第第頁專題08解題技巧專題：利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線壓軸題三種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】 1【類型二等腰三角形中底邊無中點時，作高線】 11【類型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】 17【典型例題】【類型一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】例題：已知，在中，，，點是的中點，作，使得射線與射線分別交射線，于點，．(1)如圖1，當(dāng)點在線段上時，線段與線段的數(shù)量關(guān)系是___________；(2)如圖2，當(dāng)點在線段的延長線上時，用等式表示線段，和之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【答案】(1)；(2)，理由見解析．【分析】（1）連接，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，根據(jù)可推導(dǎo)，進而證明，即可得到線段與線段的數(shù)量關(guān)系；（2）連接，利用（1）中的證明思路，再次證明，證得，即可利用等量代換得到．【詳解】（1）解：連接，∵，，點是的中點∴，且，平分，∴，，又∵∴∴∴（ASA）∴．（2），理由如下：連接，由（1）可知：，，∴在和中，∴（ASA）∴∵∴．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．在中，，，點D是邊的中點．(1)如圖，若點E，F(xiàn)分別在邊，上，，求證：，并說明理由；(2)在（1）的條件下，，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2)a．【分析】（1）連接，證明即可得到；（2）由（1）可得：，進一步得到：．【詳解】（1）證明：連接，∵，，∴，∵點D是邊的中點，∴，，，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴．（2）解：由（1）可知：，∴，∵，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定及性質(zhì)．2．如圖1，在中，，，點P是斜邊的中點，點D，E分別在邊上，連接，若．(1)求證：；(2)若點D，E分別在邊的延長線上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？并加以證明；(3)在（1）或（2）的條件下，是否能成為等腰三角形？若能，請直接寫出的度數(shù)（不用說理）；若不能，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)成立，見解析(3)能成為等腰三角形，此時的度數(shù)為或或或【分析】（1）連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再由，可得，可證得，即可求證；（2）連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再由∵，可得，可證得，即可；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分四種情況討論，即可求解．【詳解】（1）明∶連接，∵，∴，∵P為斜邊的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：仍成立，理由如下：連接，∵，∴，∵P為斜邊的中點，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（3）解：能成為等腰三角形，①當(dāng)，點E在的延長線上時，則，又∵，∴；②當(dāng)，點E在上時，則；③當(dāng)時，則，∴；④當(dāng)，點E和C重合，∴；綜上所述，能成為等腰三角形，的度數(shù)為或或或．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．3．在中，，點是所在直線上一個動點，過點作、，垂足分別為、(1)如圖1，若點是的中點時，求證：(2)如圖2，為腰上的高，當(dāng)點在邊上時，試探究、、之間的關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，當(dāng)點運動到的延長線上時，若，，求的長度．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)，即可得證；（2）根據(jù)，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)得出，進而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵，點是的中點，、∴即，∴，（2）解：，理由如下，如圖所示，連接，∵，、，為腰上的高，∴∴∴，（3）解：如圖所示，過點作于點，∵，、，，∴∴∴若，則．【點睛】本題考查了三角形高的計算，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等面積法是解題的關(guān)鍵．4．在中，，，點O為的中點．(1)若，兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點．①如圖1，當(dāng)點E，F(xiàn)分別在邊和上時，求證：；②如圖2，當(dāng)點E，F(xiàn)分別在和的延長線上時，連接，若，則．(2)如圖3，若，兩邊分別交邊于E，交的延長線于F，連接，若，試求的長．【答案】(1)①見解析；②18(2)2【分析】（1）①由“”可證，可得；②由“”可證，可得，即可求解；（2）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，即可求解．【詳解】（1）①證明：如圖1，連接，∵，，∴.∵點O為的中點，∴，∴和是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；②解：如圖2，連接，同理可證：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：18；（2）解：如圖3，連接，過點O作，交的延長線于點H，∵，，點O為的中點，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【類型二等腰三角形中底邊無中點時，作高線】例題：如圖，已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．(1)求證：BD＝CE；(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)90°．【分析】（1）作AF⊥BC于點F，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BF=CF，DF=EF，相減后即可得到正確的結(jié)論．（2）根據(jù)等邊三角形的判定得到△ADE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過點A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）解：∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，與△BCA均為等腰三角形，，且，為延長線上一點，．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，，，求的面積（用含，，的式子表示）．【答案】(1)20°(2)見解析(3)【分析】（1）先，是等腰三角形性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理求出，即可由求解；（2）過點作于點，過點作于點，證明，得出，，進而求得，，即可得出，從而得出結(jié)論；（3）由（2）可知，，從而有，再根據(jù)，則有，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴．（2）證明：過點作于點，過點作于點，∴，又∵，∴，，∵，∴，∴在和中，，∴，∴，，∵，設(shè)、交于點，則又，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．（3）解：由（2）可知，，∴，∵，∴．．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，三角形外角性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積，屬三角形綜合題目，難度適中．2．已知在中，，且=．作，使得．(1)如圖1，若與互余，則=__________(用含的代數(shù)式表示)；(2)如圖2，若與互補，過點作于點，求證：；(3)若由與的面積相等，則與滿足什么關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論數(shù)．【答案】(1)；(2)見解析；(3)與相等或互補【分析】（1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等得，根據(jù)與互余得，由即可求出的度數(shù)；（2）作根據(jù)AAS證明≌,則，由等腰三角形三線合一可得，因此，問題得證；（3）由與的面積相等得高相等.情況①：作于,于,根據(jù)可得≌，則可得=；情況②:是鈍角三角形，作于，作垂直于的延長線于，根據(jù)可得≌，則可得，由于與互補，因此與互補．【詳解】（1）解：中，，且=,

．（2）如圖，過點作于E點，中，，，，中，，，,=，

．在和中，,,，∴≌，

∴，

∴．（3）①如圖，作于，于，∵與的面積相等，∴，又∵,∴≌(HL)∴即=

②如圖，作于，作垂直于的延長線于．則．∵，，∴，∵與的面積相等，∴．∴≌．∴．，∴，綜上，與相等或互補．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，同底等高的兩個三角形面積相等，綜合能力較強，有一定難度.熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【類型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】例題：如圖，在中，平分，是的中點，過點作交的延長線于，交于，交的延長線于．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)證明，即可得出；（2）過點C作交于點M，由可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，可得，進而得出，再根據(jù)據(jù)證明，得出，等量代換即可得到．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）證明：過點C作交于點M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是的中點，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊，平行線的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理、性質(zhì)定理及作出合適的輔助線是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·河北石家莊·八年級?？计谥校?1)【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點A為上一點，過點A作，垂足為C，延長交于點B，可根據(jù)證明，則，（即點C為的中點）．(2)【類比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，可求得．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(4)【實際應(yīng)用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進行水稻試驗，故進行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過點A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請直接寫出答案．【答案】(1)(2)(3)，證明見解析(4)的面積是【分析】（1）證（），得，即可；（2）延長交于點F，由問題情境可知，，再由等腰三角形的性質(zhì)得，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）拓展延伸延長、交于點F，證（），得，再由問題情境可知，，即可得出結(jié)論；（4）實際應(yīng)用延長交于E，由問題情境可知，，，則，再由三角形面積關(guān)系得，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴（），∴，，故答案為：；（2）解：如圖2，延長交于點F，由可知，，∴，∵，∴，故答案為：；（3）解：，證明如下：如圖3，延長、交于點F，則，∵，∴，∵，∴，又∵，∴（），∴，由問題情境可知，，∴；（4）解：如圖4，延長交于E，由問題情境可知，，，∴，∵，∴，∴，答：的面積是．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線定義以及三角形面積等知識，本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．2．【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分，點A為上一點，過點A作，垂足為，延長交于點B，易證≌，則．其分析過程如下：在和中，平分≌（___________）在括號內(nèi)填寫全等判定方法字母簡稱（___________）在括號內(nèi)填寫理由依據(jù)【問題探究】如圖2，中，平分，垂足在的延長線上．證明：；【拓展延伸】如圖3，在中，在線段上，向左側(cè)作于交于，試探究和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】[問題情境]，全等三角形對應(yīng)邊相等；[問題探究]見解析；[拓展延伸]，見解析【分析】[問題情境]利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；[問題探究]延長交延長線于，證明≌，推出，再證明≌，可得結(jié)論；[拓展延伸]結(jié)論：過點作，交的延長線于點，與相交于，過點