2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題一、填空題（每小題3分，共36分）1．公理2：不在同一直線上的點(diǎn)確定一個平面.2．直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面上的直線都垂直，那么此直線與該平面垂直.3．三垂線定理：平面上的一條直線和這個平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在垂直.4．已知球的半徑為3，則該球的體積為.5．一個圓柱的底面半徑為，高為，則它的側(cè)面積為.6．已知斜線段的長度是斜線段在這個平面內(nèi)射影的長的兩倍，則這條斜線和這個平面所成的角的大小為.7．一個正四棱柱底面邊長為1，高為2，則它的表面積是.8．如圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列說法中，正確的序號是.（1）直線與直線相交；（2）直線與直線平行；（3）直線與直線是異面直線；（4）直線與直線成角.9．若空間三條直線，，則，的位置關(guān)系是.10．在正方體中，平面與平面所成的銳二面角的大小是.11．如圖，正方體的所有棱中，其所在的直線與直線成異面直線的共有條.12．在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．已知在鱉臑中，平面，則該鱉臑的外接球的表面積為．二、選擇題（每小題3分，共12分）13．“兩條直線沒有公共點(diǎn)”是“兩條直線平行”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件14．設(shè)m，n是兩條不同的直線，是平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則15．如圖，、、、是某長方體四條棱的中點(diǎn)，則直線和直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．異面 D．垂直16．已知棱長為1的正四面體的四個頂點(diǎn)都在一個球面上，則這個球的體積為（

）A． B． C． D．三、解答題17．正四棱柱，的底面邊長，若異面直線與所成角的大小為，求正四棱柱的側(cè)面積和體積.18．如圖，正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為3.（1）求正三棱錐的表面積；（2）求正三棱錐的體積.19．如圖所示，已知四棱錐中，底面是直角梯形，，，，平面，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求四棱錐的表面積.20．如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，高為，底面半徑為2．(1)求該圓錐的側(cè)面積；(2)設(shè)為該圓錐的底面半徑，且，為的中點(diǎn)，求二面角的大?。ㄓ梅慈潜硎荆?1．如圖，平面，四邊形是矩形，，，分別是，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．1．三##3【分析】根據(jù)公理2判斷可得；【詳解】解：公理2：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個平面故三2．兩條相交【分析】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理得解；【詳解】解：直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面上的兩條相交直線都垂直，那么此直線與該平面垂直.故兩條相交3．平面上的射影【分析】由三垂直線定理及其逆定理可得答案.【詳解】解：由三垂線定理得：平面上的一條直線與平面的一條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直，則它也與這條斜線垂直；由三垂線定理的逆定理得：平面上的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，則它與這條斜線在平面上的射影垂直；所以平面上的一條直線和這個平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在平面上的射影垂直，故平面上的射影.4．【分析】根據(jù)球的體積公式計算可得；【詳解】解：因?yàn)榍虻陌霃剑郧虻捏w積；故5．【分析】由圓柱的側(cè)面積公式計算可得答案.【詳解】解：圓柱的底面半徑為，高為，則它的側(cè)面積為，故答案為.6．##【分析】根據(jù)線面角的定義計算可得；【詳解】解：因?yàn)樾本€段的長度是斜線段在這個平面內(nèi)射影的長的兩倍，記這條斜線和這個平面所成的角為，則，因?yàn)?，所以?．10【分析】利用正四棱柱的性質(zhì)進(jìn)行計算即可【詳解】因?yàn)檎睦庵酌孢呴L為1，高為2，所以它的表面積為，故108．（3）（4）##(4)(3)【分析】還原正方體，結(jié)合圖形即可判斷（1）（2）（3），再連接，，則為異面直線與直線所成的角，根據(jù)三角形的性質(zhì)即可求出異面直線所成角；【詳解】解：由正方體的平面展開圖可得正方體，可得與為異面直線，故（1）錯誤；與為異面直線，故（2）錯誤；直線與直線是異面直線，故（3）正確；連接，，由正方體的性質(zhì)可得，所以為異面直線與直線所成的角，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，即直線與直線所成角為，故（4）正確；故（3）（4）．9．平行，相交或異面【分析】根據(jù)空間直線的位置關(guān)系判斷可得；【詳解】解：因?yàn)榭臻g三條直線，，所以與的位置關(guān)系是平行，相交或異面；故平行，相交或異面10．##【分析】利用正方體的幾何性質(zhì)以及二面角的定義找到對應(yīng)的平面角，在三角形中求解即可．【詳解】正方體中，平面，又平面，所以，又，所以是平面與平面所成的銳二面角的平面角，在直角中，，所以平面與平面所成的銳二面角的大小是．故．11．6根據(jù)幾何體依次寫出與直線成異面的直線即可得解.【詳解】正方體的所有棱中，其所在的直線與直線成異面直線如下：，一共6條.故6此題考查異面直線的辨析，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何體特征準(zhǔn)確找出與直線成異面的直線.12．．【分析】證明，可得是外接球的直徑，求得長度后可球表面積．【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，同理，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以的中點(diǎn)到四點(diǎn)距離相等，為四面體外接球球心，又由已知得，，所以外接球表面積為．故．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求三棱錐外接球表面積，解題關(guān)鍵是打到外接球球心，求出球半徑．三棱錐的外接球球心在過各面外心與該面垂直的直線上．13．B【分析】找出“兩條直線沒有公共點(diǎn)”的等價條件，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】“兩條直線沒有公共點(diǎn)”“兩條直線平行或異面”，所以，“兩條直線沒有公共點(diǎn)”是“兩條直線平行”的必要非充分條件.故選：B.14．D【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，若，則m與n相交，平行或異面，故A錯誤；對于B中，若，則m與n平行或異面，故B錯誤；對于C中，若，則m有可能在平面內(nèi)，故C錯誤；對于D中，若，由直線與平面平行的判定定理，可得，所以D是正確的．故選：D15．A【分析】如圖，延長GM到N,使,連接AN,DN.由和分別平行于正方體的兩條相交的對角線，從而得與相交．【詳解】如圖，延長GM到N,使,連接AN,DN.，AN∥FM,∴A,B,N三點(diǎn)共線，同理D,C,N三點(diǎn)共線，與相交，故選：．本題考查兩直線的位置關(guān)系的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．16．A【分析】將正四面體放入正方體中，可得正方體的棱長為，求出正方體外接球的體積即為正四面體外接球的體積.【詳解】如圖將棱長為1的正四面體放入正方體中，且正方體的棱長為，所以正方體的體對角線，所以正方體外接球的直徑，所以正方體外接球的體積為，因?yàn)檎拿骟w的外接球即為正方體的外接球，所以正四面體的外接球的體積為，故選：A.17．.【分析】首先根據(jù)異面直線所成的角，求，再求正四棱柱的側(cè)面積和體積.【詳解】，面直線與所成角是，，，，正四棱柱的側(cè)面積，體積.18．（1）；（2）.（1）取的中點(diǎn)D，連接，利用勾股定理求得，可得三角形的面積，進(jìn)一步可得正三棱錐的側(cè)面積，再求出底面積，則正三棱錐的表面積可求；（2）連接，設(shè)O為正三角形的中心，則底面.求解，再由棱錐體積公式求解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)D，連接，在中，可得.∴.∵正三棱錐的三個側(cè)面是全等的等腰三角形，∴正三棱錐的側(cè)面積是.∵正三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，∴.則正三棱錐的表面積為；（2）連接，設(shè)O為正三角形的中心，則底面.且.在中，.∴正三棱錐的體積為.本小題主要考查錐體的表面積和體積的求法，屬于中檔題.19．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）在梯形中，易求得，又由平面，得，利用線面垂直的判定定理，即可得到平面，即可得到．（Ⅱ）由（Ⅰ）求得，進(jìn)而根據(jù)平面，得到，都為直角三角形，分別求得的面積，即可求解．【詳解】（Ⅰ）在梯形中，易求，.平面，，又平面，又平面，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.又平面，都為直角三角形.，所以.四棱錐的表面積為.本題主要考查了空間中位置關(guān)系的判定與證明，及幾何體的表面積的計算，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理，以及準(zhǔn)確計算幾何體中每個面的面積是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由勾股定理求出圓錐的母線，結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式計算即可求解；（2）如圖，由題意可得、，則為二面角所成角.在中，解三角形即可求解.【詳解】（1）由題意知，平面，平面，所以，所以圓錐的母線，所以圓錐的側(cè)面積；（2）如圖，連接，為的中點(diǎn)，，則，又為等腰三角形，，所以，所以為二面角所成角.在等腰直角中，，所以，在中，，得，所以.