第8

講振型分解反應譜法振型分解(以雙自由度體系為例)：m1m2u1u2結構固有頻率：、結構固有振型：結構地震反應：2023/12/4第8講振型分解反應譜法2m1m2u1u2X11X12=q1(t)×X21X22+q2(t)×結構地震反應基本振型二階振型廣義坐標廣義坐標一階振型反應二階振型反應2023/12/4第8講振型分解反應譜法3多自由度體系地震反應：結構運動方程：結構地震反應：{I}：指示向量，對剪切型結構2023/12/4第8講振型分解反應譜法4其中：2023/12/4第8講振型分解反應譜法52023/12/4第8講振型分解反應譜法6地震反應分析的振型分解反應譜法

采用前述的振型分解法可求得體系各質點的位移和絕對加速度時程曲線，但對于工程實踐而言，振型分解法還是嫌稍復雜了一些，且運用不便。注意到工程抗震設計時僅關心各質點反應的最大值，給合單自由度體系的反應譜理論，在振型分解法的基礎上，可導出更實用的振型分解反應譜法。2023/12/4第8講振型分解反應譜法73.5.1水平地震作用多自由度彈性體系的水平地震作用可用各質點所受慣性力來代表，故質點上的水平地震作用為：3-622023/12/4第8講振型分解反應譜法8因此，《建筑抗震設計規(guī)范》按下式計算結構的水平地震作用標準值：根據(jù)式（3-64）并結合抗震設計規(guī)范給出的設計反應譜曲線，可方便地求得對應于某一振型各質點的最大水平地震作用，再按照一般的結構力學原理，把地震作用視為靜力荷載，可求得對應于各振型的地震作用效應（彎矩、剪力、軸力、位移等）3-642023/12/4第8講振型分解反應譜法9對于單自由度體系---體系j振型i質點水平地震作用標準值計算公式2023/12/4第8講振型分解反應譜法103.5.2振型組合根據(jù)式（3-62），結構在任一時刻所受的地震作用等于結構對應于各振型的地震作用之和。應該注意到，當某一振型的地震作用達到最大值時，其余各振型的地震作用不一定也達到最大值時，因而結構地震作用的最大值并不等于各振型地震作用之和。因此，如果要利用對應于各振型的最大地震作用效應來求結構總的地震作用效應，將存在各振型最大反應如何組合的問題。如假定地震地面運動為平穩(wěn)隨機過程，則根據(jù)隨機振動理論可知，工程結構總的地震作用效應s與各振型的地震作用效應

sj的關系可用式（3-65）近似描述--------振型組合公式，稱為完全二次項組合法，簡稱CQC法：（3-65）式中,s-----水平地震作用效應；

m-----參與振型組合的振型數(shù)，一般可取2～3個振型,當基本自振周期T1>1.5s

或房屋高寬比大于5時，振型個數(shù)可適當增加；----振型互相關系數(shù)

2023/12/4第8講振型分解反應譜法11如當滿足下述關系式：則可以認為近似為零，此時振型組合公式（3-65a）變?yōu)椋?-65b）稱式（3-65b）的組合公式為“平方和開平方”法，簡稱SRSS法。因此，《建筑抗震設計規(guī)范》規(guī)定，結構的水平地震作用效應（彎矩、剪力、軸向力和變形）按下式計算：（3-72）式中,SEk----水平地震作用標準值的效應；

Sj---j振型水平地震作用標準值的效應，一般可取2～3個振型,當基本自振周期T1>1.5s或房屋高寬比大于5時，振型個數(shù)可適當增加；2023/12/4第8講振型分解反應譜法12---相應于j振型自振周期的地震影響系數(shù)；---j振型i質點的水平相對位移；---j振型的振型參與系數(shù)；---i質點的重力荷載代表值。m1m2mi1振型地震作用標準值2振型j振型n振型

地震作用效應（彎矩、位移等）--j振型地震作用產(chǎn)生的地震效應；m--選取振型數(shù)---體系j振型i質點水平地震作用標準值計算公式

一般只取2-3個振型，當基本自振周期大于1.5s或房屋高寬比大于5時，振型個數(shù)可適當增加。2023/12/4第8講振型分解反應譜法13例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力?？拐鹪O防烈度為8度，Ⅱ類場地，設計地震分組為第二組。解：（1）求體系的自振周期和振型（2）計算各振型的地震影響系數(shù)1.400.90(1.20)0.50(0.72)-----罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震9876地震影響烈度地震影響系數(shù)最大值（阻尼比為0.05）查表得地震特征周期分組的特征周期值（s）0.900.650.450.35第三組0.750.550.400.30第二組0.650.450.350.25第一組ⅣⅢⅡⅠ場地類別2023/12/4第8講振型分解反應譜法14例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力?？拐鹪O防烈度為8度，Ⅱ類場地，設計地震分組為第二組。解：（1）求體系的自振周期和振型（2）計算各振型的地震影響系數(shù)查表得第一振型第二振型第三振型2023/12/4第8講振型分解反應譜法15例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。抗震設防烈度為8度，Ⅱ類場地，設計地震分組為第二組。解：（1）求體系的自振周期和振型（2）計算各振型的地震影響系數(shù)（3）計算各振型的振型參與系數(shù)第一振型第二振型第三振型2023/12/4第8講振型分解反應譜法16例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力?？拐鹪O防烈度為8度，Ⅱ類場地，設計地震分組為第二組。解：（1）求體系的自振周期和振型（2）計算各振型的地震影響系數(shù)（3）計算各振型的振型參與系數(shù)（4）計算各振型各樓層的水平地震作用第一振型第一振型2023/12/4第8講振型分解反應譜法17例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力?？拐鹪O防烈度為8度，Ⅱ類場地，設計地震分組為第二組。解：（1）求體系的自振周期和振型（2）計算各振型的地震影響系數(shù)（3）計算各振型的振型參與系數(shù)（4）計算各振型各樓層的水平地震作用第一振型第二振型第二振型2023/12/4第8講振型分解反應譜法18例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力?？拐鹪O防烈度為8度，Ⅱ類場地，設計地震分組為第二組。解：（1）求體系的自振周期和振型（2）計算各振型的地震影響系數(shù)（3）計算各振型的振型參與系數(shù)（4）計算各振型各樓層的水平地震作用第一振型第二振型第三振型第三振型2023/12/4第8講振型分解反應譜法19例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力?？拐鹪O防烈度為8度，Ⅱ類場地，設計地震分組為第二組。解：（1）求體系的自振周期和振型（2）計算各振型的地震影響系數(shù)（3）計算各振型的振型參與系數(shù)（4）計算各振型各樓層的水平地震作用第一振型第二振型第三振型（5）計算各振型的地震作用效應（層間剪力）第一振型1振型2023/12/4第8講振型分解反應譜法20例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力?？拐鹪O防烈度為8度，Ⅱ類場地，設計地震分組為第二組。解：（1）求體系的自振周期和振型（2）計算各振型的地震影響系數(shù)（3）計算各振型的振型參與系數(shù)（4）計算各振型各樓層的水平地震作用第一振型第二振型第三振型（5）計算各振型的地震作用效應（層間剪力）1振型第二振型2振型2023/12/4第8講振型分解反應譜法21例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力?？拐鹪O防烈度為8度，Ⅱ類場地，設計地震分組為第二組。解：（1）求體系的自振周期和振型（2）計算各振型的地震影響系數(shù)（3）計算各振型的振型參與系數(shù)（4）計算各振型各樓層的水平地震作用第一振型第二振型第三振型（5）計算各振型的地震作用效應（層間剪力）1振型2振型第三振型3振型2023/12/4第8講振型分解反應譜法22例：試用振型分解反應譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力?？拐鹪O防烈度為8度，Ⅱ類場地，設計地震分組為第二組。解：（1）求體系的自振周期和振型（2）計算各振型的地震影響系數(shù)（3）計算各振型的振型參與系數(shù)（4）計算各振型各樓層地震作用第一振型第二振型第三振型（5）計算各振型的地震作用效應1振型2振型3振型（6）計算地震作用效應（層間剪力）組合后各層地震剪力2023/12/4第8講振型分解反應譜法23第8講結束！

學習是一件快樂的事情，且聽下回分解！考慮兩個自由度的體系。將質點和在水平向地震作用下任一時刻的位移和用其兩個振型的線性組合表示，即：(3-55a)（3-55b）2023/12/4第8講振型分解反應譜法25其中，第一振型向量，第二振型向量。上式實際上是一個坐標變換式，原來的變量和為幾何坐標，而新的坐標和可稱為廣義坐標。由于體系的振型是唯一確定的，因此，當和確定后，質點的位移和也將隨之確定。2023/12/4第8講振型分解反應譜法26

式（3-55）也可以這樣理解：體系的位移可看作是由各振型向量乘以相應的組合系數(shù)和后疊加而成的。換句話講，這種方法是將實際位移按振型加以分解，故稱為振型分解法。另外，由于和是隨時間變化的，因此，同一振型在不同時刻對總位移“貢獻”的大小是不一樣的。一般的多自由度線彈性體系，式（3-55）可寫成如下形式3-56---位移向量-----廣義坐標向量----振型矩陣為體系的第j個振型向量。

2023/12/4第8講振型分解反應譜法27

利用振型關于質量矩陣的正交性及式（3-56），可以導出廣義坐標與一般位移反應的關系。將式（3-56）兩端分別前乘（3-57）在水平地震運動作用下，多自由度彈性體系的運動方程為：（3-40）將式（3-56）代入式（3-40），并前乘振型向量的轉置利用振型向量對質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣的正交性，可得