考慮滑移的鋼混凝土軸壓剛度計算

鋼-混凝土組合梁的原理是由于其經濟性。但是,栓釘?shù)淖冃螌鸹炷梁弯摿航唤缑嫔袭a生滑移,使截面的曲率增大,從而使彈性工作階段由換算截面法計算得到的撓度值總是小于試驗值。Newmark等建立了考慮滑移影響的組合梁平衡微分方程,由于公式較為復雜而不便于在實際工程中應用。我國現(xiàn)行規(guī)范《鋼結構設計規(guī)范》(GB50017-2003)中,用折減剛度考慮滑移的影響。折減剛度計算公式如下:EΙ=EsΙh1+ζ(1)式中:ζ=14.4h0hξ-164.61h0Ι0hΙhξ2(2)ξ=EsA0l2?pnsk,Ι0=Ιs+ΙcαEA0=AcAsαEAs+Ac(3)式中:Ih是完全組合梁的換算截面慣性矩,Es是鋼的彈性模量,Ec是混凝土的彈性模量,αE=Es/Ec,p是抗剪連接件的縱向平均間距,ns是連接件的列數(shù),k是抗剪連接件剛度,k在數(shù)值上等于Ncv,但是量綱為N·mm-1,Ncv是一個抗剪連接件的承載力設計值,單位是N。l是組合梁的跨度,h是組合梁截面的高度,Ac是混凝土翼板截面面積,As是鋼梁截面面積,Ic是混凝土翼板繞樓板中面的慣性矩,Is是鋼梁截面繞自身形心軸的慣性矩,h0是鋼梁截面形心到混凝土翼板截面形心的距離。觀察式(3)可以發(fā)現(xiàn),在ξ=122.861ΙhΙ0時,ζ取極大值ζmax=0.315h0hΙhΙ0,在此之前或之后ζ的值都將變小,而不是隨抗剪件抗滑移剛度的增大而單調減小。這是不可能的,因為這可能會出現(xiàn)增加抗剪件,而使折算剛度減小的現(xiàn)象。下面舉一個具體的算例。C20混凝土板有效寬度be=1860mm,壓型鋼板肋高hc2=76mm,垂直于鋼梁的壓型鋼板上面混凝土厚hc1=64mm,鋼梁截面為:H400×8×180×12/250×12,栓釘直徑d=16mm,栓釘面積Astud=201.06mm,Es=206kN·mm-2,Ec=25.5kN·mm-2。組合梁設計參數(shù)如下:h0=327.95mm,A0=5255.07mm2,I0=2.3142×108mm4,Ih=6.455×108mm4,p=304.8mm,l=5670mm,k=42780N·mm-1,h=540mm。當ns分別等于1和2時,代入式(1)～式(3)得到:ns=1時ξ=0.2399,ζ=0.03531,11+ζ=0.9659,EΙ=12.8438×104kΝ?m2;ns=2時ξ=0.12,ζ=0.5334,11+ζ=0.6522,EΙ=8.41955×104kΝ?m2可以看出當栓釘增加后計算出的折減剛度反而降低了。值得注意的是上述計算數(shù)據(jù)均取自一個實際工程的算例,因此式(1)應該加以改進。1剛度組合作用系數(shù)當鋼梁和樓板兩者不存在組合作用時,混凝土和鋼梁按照自己的形心軸彎曲,總的截面抗彎剛度為EsI0=EsIs+EcIc,當混凝土和鋼梁完全組合時,截面的剛度為EsIh=EsIs+EcIc+EsA0h20。因此,在存在滑移情況下的組合梁剛度設想可以表示為EΙ=EsΙ0+ψEA0h20(4)式中ψ是鋼與混凝土的剛度組合作用系數(shù)。觀察式(1),可以知道,式(1)對EsIs+EcIc部分也進行了折減。但是如果將式(1)改寫成式(4)的形式,則有ψ=EΙ-EsΙ0EsA0h20=Ιh/Ι0-1-ζ(1+ζ)(Ιh/Ι0-1)(5)2滑移橫截面的簡單傾角誤差2.1界面滑動剛度公式本文試圖從理論推導出發(fā)求得剛度折減系數(shù)ψ的表達式。假設混凝土樓板和鋼梁的撓度相同,抗剪鍵的剪力-滑移關系呈線性且抗滑移剛度沿梁長均勻;混凝土和鋼梁均處在彈性階段,混凝土和鋼梁的變形滿足各自的平截面假定。假定梁的兩個部分可以用兩條軸線來代表,以縱向為x軸,梁一端為坐標原點,令橫截面為y,z平面,兩軸平行主方向形成右手直角笛卡爾坐標系(圖1)。x,y,z方向的位移記為u,v,w,用u1,u2代表鋼梁和混凝土樓板的形心的縱向位移。根據(jù)平截面假定,混凝土和鋼梁交界面的滑移為s=u2+h2w′-(u1-h1w′)=u2-u1+h0w′(6)如圖2所示,軸力受拉為正,彎矩以z軸正向一邊受拉為正,剪力以微元體發(fā)生逆時針轉動為正。彎矩M、剪力V以規(guī)定的坐標軸為依據(jù)確定,假設q>0表示指向z軸正向,數(shù)值計算時以負值代入,軸力N是指鋼梁內的拉力,它與混凝土內的壓力相等相反。總勢能的一階變分為:δΠ=∫l0(EsAsu′1δu′1+EcAcu′2δu′2+EsΙ0w″δw″+k(u2-u1+h0w′)(δu2-δu1+h0δw′)-qδw)dx-[V1δw(0)+V2δw(l)-Μ1δw′(0)+Μ2δw′(l)-Ν1δu1(0)+Ν1δu2(0)-Ν2δu1(l)+Ν2δu2(l)](7)分部積分后得到:δΠ=-∫l0[EsAsu″1+Κ(u2-u1+h0w′)]δu1dx-∫l0[EcAcu″2-Κ(u2-u1+h0w′)]δu2dx+∫l0[EsΙ0w(4)-Κh0(u′2-u′1+h0w″)-q]δwdx+[EsAsu′1(0)+Ν1]δu1(0)-[EsAsu′1(l)-Ν2]δu1(l)+[EcAcu′2(0)-Ν1]δu2(0)-[EcAcu′2(l)+Ν2]δu2(l)+[Κh0u2(0)-Κh0u1(0)+Κh20w′(0)-EsΙ0w?(0)-V1]δw(0)-[Κh0u2(l)-Κh0u1(l)+Κh20w′(l)-EsΙ0w?(l)+V2]δw(l)+[EsΙ0w″(0)+Μ1]δw′(0)-[EsΙ0w″(l)+Μ2]δw′(l)式中:K是鋼與混凝土界面滑移剛度,即Κ=nskp。由變分項的任意性得到:EsAsu″1=-Κ(u2-u1+h0w′)(8a)EcAcu″2=Κ(u2-u1+h0w′)(8b)EsΙ0w(4)-Κh0(u′2-u′1+h0w″)-q=0(8c)由位移、滑移關系qu=Κs=Κ(s0+h0w′)(9)式中:s0=u2-u1為上下截面形心之間的相對滑移。由式(8)和式(9)聯(lián)立可以推得:EsΙ0w(4)-h0q′u-q=0(10a)EsA0s″0=qu(10b)由式(10b)和式(9),得到:w′=(EsA0Κs″0-s0)/h0(11)對式(10b)求一次導數(shù),對式(11)求三次導數(shù),代入(10a)式得到:EsΙ0EsA0s(5)0-ΚEsΙhs?0=qΚh0上式改寫為:s(5)0-ρ2s?0=qΚh0EsΙ0EsA0(12)式中:ρ=√ΚΙhEsA0Ι0。對于承受均布荷載的兩端簡支組合梁,求解上述微分方程得到:s0=-qh06EsΙhx3+C1sinhρx+C2coshρx+12C3x2+C4x+C5(13)代入式(11)求得w的表達式為:h0w=qh0x424EsΙh+(ΙhΙ0-1)C1chρx+C2shρxρ-16C3x3-(C42+qh02EsΙhEA0Κ)x2+(C3EsA0Κ-C5)x+C6簡支梁有如下邊界條件:w(0)=w(l)=0,w″(0)=0,w″(l)=0;s′0(0)=0,s′0(l)=0將解代入得到跨中撓度為:w=5ql4384EsΙh+5ql4384EsΙh(ΙhΙ0-1)3845?1ρ4l4[ρ2l28+1cosh0.5ρl-1](14)在跨中集中荷載作用下的簡支梁的解為:s0=C1sinhρx+C2coshρx+12C3x2+C4x+C5hscw=1ρ(β-1)(C1coshρx+C2sinhρx)-16C3x3-12C4x2+(C3EsA0k-C5)x+C6此時簡支梁有如下邊界條件:w(0)=0,w″(0)=0,w′(0.5l)=0,s′0(0)=0,s0(0.5l)=0,khsc[s0(0)+hscw′(0)]-EsΙ0w?(0)=12Ρ將通解代入得到跨中撓度為:w=Ρl348EsΙh+Ρl348EsΙh(ΙhΙ0-1)?3(0.5ρl)2[1-tanh0.5ρl0.5ρl](15)2.2等效剛度的計算對均布荷載和跨中集中荷載作用下的簡支梁跨中撓度的計算表明,考慮滑移后,跨中的撓度增加,增大系數(shù)可以從式(14)和式(15)推導出來。記增大系數(shù)為αm,則αm=1+?(ΙhΙ0-1)(16)均布荷載作用下:?=38451ρ4l4[ρ2l28+1cosh0.5ρl-1](17a)跨中集中荷載作用下:?=3(0.5ρl)2(1-tanh0.5ρl0.5ρl)(17b)兩個?非常接近,并且均可以采用下式很精確地加以近似計算:?=1010+ρ2l2=1010+Ιh/(ξsΙ0)(18)式中ξs=EsA0Κl2。以上各式的對比見圖4。確定等效剛度的原則是:按照這個等效剛度計算的簡支梁跨中撓度為:5ql4384EΙ和Ρl348EΙ應該分別與式(14)和式(15)的撓度相等。利用式(14)得到:5ql4384EΙ=[1+?(ΙhΙ0-1)]5ql4384EsΙh即EsΙh=EΙ[1+?(ΙhΙ0-1)],展開得到:Ι0+A0h02=(Ι0+ψA0h02)+?(ΙhΙ0-1)(Ι0+ψA0h02)最后可以得到:ψ=11+10ξs(19)上式滿足兩種極端情況下的ψ值:(i)當沒有栓釘時沒有組合作用,ξs=∞時,ψ=0;(ii)當剪切面抗滑移剛度無窮大時,ξs→0時,ψ=1,表示完全的組合。2.3我國栓釘承載力的計算公式作為鋼-混凝土組合梁的重要組成部分,抗剪連接件保證了鋼梁和混凝土協(xié)同工作。研究組合梁的撓度時,抗剪連接鍵的抗滑移剛度的確定是關鍵問題之一。栓釘抗滑移剛度的確定采用的是推出實驗,得到的栓釘剪力-界面滑移曲線如圖5所示。一般認為正常使用極限狀態(tài),栓釘承受的剪力為其極限荷載的50%(文獻,平均的荷載系數(shù)1.3左右,混凝土的抗力分項系數(shù)1.4,考慮10%左右的富裕度,則使用極限狀態(tài)驗算的荷載水平是極限承載力對應荷載的1/(1.1×1.3×1.4)=1/2,而且認為此時鋼-混凝土界面上的滑移為0.5毫米,由此可以計算出栓釘?shù)目够苿偠仍跀?shù)值上就等于栓釘?shù)臉O限承載力,即在數(shù)值上k=Nvs。因此,只要試驗得出了栓釘?shù)目辜魳O限承載力,就可以得到其平均剛度。但是文獻認為,在承擔50%的荷載時界面的滑移量在0.2mm～0.4mm,在算例計算中,Johnson采用的直徑19mm長度100mm的栓釘在C30混凝土(按照中國規(guī)范的混凝土強度等級)的抗滑移剛度為150kN·mm-1(相當于界面滑移0.33mm),約等于其極限承載力的1.4倍。文獻取極限承載力的2倍作為界面抗滑移剛度。Colin的半足尺試驗對直徑9.525mm總高50.4mm的栓釘在C50混凝土中的抗滑移剛度為190kN·mm-1,是按照我國規(guī)范計算的承載力的7倍。WangC.Y.對一些試驗結果進行了考察,從結果看出,栓釘抗滑移剛度的離散性是非常大的,文獻最后取栓釘抗滑移剛度為:k=Νv,ks(20)但是采用上式時要注意,這里Nv,ks是承載力的標準值,并且不考慮栓釘本身剪切破壞的承載力,只考慮混凝土破壞對應的承載力計算公式?，F(xiàn)在廣泛采用的混凝土破壞對應的栓釘承載力,最早由文獻歸納提出,并且在美國的AISCLRFD規(guī)范中仍在使用:Νv,ks=0.5Asf′ckEc≤fuAs(21)式中:Nvs是栓釘?shù)目辜舫休d力,As是栓釘?shù)慕孛娣e,f′ck是混凝土的150×300圓柱體抗壓強度,fu是栓釘?shù)臉O限抗拉強度。美國AISC的LRFD設計規(guī)范仍然采用式(21)進行栓釘承載力的計算,其中f′ck被解釋為specifiedminimumcompressivestrengthofconcrete,相當于有95%保證率的150×300圓柱體抗壓強度標準值,0.85f′ckAc是面積為Ac的混凝土樓板受壓達到極限狀態(tài)時的軸壓力,用這個壓力和式(21)決定栓釘數(shù)量。這種計算栓釘承載力的方法是標準值對標準值,所以美國AISC規(guī)范沒有給出配合式(21)使用的抗力分項系數(shù)。從試驗結果和公式結果的對比看,式(21)是平均值,用于我國規(guī)范體系的設計顯然偏大。后續(xù)研究得出的有較高保證率的栓釘承載力公式也采用式(21)的形式,僅對其中的參數(shù)進行修正,例如ECCS1981《組合結構》曾經給出過如下的公式:Νv,ks=0.46Asf′ckEc≤0.7fuAs(22)上式基本上是試驗結果的下限。但是歐洲EC4(2004)對栓釘承載力的計算公式已經改為(設計值):Νvs=0.37Asf′ckEcmγv≤0.8Asfuγv(23)式中:f′ck是混凝土的150×300圓柱體抗壓強度特征值(指有95%保證率的強度),Ecm是混凝土平均彈性模量,γv是栓釘承載力的抗力分項系數(shù),EC4建議取為1.25。上式表示的栓釘承載力比我國規(guī)范的設計值小10%。我國則取栓釘承載力設計值為:Νvs=0.43AsfcEc≤0.7As(1.67fv)=1.169Asfv(24)式中:fc是我國規(guī)范的混凝土強度設計值。注意150×300的圓柱體試件的強度f′ck與我國的150mm立方體試件的強度fcu,k之間存在f′ck=(0.8~0.85)fcu,k=0.8~0.850.88×0.76fck=(0.8~0.85)×1.40.88×0.76fc=(1.675~1.779)fc如果按照式(22)作為栓釘承載力的標準值,換算到我國規(guī)范的有關記號,得到:Νv,ks=0.46Asf′ckEc=0.46As(1.675~1.779)fcEc=(0.5953~0.6136)AsfcEc上式數(shù)值接近于Νv,ks=1.4×0.43AsfcEc=0.602AsfcEc。如果以EC4公式作為計算栓釘承載力標準值的依據(jù),則Νv,ks=0.37Asf′ckEcm=0.37As(1.675~1.779)fcEcm=(0.479~0.494)AsEcmfc本文取抗滑移剛度為上述兩個式子的平均值,即k0.5=1.25×0.43AsfcEc(Ν?mm-1)(25)其值是我國栓釘承載力設計值的1.25倍,比Johnson的取值小。在下面與試驗結果的對比中,國內的試驗結果中撓度的數(shù)值在P/Pu=0.71～0.77之間讀取,此時宏觀的非線性已經部分開展,而栓釘附近混凝土的非線性開展更加嚴重,抗滑移割線剛度已經下降,此時取k0.75=11.2×0.43AsfcEc(Ν?mm-1)(26)文獻取0.66Nvs(規(guī)范規(guī)定的設計值)作為栓釘?shù)目够苿偠?。?Ρu=0.45~0.5∶ξs=EsA0nsk0.5l2/p≈0.8EsA0nskl2/p=0.8ξΡ/Ρu=0.7~0.75∶ξs=EsA0nsk0.75l2/p=EsA0ns0.833kl2/p=1.2ξ在下面的試驗結果的對比中,鋼與混凝土的組合作用系數(shù)取Ρ/Ρu=0.45~0.5∶EΙ=Es(Ι0+ψ0.5A0h02),(27a)ψ0.5=11+8ξ(27b)Ρ/Ρu=0.7~0.75∶EΙ=Es(Ι0+ψ0.75A0h02),(28a)ψ0.75=11+12ξ(28b)撓度放大系數(shù)可以化為:αm=8ξ+18ξΙ0/Ιn+1(29)αm=12ξ+112ξΙ0/Ιn+1(30)3算法2:外加栓釘計算[3.2]vg2005下面將本文推導的公式、規(guī)范公式與來自文獻的撓度試驗結果進行比較,見表1和表2,其中后面的6個試件是文獻的。本文公式的誤差見圖6,由圖可見,相對于規(guī)范公式,本文公式的精度有一定的改善,而且公式形式更加簡化。對表中數(shù)據(jù)進行分析得