考點25圓周運動的臨界及綜合問題——提能力1．[2023·江蘇淮安模擬預(yù)測]如圖所示，兩金屬桿構(gòu)成十字架豎直放置，其中PQ桿粗糙，兩根相同的輕彈簧一端固定在A點，另一端各連接質(zhì)量為m的小球，小球穿過PQ桿，且與MN桿距離相等．十字架繞MN分別以ω1、ω2運動時，小球均相對于桿靜止．若ω2>ω1，與以ω1勻速轉(zhuǎn)動時相比，以ω2勻速轉(zhuǎn)動時()A．兩球間的距離一定變大B．彈簧彈力一定變大C．小球所受摩擦力一定變大D．小球所受合力一定變大2．[2023·安徽高三開學(xué)考試]如圖所示，一質(zhì)量為M的人站在臺秤上，手拿一根長為R的細(xì)線一端，另一端系一個質(zhì)量為m的小球，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動．若小球恰好能做完整的圓周運動，已知圓周上b為最高點，a、c為圓心的等高點，重力加速度大小為g，則下列說法正確的是()A．小球運動到最高點b時，小球的速度為零B．小球運動到最高點b時，臺秤的示數(shù)最小，且為MgC．小球在a、c兩個位置時，臺秤的示數(shù)相同，且為Mg＋mgD．小球運動到最低點時臺秤的示數(shù)為Mg＋6mg3．[2023·黑龍江省八校聯(lián)考]如圖所示，我國男子體操運動員張成龍用一只手抓住單杠，伸展身體，以單杠為軸做圓周運動．如圖甲所示，張成龍運動到最高點時，用力傳感器測得張成龍與單杠間彈力大小為F，用速度傳感器記錄他在最高點的速度大小為v，得到F-v2圖像如圖乙所示．g取10m/s2，則下列說法中錯誤的是()A．張成龍的質(zhì)量為65kgB．張成龍的重心到單杠的距離為0.9mC．當(dāng)張成龍在最高點的速度為4m/s時，張成龍受單杠的彈力方向向上D．當(dāng)張成龍在最高點的速度為4m/s時，張成龍受單杠的彈力方向向下4．[2023·浙江臺州質(zhì)檢]火車軌道的轉(zhuǎn)彎處外軌高于內(nèi)軌，如圖所示．若已知某轉(zhuǎn)彎處軌道平面與水平面夾角為θ，彎道處的圓弧半徑為R.在該轉(zhuǎn)彎處規(guī)定的安全行駛的速度為v，則下列說法中正確的是()A．該轉(zhuǎn)彎處規(guī)定的安全行駛的速度為v＝eq\r(Rgtanθ)B．該轉(zhuǎn)彎處規(guī)定的安全行駛的速度為v＝eq\r(Rgsinθ)C．當(dāng)實際行駛速度大于v時，輪緣擠壓內(nèi)軌D．當(dāng)實際行駛速度小于v時，輪緣擠壓外軌5.[2023·江蘇模擬預(yù)測]一匹馬拉著雪橇沿冰雪覆蓋的某一段近圓弧山路勻速率移動．設(shè)圓弧路面的半徑為R，由于山路較長，馬對雪橇的拉力可視為總是平行于路面，雪橇的質(zhì)量為m，雪橇與路面間的動摩擦因數(shù)為μ＝eq\f(\r(3),20).馬將雪橇由底端拉上30°圓弧的過程中，下列說法正確的是()A．馬對雪橇的拉力一直增大B．路面對雪橇的支持力一直增大C．路面對雪橇的作用力保持不變D．馬對雪橇做的功為(1－eq\f(\r(3),2))mgR＋eq\f(3,80)mgR6．[2023·江蘇揚州中學(xué)考試]如圖甲所示，被稱為“魔力陀螺”玩具的陀螺能在圓軌道外側(cè)旋轉(zhuǎn)不脫落，其原理可等效為如圖乙所示的模型：半徑為R的磁性圓軌道豎直固定，質(zhì)量為m的鐵球(視為質(zhì)點)沿軌道外側(cè)運動，A、B分別為軌道的最高點和最低點，軌道對鐵球的磁性引力始終指向圓心且大小不變，不計摩擦和空氣阻力，重力加速度為g，則()A．鐵球繞軌道可能做勻速圓周運動B．由于磁力的作用，鐵球繞軌道運動過程中機械能不守恒C．鐵球在A點的速度必須大于eq\r(gR)D．軌道對鐵球的磁性引力至少為5mg，才能使鐵球不脫軌7．[2023·江蘇泰興市開學(xué)考試]我國越野滑雪集訓(xùn)隊為備戰(zhàn)2022冬奧會，在河北承德雪上項目室內(nèi)訓(xùn)練基地，利用工作起來似巨型“陀螺”的圓盤滑雪機模擬一些特定的訓(xùn)練環(huán)境和場景，其轉(zhuǎn)速和傾角(與水平面的最大夾角達(dá)18°)根據(jù)需要可調(diào)．一運動員的某次訓(xùn)練過程簡化為如下模型：圓盤滑雪機繞垂直于盤面的固定轉(zhuǎn)軸以恒定的角速度ω轉(zhuǎn)動，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離為10m處的運動員(保持圖中滑行姿勢，可看成質(zhì)點)與圓盤始終保持相對靜止，運動員質(zhì)量為60kg，與盤面間的動摩擦因數(shù)為0.5，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，盤面與水平面的夾角為15°，g取10m/s2，已知sin15°≈0.260，cos15°≈0.966.則下列說法正確的是()A．運動員隨圓盤做勻速圓周運動時，一定始終受到兩個力的作用B．ω的最大值約為0.47rad/sC．ω取不同數(shù)值時，運動員在最高點受到的摩擦力一定隨ω的增大而增大D．運動員由最低點運動到最高點的過程中摩擦力對其所做的功約為3870J8．[2023·浙江模擬]一端連在光滑固定軸上，可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動的輕桿，另一端與一小球相連，如圖甲所示．現(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，到達(dá)某一位置開始計時，取水平向右為正方向，小球的水平分速度vx隨時間t的變化關(guān)系如圖乙所示，不計空氣阻力，下列說法中正確的是()A．t1時刻小球通過最高點，t3時刻小球通過最低點B．t2時刻小球通過最高點，t3時刻小球通過最低點C．v1大小一定大于v2大小，圖乙中S1和S2的面積一定相等D．v1大小可能等于v2大小，圖乙中S1和S2的面積可能不等9．如圖所示，一根細(xì)線下端拴一個金屬小球Q，細(xì)線穿過小孔(小孔光滑)另一端連接在金屬塊P上，P始終靜止在水平桌面上，若不計空氣阻力，小球在某一水平面內(nèi)做勻速圓周運動(圓錐擺).實際上，小球在運動過程中不可避免地受到空氣阻力作用．因阻力作用，小球Q的運動軌道發(fā)生緩慢的變化(可視為一系列半徑不同的圓周運動).下列判斷正確的是()A．小球Q的位置越來越高B．細(xì)線的拉力變小C．小球Q運動的角速度變大D．P受到桌面的靜摩擦力變大10．[2023·安徽合肥八中模擬](多選)如圖所示，在靜止的水平圓盤上，沿直徑方向放著用輕繩相連的物體A和B，A和B質(zhì)量都為m.它們分居圓心兩側(cè)，與圓心的距離分別為RA＝r，RB＝2r，A、B與盤間的動摩擦因數(shù)相同且均為μ.若最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，當(dāng)圓盤緩慢加速轉(zhuǎn)動，快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動時，下列說法正確的是()A．繩子的張力為FT＝3μmgB．圓盤的角速度為ω＝eq\r(\f(2μg,r))C．A所受摩擦力方向沿繩指向圓外D．燒斷繩子，物體A、B仍將隨圓盤一塊轉(zhuǎn)動11.[2023·江蘇模擬預(yù)測]如圖所示的裝置中，光滑水平桿固定在豎直轉(zhuǎn)軸上，小圓環(huán)A和輕彈簧套在桿上，彈簧兩端分別固定于豎直轉(zhuǎn)軸和環(huán)A，細(xì)線穿過光滑小孔O，兩端分別與環(huán)A和小球B連接，線與水平桿平行，環(huán)A的質(zhì)量為m，小球B的質(zhì)量為2m.現(xiàn)使整個裝置繞豎直軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，細(xì)線與豎直方向的夾角為37°.緩慢加速后使整個裝置以角速度2ω勻速轉(zhuǎn)動，細(xì)線與豎直方向的夾角為53°，此時彈簧彈力與角速度為ω時大小相等，已知重力加速度g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：(1)裝置轉(zhuǎn)動的角速度為ω時，細(xì)線OB的長度s；(2)裝置轉(zhuǎn)動的角速度為2ω時，彈簧的彈力大小F；(3)裝置轉(zhuǎn)動的角速度由ω增至2ω過程中，細(xì)線對小球B做的功W.考點25圓周運動的臨界及綜合問題——提能力1．答案：D解析：因為小球與桿之間有摩擦力，則當(dāng)角速度變大時，小球仍可能相對于桿靜止，故兩球間的距離不變，故A項錯誤；因為若小球相對于桿靜止，故彈簧形變量不變，根據(jù)胡克定律F＝kx，所以彈簧彈力不變，故B項錯誤；小球所受靜摩擦力的方向未知，若靜摩擦力方向向右，則摩擦力變小，若靜摩擦力方向向左，則摩擦力變大，故C項錯誤；小球所受合力提供小球的向心力，與以ω1勻速轉(zhuǎn)動時相比，以ω2勻速轉(zhuǎn)動時所需向心力變大，即小球所受合力變大，故D項正確．2．答案：D解析：小球恰好能做完整的圓周運動，在最高點時mg＝meq\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(b)),R)，得vb＝eq\r(gR)，故A錯誤；小球運動到最高點時，細(xì)線中拉力為零，臺秤的示數(shù)為Mg，但不是最小，小球從c向b運動的過程中細(xì)線上有彈力，彈力對人有向上拉的效果，所以臺秤的示數(shù)小于b點時，故B錯誤；小球在a、b、c三個位置，小球均處于完全失重狀態(tài)，臺秤的示數(shù)相同，且為Mg，故C錯誤；小球從最高點運動到最低點，由機械能守恒定律知mg·2R＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(b))，在最低點，由牛頓第二定律F－mg＝meq\f(v2,R)，聯(lián)立解得小球運動到最低點時細(xì)線中拉力F＝6mg，小球運動到最低點時，臺秤的示數(shù)最大且為Mg＋F＝Mg＋6mg，故D正確．3．答案：C解析：對張成龍在最高點進(jìn)行受力分析，當(dāng)速度為零時，有F－mg＝0結(jié)合圖像解得質(zhì)量m＝65kg，所以選項A正確；當(dāng)F＝0時，由向心力公式可得mg＝eq\f(mv2,R)結(jié)合圖像可解得R＝0.9m故張成龍的重心到單杠的距離為0.9m，所以選項B正確；當(dāng)張成龍在最高點的速度為4m/s時，設(shè)拉力大小為F，由牛頓第二定律得mg＋F＝meq\f(v2,R)，代入解得，F(xiàn)>0，說明張成龍受單杠的拉力作用，方向豎直向下，所以選項C錯誤，D正確．4．答案：A解析：火車以某一速度v經(jīng)過彎道時，內(nèi)、外軌道均不受側(cè)壓力作用，其所受的重力和支持力的合力提供向心力，如圖所示根據(jù)牛頓第二定律得mgtanθ＝meq\f(v2,R)解得v＝eq\r(gRtanθ)，故A正確，B錯誤；當(dāng)轉(zhuǎn)彎的實際速度大于規(guī)定速度時，火車所受的重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，火車有離心趨勢，故其外側(cè)車輪輪緣會與鐵軌相互擠壓，外軌受到側(cè)壓力作用方向平行軌道平面向外，故C錯誤；當(dāng)轉(zhuǎn)彎的實際速度小于規(guī)定速度時，火車所受的重力和支持力的合力大于所需的向心力，火車有向心趨勢，故其內(nèi)側(cè)車輪輪緣會與鐵軌相互擠壓，內(nèi)軌受到側(cè)壓力作用方向平行軌道平面向內(nèi)，故D錯誤．5．答案：A解析：馬拉著雪橇做勻速圓周運動，對雪橇受力分析，如圖所示設(shè)FN與豎直方向的夾角為θ，沿著切向受力平衡FT＝mgsinθ＋μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(mgcosθ＋m\f(v2,R)))＝mgeq\r(1＋μ2)sin(θ＋φ)＋μeq\f(mv2,R)，φ＝arctanμ<60°，θ由0°增大30°的過程中FT一直增大，故A正確；沿著半徑的方向根據(jù)牛頓第二定律有FN＝mgcosθ＋meq\f(v2,R)，隨著θ的增大，F(xiàn)N減小，故B錯誤；馬拉雪橇的過程中，路面對雪橇的作用力為支持力、摩擦力的合力，F(xiàn)N減小，則Ff減小，則路面對雪橇的作用力變小，故C錯誤；對雪橇運用動能定理W馬－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),2)))mgR－Wf＝0，其中Wf＝μFNs弧，由于FN＝mgcosθ＋eq\f(mv2,R)，s弧>eq\f(1,2)R，則Wf>eq\f(3,80)mgR，故D錯誤．6．答案：D解析：小鐵球在運動的過程中受到重力、軌道的支持力和磁力的作用，其中鐵球受軌道的磁性引力始終指向圓心且大小不變，支持力的方向過圓心，它們都始終與運動的方向垂直，所以磁力和支持力都不能對小鐵球做功，只有重力會對小鐵球做功，所以小鐵球的機械能守恒，在最高點的速度最小，在最低點的速度最大．小鐵球不可能做勻速圓周運動，故A、B錯誤；小鐵球在運動的過程中受到重力、軌道的支持力和磁力的作用，在最高點軌道對小鐵球的支持力的方向向上，小鐵球的速度只要大于0即可通過最高點，故C錯誤；由于小鐵球在運動的過程中機械能守恒，所以小鐵球在最高點的速度越小，則機械能越小，在最低點的速度也越小，根據(jù)F＝meq\f(v2,R)，可知小鐵球在最低點時需要的向心力越?。谧畹忘c小鐵球受到的重力的方向向下，支持力的方向也向下，只有磁力的方向向上．要使鐵球不脫軌，軌道對鐵球的支持力一定要大于0.所以鐵球不脫軌的條件是：小鐵球在最高點的速度恰好為0，而且到達(dá)最低點時，軌道對鐵球的支持力恰好等于0.根據(jù)機械能守恒定律，小鐵球在最高點的速度恰好為0，到達(dá)最低點時的速度滿足mg·2R＝eq\f(1,2)mv2，軌道對鐵球的支持力恰好等于0，則磁力與重力的合力提供向心力，即F－mg＝eq\f(v2,R)，聯(lián)立得F＝5mg，故D正確．7．答案：B解析：當(dāng)運動員在圓盤最高點時，可能僅受到重力和支持力的作用，還可能受摩擦力，故A錯誤；在圓盤最下方，根據(jù)μmgcos15°－mgsin15°＝mωeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(max))r，解得ωmax＝0.47rad/s，故B正確；ω取不同數(shù)值時，運動員在最高點受到的摩擦力可能大小相等，方向相反，故C錯誤；運動員運動過程中速度大小不變，動能不變，設(shè)Wf、WG分別為摩擦力做功和重力做功的大小，有Wf＝WG＝mg·2rsin15°≈3120J，故D錯誤．8．答案：A解析：由對稱性可知，在最高點左右兩側(cè)對稱位置，小球沿水平方向分速度相同，那么在小球達(dá)到最高點時，其前后對稱時刻的小球的水平分速度相等且最高點時刻水平分速度為正，在題圖乙中t1時刻滿足要求，所以t1時刻小球通過最高點，同理t3時刻小球通過最低點，故A正確，B錯誤；從t1到t3，小球重力做正功，一直在加速，在最低點時，速度最大，沿水平方向分速度也最大，即v2＞v1，另外對運動過程分析可得：S1和S2分別表示從最低點到最左邊點以及從最左邊點到最高點的水平位移大小，它們相等，因此S1和S2的面積相等，故C、D錯誤．9．答案：B解析：由于小球受到空氣阻力作用，線速度減小，則所需要的向心力減小，小球做近心運動，小球的位置越來越低，故A項錯誤；設(shè)細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，細(xì)線的拉力大小為FT，細(xì)線的長度為L，當(dāng)小球做勻速圓周運動時，由重力和細(xì)線的拉力的合力提供向心力，如圖所示，則有FT＝eq\f(mg,cosθ)，mgtanθ＝meq\f(v2,Lsinθ)＝mω2Lsinθ，解得ω＝eq\r(\f(g,Lcosθ))，由于小球受到空氣阻力作用，線速度減小，θ減小，cosθ增大，因此，細(xì)線的拉力FT減小，角速度ω減小，故B項正確，C項錯誤；對金屬塊P，由平衡條件知，P受到桌面的靜摩擦力大小等于細(xì)線的拉力大小，則靜摩擦力變小，故D項錯誤．10．答案：ABC解析：A、B剛好未發(fā)生滑動時，二者與接觸面間都達(dá)到最大靜摩擦力，都是拉力與最大靜摩擦力的合力提供向心力．不同的是，B所受的靜摩擦力沿半徑指向圓心，A所受的靜摩擦力沿半徑背離圓心．兩物體A和B隨著圓盤轉(zhuǎn)動時，合力提供向心力，有F合＝mω2R，B的軌道半徑比A的軌道半徑大，所以B所需向心力大，繩子拉力相等，所以當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動時，B所受的最大靜摩擦力方向沿繩指向圓心，A所受的最大靜摩擦力方向沿繩指向圓外．以B為研究對象，有FT＋μmg＝2mrω2，以