4.2等差數(shù)列

我們知道，數(shù)列是一種特殊的函數(shù).在函數(shù)的研究中，我們在理解了函數(shù)的一般概念，了解了函數(shù)變化規(guī)律的研究內(nèi)容(如單調(diào)性、奇偶性等)后，通過研究基本初等函數(shù)，不僅加深了對函數(shù)的理解，而且掌握了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等非常有用的函數(shù)模型.類似地，在了解了數(shù)列的一般概念后，我們要研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列，建立它們的通項公式和前n項和公式，并運用它們解決實際問題和數(shù)學(xué)問題，從中感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實意義與應(yīng)用，下面，我們從一類取值規(guī)律比較簡單的數(shù)列人手.4.2.1等差數(shù)列的概念

第一課時

(等差數(shù)列的概念、通項公式)一、探究新知

請看下面幾個問題中的數(shù)列.

①北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為：

9，18，27，36，45，54，63，72，81.一、探究新知

②S,M,L,XL,XXL,XXXL型號的女裝上衣對應(yīng)的尺碼分別是:

38，40，42，44，46，48.

③測量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大氣溫度，得到從距離地面20m起每升高100m處的大氣溫度(單位:°C)依次為:

25，24，23，22,21.

④某人向銀行貸款a萬元，貸款時間為n年.如果個人貸款月利率為r，那么按照等額本金方式還款，他從某月開始，每月應(yīng)還本金b元，每月支付給銀行的利息(單位:元)依次為:

ar,ar-br,ar-2br，ar-3br,...如果按月還款，等額本金還款方式的計算公式是每月歸還本金=貸款總額＋貸款期總月數(shù)，利息部分=(貸款總額-已歸還本金累計額)×月利率.

在代數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們常常通過運算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律.例如，在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們通過運算發(fā)現(xiàn)了A、B兩地旅游人數(shù)的變化規(guī)律.

類似地，你能通過運算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律嗎?一、探究新知

對于①，我們發(fā)現(xiàn)

18=9+9，27=18+9，···，81=72+9.

換一種寫法，就是

18-9=9，27-18=9，···，81-72=9.

如果用{an}表示數(shù)列①，那么有

a2-a1=9，a3-a2=9，···，a9-a8=9.

改變表達方式使數(shù)列的取值規(guī)律更突出了.

這表明，數(shù)列①有這樣的取值規(guī)律:

從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù).數(shù)列②～④也有這樣的取值規(guī)律.二、等差數(shù)列的概念

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.

這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.

數(shù)列①、②、③、④的公差各為多少？(1)公差d是由后項減前項所得，不能用前項減后項來求；(2)對于數(shù)列{an}，若an－an－1＝d(d是與n無關(guān)的數(shù)或字母)，

n≥2，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差；(3)若d＝0，則該數(shù)列為常數(shù)列．注意三、等差中項由三個數(shù)a、A、b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時，A叫做a與b的等差中項.根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A=a+b.

在日常生活中，人們常常用到等差數(shù)列.例如，在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數(shù)列進行分級(如前面例子中的上衣尺碼).你能舉出一些例子嗎?四、等差數(shù)列的通項公式

你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項公式嗎?

an+1-an=d就是等差數(shù)列{an)的遞推公式.

設(shè)一個等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得

an+1-an=d,所以

a2-a1=d，a3-a2=d,a4-a3=d,···于是

a2=a1+d,

a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,

a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d，···歸納可得

an=a1+(n-1)d(n≥2).

當n=1時，上式為a1=a1+(1-1)d=a1.這就是說，上式當n=1時也成立.

首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項公式為

四、等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d

觀察等差數(shù)列的通項公式，你認為它與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)?

由于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，所以當d≠0時，等差數(shù)列{an}的第n項an是一次函數(shù)f(x)=dx+(a1-d)(x∈R).當x=n時的函數(shù)值，即an=f(n).

事實上，等差數(shù)列{an}的圖象是點(n,an)組成的集合，這些點均勻分布在直線f(x)=dx+(a1-d)上.

反之，任給函數(shù)f(x)=kx+b(k、b為常數(shù))，構(gòu)成一個等差數(shù)列{kn+b}，其首項為(k+b)，公差為k.五、典型例題例1(1)已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an=5-2n,求{an}的公差和

首項；

(2)求等差數(shù)列8，5，2，···的第20項；(3)在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首項a1與d.五、典型例題例2-401是不是等差數(shù)列-5，一9，-13，···的項?如果是，是

第幾項?五、典型例題例3(1)三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為18，它們的平方和為116，

求這三個數(shù).(2)已知四個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為28，中間兩項的積為

40，求這四個數(shù).六、課堂小結(jié)1.等差數(shù)列的概念3.等差中項

一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的

差都等于同一個常數(shù)，即an+1-an=d(n≥2),那么這個數(shù)列就叫做

等差數(shù)列.

這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.

由三個數(shù)a、A、b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時，A叫做a與b的等差中項.根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，