專題5.1任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)新課程考試要求1.了解角、角度制與弧度制的概念，掌握弧度與角度的換算.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學核心素養(yǎng)：邏輯推理（例1.5.6）、數(shù)學建模（例7.8）、直觀想象（例7.8）、數(shù)學運算（多例）、數(shù)據(jù)分析等.考向預測（1）三角函數(shù)的定義；（2）扇形的面積、弧長及圓心角；（3）在大題中考查三角函數(shù)的定義，主要考查：一是直接利用任意角三角函數(shù)的定義求其三角函數(shù)值；二是根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義確定終邊上一點的坐標．【知識清單】知識點1．象限角及終邊相同的角1．任意角、角的分類：①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角．②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．(2)終邊相同的角：終邊與角α相同的角可寫成α＋k·360°(k∈Z)．2.弧度制：①1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑．③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制．比值eq\f(l,r)與所取的r的大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．3.弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．若一個角的弧度數(shù)為α，角度數(shù)為n，則αrad＝(eq\f(180α,π))°，n°＝n·eq\f(π,180)rad．知識點2．三角函數(shù)的定義1.任意角的三角函數(shù)定義：設α是一個任意角，角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么（1）點P的縱坐標叫角α的正弦函數(shù)，記作sinα＝y(tǒng)；（2）點P的橫坐標叫角α的余弦函數(shù)，記作cosα＝x；（3）點P的縱坐標與橫坐標之比叫角α的正切函數(shù)，記作tanα＝eq\f(y,x).它們都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)．將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R；余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R；正切函數(shù)y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ（k∈Z）．三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦知識點3．扇形的弧長及面積公式(1)弧長公式在半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對的圓心角大小為α，則|α|＝eq\f(l,r)，變形可得l＝|α|r，此公式稱為弧長公式，其中α的單位是弧度．(2)扇形面積公式由圓心角為1rad的扇形面積為eq\f(πr2,2π)＝eq\f(1,2)r2，而弧長為l的扇形的圓心角大小為eq\f(l,r)rad，故其面積為S＝eq\f(l,r)×eq\f(r2,2)＝eq\f(1,2)lr，將l＝|α|r代入上式可得S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2，此公式稱為扇形面積公式．(3)弧長公式及扇形面積公式的兩種表示名稱角度制弧度制弧長公式l＝eq\f(nπr,180)l＝__|α|r__扇形面積公式S＝eq\f(nπr2,360)S＝eq\f(|α|,2)r2＝eq\f(1,2)lr注意事項r是扇形的半徑，n是圓心角的角度數(shù)r是扇形的半徑，α是圓心角的弧度數(shù)，l是弧長【考點分類剖析】考點一象限角及終邊相同的角【典例1】（2021·赤峰二中高三月考（理））若角SKIPIF1<0的終邊與240°角的終邊相同，則角SKIPIF1<0的終邊所在象限是（）A．第二或第四象限 B．第二或第三象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限【規(guī)律方法】象限角的兩種判斷方法(1)圖象法：在平面直角坐標系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角．(2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．【變式探究】（2021·上海高一課時練習）設與SKIPIF1<0終邊相同的角的集合為M，則①SKIPIF1<0；②M中最小正角是SKIPIF1<0；③M中最大負角是SKIPIF1<0，其中正確的有____________.（選填序號）【總結(jié)提升】象限角與軸線角(終邊在坐標軸上的角)的集合表示(1)象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}(2)軸線角：角的終邊的位置集合表示終邊落在x軸的非負半軸上{α|α＝k·360°，k∈Z}終邊落在x軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}終邊落在y軸的非負半軸上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}終邊落在y軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}終邊落在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}終邊落在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}終邊落在坐標軸上{α|α＝k·90°，k∈Z}考點二三角函數(shù)的定義【典例2】（2021·西安市經(jīng)開第一中學高三其他模擬（理））若點SKIPIF1<0在角SKIPIF1<0的終邊上，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2021·重慶市長壽中學校高三其他模擬）角SKIPIF1<0終邊上有一點SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例4】（江西高考真題）已知角的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，若是角終邊上一點，且，則y=_______.【規(guī)律方法】1.已知角α終邊上一點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義求解．2.已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題．若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角α的三角函數(shù)值．【變式探究】1.（2021·黑龍江高三其他模擬（理））已知點SKIPIF1<0是角SKIPIF1<0的終邊與單位圓的交點，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.已知角α的終邊過點P?3,?8m,且sinα=?45A.?12B.12C.3．已知角α的終邊在射線y=?3xx≥0上，則sinA.?310B.1010C.【總結(jié)提升】(1)已知角α的終邊在直線上的問題時，常用的解題方法有以下兩種：①先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應三角函數(shù)值．②注意到角的終邊為射線，所以應分兩種情況處理，取射線上任意一點坐標(a，b)，則對應角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq\f(a,b)．(2)當角α的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進行分類討論．考點三：三角函數(shù)值的符號判定【典例5】（2021·全國高一專題練習）若SKIPIF1<0，則角SKIPIF1<0是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【典例6】（2021·吉林吉林市·高三其他模擬（理））已知SKIPIF1<0是第二象限角，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【總結(jié)提升】判定三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角，再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號確定值的符號．如果角不能確定所在象限，那就要進行分類討論求解．【變式探究】1.已知角α的終邊經(jīng)過點(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]2.已知sinθ>0且cosθ<0，則角A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限考點四：扇形的弧長及面積公式

【典例7】（2021·江蘇南通市·高三其他模擬）《擲鐵餅者》取材于希臘現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在挪鐵餅的過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為SKIPIF1<0，擲鐵餅者雙手之間的距離約為SKIPIF1<0，“弓”所在圓的半徑約為SKIPIF1<0，則挪鐵餅者的肩寬約為___________SKIPIF1<0.(精確到SKIPIF1<0)【典例8】（2021·廣東佛山市·高三其他模擬）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積＝SKIPIF1<0（弦SKIPIF1<0矢＋SKIPIF1<0），弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為SKIPIF1<0，半徑等于4米的弧田，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積約為___________平方米（精確到1平方米，參考數(shù)據(jù)SKIPIF1<0【典例9】（2021·浙江高一期末）已知一扇形的周長為SKIPIF1<0，當這個扇形的面積最大時，半徑SKIPIF1<0的值為_________________．【總結(jié)提升】1.(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝eq\f(1,2)lr，此時α為弧度．扇形面積公式12lr=12αr2，扇形中弦長公式2rsinα2，扇形弧長公式l=αr.在角度制下，弧長l＝eq\f(nπr,180)，扇形面積S＝eq\f(nπr2,360)，此時n(2)在解決弧長、面積及弓形面積時要注意合理應用圓心角所在的三角形．2.當扇形周長一定時，其面積有最大值，最大值的求法是把面積S轉(zhuǎn)化為r的函數(shù)，函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化為方程的思想是解決數(shù)學問題的常用思想．【變式探究】1.（2021·全國高三其他模擬（理））中國傳統(tǒng)扇文化有著深厚的底蘊，一般情況下，折扇可以看做是從一個圓形中前下的扇形制作而成的，當折扇所在扇形的弧長與折扇所在扇形的周長的比值為SKIPIF1<0時，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時折扇所在扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·安徽合肥市·高三三模（理））在平面直角坐標系中，已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當t由SKIPIF1<0變化到SKIPIF1<0時，線段SKIPIF1<0