 B．0 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．學校藝術(shù)節(jié)對同一類的，，，四件參賽作品，只評一件一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下：甲說：“或作品獲得一等獎”；乙說：“作品獲得一等獎”；丙說：“，兩項作品未獲得一等獎”；丁說：“作品獲得一等獎”．若這四位同學中有且只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是______.14．若函數(shù)，則使得不等式成立的的取值范圍為_________.15．已知各棱長都相等的直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)所有頂點都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側(cè)面積為___________．16．展開式中的系數(shù)為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，函數(shù)的最小值為1．（1）證明：．（2）若恒成立，求實數(shù)的最大值．18．（12分）已知圓：和拋物線：，為坐標原點．（1）已知直線和圓相切，與拋物線交于兩點，且滿足，求直線的方程；（2）過拋物線上一點作兩直線和圓相切，且分別交拋物線于兩點，若直線的斜率為，求點的坐標．19．（12分）已知動點到定點的距離比到軸的距離多.（1）求動點的軌跡的方程；（2）設，是軌跡在上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當，變化且時，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.20．（12分）已知函數(shù)，，若存在實數(shù)使成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）設數(shù)陣，其中、、、．設，其中，且．定義變換為“對于數(shù)陣的每一行，若其中有或，則將這一行中每個數(shù)都乘以；若其中沒有且沒有，則這一行中所有數(shù)均保持不變”（、、、）．表示“將經(jīng)過變換得到，再將經(jīng)過變換得到、，以此類推，最后將經(jīng)過變換得到”，記數(shù)陣中四個數(shù)的和為．（1）若，寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）若，，求的值；（3）對任意確定的一個數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不超過．22．（10分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為求a，b的值；證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

設直線直線與軸正半軸所成的最小正角為，由任意角的三角函數(shù)的定義可以求得的值，依題有,則，利用誘導公式即可得到答案.【詳解】如圖，設直線直線與軸正半軸所成的最小正角為因為點在角的終邊上，所以依題有,則，所以，故選：A【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義及誘導公式，屬于基礎題.2、C【解析】

利用先求出，然后計算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，當時，,,故當時，,數(shù)列是等比數(shù)列,則，故,解得,故選.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列前項和的表達形式，只要求出數(shù)列中的項即可得到結(jié)果，較為基礎.3、A【解析】

根據(jù)題意，畫出幾何位置圖形，由圖形的位置關(guān)系分別求得的值，即可比較各選項.【詳解】如下圖所示，平面，從而平面，易知與正方體的其余四個面所在平面均相交，∴，∵平面，平面，且與正方體的其余四個面所在平面均相交，∴，∴結(jié)合四個選項可知，只有正確.故選：A.【點睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應用，對空間想象能力要求較高，屬于中檔題.4、B【解析】

利用充分必要條件的定義可判斷兩個條件之間的關(guān)系.【詳解】若，則，故或，當時，直線，直線，此時兩條直線平行；當時，直線，直線，此時兩條直線平行.所以當時，推不出，故“”是“”的不充分條件，當時，可以推出，故“”是“”的必要條件，故選：B.【點睛】本題考查兩條直線的位置關(guān)系以及必要不充分條件的判斷，前者應根據(jù)系數(shù)關(guān)系來考慮，后者依據(jù)兩個條件之間的推出關(guān)系，本題屬于中檔題.5、C【解析】

首先明確這是一個幾何概型面積類型，然后求得總事件的面積和所研究事件的面積，代入概率公式求解.【詳解】因為正方形為朱方，其面積為9，五邊形的面積為，所以此點取自朱方的概率為.故選：C【點睛】本題主要考查了幾何概型的概率求法，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于基礎題.6、D【解析】

過點做正方形邊的垂線，如圖，設，利用直線三角形中的邊角關(guān)系，將用表示出來，根據(jù)，列方程求出，進而可得正方形的邊長.【詳解】過點做正方形邊的垂線，如圖，設，則，，則，因為，則，整理化簡得，又，得，.即該正方形的邊長為.故選：D.【點睛】本題考查直角三角形中的邊角關(guān)系，關(guān)鍵是要構(gòu)造直角三角形，是中檔題.7、D【解析】

根據(jù)折線圖、柱形圖的性質(zhì)，對選項逐一判斷即可.【詳解】由折線圖可知A、B項均正確，該年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個.故C項正確；.故D項不正確.故選：D.【點睛】本題考查折線圖、柱形圖的識別，考查學生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.8、C【解析】

先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因為,所以.故選:C.【點睛】本題考查了平面向量的坐標運算,考查了學生的計算能力,屬于基礎題.9、D【解析】試題分析：由題意得：若，則；若，則由可知，，故也成立，故選D.考點：平面向量數(shù)量積.【思路點睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點，作為一類既能考查向量的線性運算、坐標運算、數(shù)量積及平面幾何知識，又能考查學生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題，實有其合理之處.解決此類問題的常用方法是：①利用已知條件，結(jié)合平面幾何知識及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易)；②將條件通過向量的線性運算進行轉(zhuǎn)化，再利用①求解(較難)；③建系，借助向量的坐標運算，此法對解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.10、B【解析】

直接進行集合的并集、交集的運算即可．【詳解】解：；∴．故選：B．【點睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運算，是基礎題.11、A【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，通分化簡即可.【詳解】由題意，數(shù)列為等比數(shù)列，則，又，即，所以，，.故選：A.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與運算能力，屬于基礎題.12、D【解析】試題分析：，，所以，所以由程序框圖輸出的為.故選D．考點：1、程序框圖；2、定積分．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、B【解析】

首先根據(jù)“學校藝術(shù)節(jié)對四件參賽作品只評一件一等獎”，故假設分別為一等獎，然后判斷甲、乙、丙、丁四位同學的說法的正確性，即可得出結(jié)果．【詳解】若A為一等獎，則甲、丙、丁的說法均錯誤，不滿足題意；若B為一等獎，則乙、丙的說法正確，甲、丁的說法錯誤，滿足題意；若C為一等獎，則甲、丙、丁的說法均正確，不滿足題意；若D為一等獎，則乙、丙、丁的說法均錯誤，不滿足題意；綜上所述，故B獲得一等獎．【點睛】本題屬于信息題，可根據(jù)題目所給信息來找出解題所需要的條件并得出答案，在做本題的時候，可以采用依次假設為一等獎并通過是否滿足題目條件來判斷其是否正確．14、【解析】

分，兩種情況代入討論即可求解.【詳解】，當時，，符合；當時，，不滿足.故答案為：【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的計算，考查了分類討論的思想.15、【解析】

只要算出直三棱柱的棱長即可，在中，利用即可得到關(guān)于x的方程，解方程即可解決.【詳解】由已知，，解得，如圖所示，設底面等邊三角形中心為，直三棱柱的棱長為x，則，，故，即，解得，故三棱柱的側(cè)面積為.故答案為：.【點睛】本題考查特殊柱體的外接球問題，考查學生的空間想象能力，是一道中檔題.16、30【解析】

先將問題轉(zhuǎn)化為二項式的系數(shù)問題，利用二項展開式的通項公式求出展開式的第項，令的指數(shù)分別等于2，4，求出特定項的系數(shù)．【詳解】由題可得：展開式中的系數(shù)等于二項式展開式中的指數(shù)為2和4時的系數(shù)之和，由于二項式的通項公式為，令，得展開式的的系數(shù)為，令，得展開式的的系數(shù)為，所以展開式中的系數(shù)，故答案為30.【點睛】本題考查利用二項式展開式的通項公式解決二項展開式的特定項的問題，考查學生的轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2；（2）【解析】分析：（1）將轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，求函數(shù)的最小值（2）分離參數(shù)，利用基本不等式證明即可．詳解：（Ⅰ）證明：，顯然在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，即．（Ⅱ）因為恒成立，所以恒成立，當且僅當時，取得最小值，所以，即實數(shù)的最大值為．點睛：本題主要考查含兩個絕對值的函數(shù)的最值和不等式的應用，第二問恒成立問題分離參數(shù)，利用基本不等式求解很關(guān)鍵，屬于中檔題．18、（1）;（2）或．【解析】試題分析:直線與圓相切只需圓心到直線的距離等于圓的半徑，直線與曲線相交于兩點，且滿足，只需數(shù)量積為0，要聯(lián)立方程組設而不求，利用坐標關(guān)系及根與系數(shù)關(guān)系解題，這是解析幾何常用解題方法，第二步利用直線的斜率找出坐標滿足的要求，再利用兩直線與圓相切，求出點的坐標.試題解析：（1）解：設，，，由和圓相切，得．∴．由消去，并整理得，∴，．由，得，即．∴．∴，∴，∴．∴．∴或（舍）．當時，，故直線的方程為．（2）設，，，則．∴．設，由直線和圓相切，得，即．設，同理可得：．故是方程的兩根，故．由得，故．同理，則，即．∴，解或．當時，；當時，．故或．19、（1）或；（2）證明見解析，定點【解析】

（1）設，由題意可知，對的正負分情況討論，從而求得動點的軌跡的方程；（2）設其方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理得到，所以，所以直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點．【詳解】（1）設，動點到定點的距離比到軸的距離多，，時，解得，時，解得.動點的軌跡的方程為或（2）證明：如圖，設，，由題意得（否則）且，所以直線的斜率存在，設其方程為，將與聯(lián)立消去，得，由韋達定理知，，①顯然，，，，將①式代入上式整理化簡可得：，所以，此時，直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點.【點睛】本題主要考查了動點軌跡，考查了直線與拋物線的綜合，是中檔題．20、【解析】試題分析：先將問題“存在實數(shù)使成立”轉(zhuǎn)化為“求函數(shù)的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可獲解.試題解析：存在實數(shù)使成立，等價于的最大值大于，因為，由柯西不等式：，所以，當且僅當時取“”，故常數(shù)的取值范圍是．考點：柯西不等式即運用和轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想的運用.21、（1）；（2）；（3）見解析.【解析】

（1）由，能求出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）由，，求出數(shù)陣經(jīng)過變化后的矩陣，進而可求得的值；（3）分和兩種情況討論，推導出變換后數(shù)陣的第一行和第二行的數(shù)字之和，由此能證明的所有可能取值的和不超過．【詳解】（1），經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）經(jīng)變換后得，故；（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共個，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、；含有且不含的子集共個，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、；同時含有和的子集共個，經(jīng)過變換后第一行仍為、；不含也不含的子集共個，經(jīng)過變換后第一行仍為、．所以經(jīng)過變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為.若，則的所有非空子集中，含有的子集共個，經(jīng)過變換后第