期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（每題4分，共40分）1．在下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．﹣1.5 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣52．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的名稱是（）A．正方體 B．圓柱 C．圓錐 D．球3．2020年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至2020年12月30日，累計確診人數(shù)超過78400000人，抗擊疫情成為全人類共同的戰(zhàn)役，寒假要繼續(xù)做好疫情防控．將“78400000”用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A．7.84×105 B．7.84×106 C．7.84×107 D．78.4×1064．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝，則AC的長為（）A．4 B．6 C．8 D．105．下列計算正確的是（）A．2a2+a3＝3a5 B．（﹣b2）5＝﹣b10 C．（2ab）2÷（ab）＝2ab D．（﹣1﹣ab）2＝1﹣2ab+a2b26．某交警在一個路口統(tǒng)計的某時段來往車輛的車速情況如表：車速（km/h）5055606570車輛數(shù)（輛）54821則上述車速的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A．60，8 B．60，60 C．55，60 D．55，87．方程＝的解為（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝48．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D，連接OD，CD，若CD＝OD，則∠B的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．70°9．拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）過點（1，0）和點（0，﹣3），且頂點在第三象限，設(shè)m＝a﹣b+c，則m的取值范圍是（）A．﹣6＜m＜0 B．﹣6＜m＜﹣3 C．﹣3＜m＜0 D．﹣3＜m＜﹣110．如圖，正方形ABCD內(nèi)一點E，滿足△CDE為正三角形，直線AE交BC于F點，過E點的直線GH⊥AF，交AB于點G，交CD于點H．以下結(jié)論：①∠AFC＝105°；②GH＝2EF；③；④其中正確的有（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④二．填空題（每題4分，共20分）11．若|a﹣2|+（b+3）2＝0，則a+b＝．12．若A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函數(shù)y＝（k＞0）圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（用“＜”號連接）．13．如圖，在△ABC中，AB＝5，D，E分別是邊AC和AB上的點，且∠AED＝∠C，若AD?BC＝，則DE的長為．14．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，sinA＝，BD⊥AC，垂足為D，按如下步驟作圖：①以A點為圓心，以大于AB的長度m為半徑作弧；②以B點為圓心，以同樣大小為半徑作弧，兩弧交點分別為E，F(xiàn)；③連接EF，直線EF與AC交于點G，則AB與DG的比是．15．如圖．在矩形ABCD中，AD＝2AB＝6，點E是AD的中點．連接BE．點M是BE上一動點，取CM的中點為N．連接AN，則AN的最小值是．三．解答題（共7小題，共60分）16．（1）計算：﹣（4﹣π）0+（cos60°）﹣2﹣|﹣3|；（2）解不等式組：，并寫出它的所有整數(shù)解．17．計算：（1﹣）÷．18．在學(xué)完銳角三角函數(shù)后，某班利用自制的測角儀和卷尺，測量校國旗桿的高度，他們制定了如下兩種測量方案．方案一：第一步：在國旗桿前平地上選擇一點A作為測量點，用自制的測角儀測出觀察者看國旗桿頂端D的仰角α；第二步：在點A和國旗桿底端點C之間選擇一點B，測出由點B看國旗頂端D的仰角β；第三步：測出AB兩點間的距離；第四步：計算國旗桿的高度CD．方案二：第一步：在國旗桿前平地上選擇一點A，用自制的測角儀測出觀察者（豎直站立）看國旗桿頂端D的仰角α；第二步：測量觀察者眼睛到地面的豎直高度AE；第三步：測量點A到國旗桿底端C的水平距離AC；第四步：在點A處重復(fù)上述操作，得到仰角及距離；第五步：計算國旗桿的高度CD．根據(jù)以上方案，測量信息匯總?cè)缦拢赫n題測量校園旗桿的高度方案方案一方案二測量示意圖測量數(shù)據(jù)測量項目αβAB的長測量項目αAE的長AC的長數(shù)據(jù)33°45°5.99m數(shù)據(jù)第一次32.7°151cm17.47m第二次33.3°153cm17.45m平均值a152cmb（1）①填空：a＝，b＝；②請判斷哪個方案更好，并說明理由．（2）根據(jù)你的判斷，選擇合適的數(shù)據(jù)計算出國旗桿的高度．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.545，cos33°≈0.839，tan33°≈0.649）19．陽光中學(xué)為了解學(xué)生零花錢的使用情況，校團(tuán)委隨機(jī)調(diào)查了本校部分學(xué)生每人一周的零花錢數(shù)額，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；（2）求被調(diào)查的學(xué)生每人一周零花錢數(shù)額的中位數(shù)及眾數(shù)；（3）為捐助貧困山區(qū)兒童學(xué)習(xí)，全校800名學(xué)生每人自發(fā)地捐出一周的零花錢，請估計全校學(xué)生共捐款錢數(shù)．20．由于疫情的影響，“地攤經(jīng)濟(jì)“成為了很多人經(jīng)濟(jì)來原的一種形式．李叔叔從市場得知如下信息：A商品B商品進(jìn)價（元/件）355售價（元/件）458李叔叔計劃購進(jìn)A．B商品共100件進(jìn)行銷售，設(shè)購進(jìn)A商品x件，A．B商品全部銷售完后獲得利潤為y元．（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若李叔叔用不超過2000元資金一次性購進(jìn)A．B兩種商品，則如何進(jìn)貨，才能使得獲利最大？并求出最大利潤．21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于兩個點A，B和圖形ω，如果在圖形ω上存在點P、Q（P、Q可以重合），使得AP＝2BQ，那么稱點A與點B是圖形ω的一對“倍點”．已知⊙O的半徑為1，點B（3，0）．（1）①點B到⊙O的最大值是，最小值是；②在點A（5，0），D（0，10）這兩個點中，與點B是⊙O的一對“倍點”的是；（2）在直線y＝x+b上存在點A與點B是⊙O的一對“倍點”，求b的取值范圍；（3）已知直線y＝x+b，與x軸、y軸分別交于點M、N，若線段MN（含端點M、N）上所有的點與點B都是⊙O的一對“倍點”，請直接寫出b的取值范圍．22．如圖，已知拋物線y＝x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標(biāo)為A（﹣2，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）求線段BC所在直線的解析式；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△ACP為等腰三角形？若存在，求出符合條件的P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

參考答案1．D．2．C．3．C．4．C．5．B．6．B．7．A．8．C．9．A．10．A．11．﹣1．12．y1＜y3＜y2．13．．14．2．15．3．16．解：（1）﹣（4﹣π）0+（cos60°）﹣2﹣|﹣3|＝2﹣1+4+﹣3＝3；（2），解不等式①得x≥﹣1，解不等式②得x＜3，故原不等式組的解集為﹣1≤x＜3，故它的所有整數(shù)解為﹣1，0，1，2．17．解：原式＝?＝．18．解：（1）①根據(jù)方案二的兩次測量結(jié)果的平均數(shù)為a＝＝33°，根據(jù)法案二的兩次測量結(jié)果取平均值即可b＝＝17.46（m），故答案為：33°，17.46m；②方案二更好，理由：方案一測量點A在水平地面上，不易觀察，容易產(chǎn)生誤差，方案二考慮測量點的位置，并多次測量求其平均值，減少誤差，因此方案二更好；（2）方案二的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算：過點E作EF⊥CD，垂足為F，則AE＝CF＝1.52，AC＝EF＝17.46，∠DEF＝33°，在Rt△DEF中，DF＝EF?tan33°≈17.46×0.649≈11.33（m），∴CD＝DF+FC＝11.33+1.52≈12.9（m），答：旗桿CD的高度約為12.9m．19．解：（1）校團(tuán)委隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生有：10÷25%＝40（人），零花錢有20元的學(xué)生有：40×15%＝6（人），補(bǔ)全統(tǒng)計圖如下：故答案為：40；（2）把這些數(shù)從小到大排列，中位數(shù)是第20、21個數(shù)的平均數(shù)，則中位數(shù)是＝30（元）；30元出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是30元；答：被調(diào)查的學(xué)生每人一周零花錢數(shù)額的中位數(shù)是30元，眾數(shù)是30元；（3）根據(jù)題意得：800×＝26400（元），答：估計全校學(xué)生共捐款26400元．20．解：（1）由題意可得：y＝（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）＝7x+300，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝7x+300；（2）由題意可得：35x+5（100﹣x）≤2000，解得：x≤50，又∵x≥0，∴0≤x≤50，∵y＝7x+300，7＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝50時，可獲得最大利潤，最大利潤為：y＝7×50+300＝650（元），100﹣x＝100﹣50＝50（件）．答：當(dāng)購進(jìn)A種商品50件，B種商品50件時，可使得A、B商品全部銷售完后獲得的利潤最大，最大利潤650元．21．解：（1）①點B到⊙O的最大值是BO+r＝3+1＝4；點B到⊙O的最小值是BO﹣r＝3﹣1＝2；②∵A到圓O的最大值6，最小值4；D到圓O的最大值11，最小值9；又∵點B到⊙O的最大值是4，最小值是2；在圓O上存在點P，Q，使得AP＝2BQ，∴A與B是⊙O的一對“倍點”，故答案為2，4，A；（2）如圖，設(shè)直線y＝x+b與x軸交于點E，與y軸交于點C，過點O作OD⊥CE于D，∵點B到⊙O的最大值是4，最小值是2∴4≤2BQ≤8，∴O到直線y＝x+b的最大距離是9，即OD＝9，∵直線y＝x+b與x軸交于點E，與y軸交于點C，∴點C（0，b），點E（﹣b，0），∴CO＝|b|，OE＝|﹣b|，∴CE＝＝|b|，∴sin∠CEO＝，∴|b|＝15，∴﹣15≤b≤15；（3）如圖，∵線段MN（含端點M、N）上所有的點與點B都是⊙O的一對“倍點”，∴2×2+1≤ON≤2×4+1，∴5≤|b|≤9，∴5≤b≤9或﹣9≤b≤﹣5．22．解：（1）將點A（﹣2，0）代入y＝x2+bx+4中，得，解得：b＝，∴拋物線的解析式為y＝x2+x+4；（2）當(dāng)x＝0時，y＝4，∴點C的坐標(biāo)為（0，4），當(dāng)y＝0時，x2+x+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴點B的坐標(biāo)為（6，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+n，將點B（6，0），點C（0，4）代入解析式y(tǒng)＝kx+n，得：，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4；（3）∵拋物線y＝x2+x+4與x軸相交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點，∴拋物線的對稱軸為x＝，假設(shè)存在點P，設(shè)P（2，t），則AC＝＝，AP＝＝，CP＝＝，∵△ACP為等腰三角形，故可分三種情況：①當(dāng)AC＝AP時，，解得：t＝±2，∴點P的坐標(biāo)為（2，2）