高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期九月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解不等式，得，即，而，所以.故選：B2復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，，于是，所以.故選：C3.兩個(gè)單位向量與滿足，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得，，且，所以.設(shè)與的夾角為，，則,所以.故選；D.4.要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?所以將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位可得到函數(shù)的圖象.故選:B.5.某玻璃制品廠需要生產(chǎn)一種如圖1所示的玻璃杯，該玻璃杯造型可以近似看成是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓臺得到，其近似模型的直觀圖如圖2所示（圖中數(shù)據(jù)單位為cm），則該玻璃杯所用玻璃的體積（單位：）為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，該玻璃杯所用玻璃的體積為.故選：A6.某企業(yè)在生產(chǎn)中為倡導(dǎo)綠色環(huán)保的理念，購人污水過濾系統(tǒng)對污水進(jìn)行過濾處理，已知在過濾過程中污水中的剩余污染物數(shù)量N（mg/L）與時(shí)間t（h）的關(guān)系為，其中為初始污染物的數(shù)量，k為常數(shù)．若在某次過濾過程中，前2個(gè)小時(shí)過濾掉了污染物的30%，則可計(jì)算前6小時(shí)共能過濾掉污染物的（）A.49% B.51% C.65.7% D.72.9%〖答案〗C〖解析〗依題意，前2個(gè)小時(shí)過濾后剩余污染物數(shù)量為，于是，解得，因此前6小時(shí)過濾后剩余污染物數(shù)量為，所以前6小時(shí)共能過濾掉污染物的.故選：C.7.過雙曲線的左焦點(diǎn)F作的一條切線，設(shè)切點(diǎn)為T，該切線與雙曲線E在第一象限交于點(diǎn)A，若，則雙曲線E的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令雙曲線的右焦點(diǎn)為，半焦距為c，取線段中點(diǎn)，連接，因?yàn)榍袌A于，則，有，因?yàn)?，則有，，而為的中點(diǎn)，于是，即，，在中，，整理得，所以雙曲線E的離心率.故選：C8.已知是半徑為的球體表面上的四點(diǎn)，，，，則平面與平面的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)球心為，分別取，的外接圓圓心為，連接，

∵，∴點(diǎn)為中點(diǎn)，則，

由為外心，故，則，

由題意可得平面，

故平面與平面的夾角，即為的余角.

在中，，，

則由正弦定理可得，

由球的半徑為，故，,

由平面，平面，可得，

則中，,即，

故平面與平面的夾角為，故其余弦值為.故選:B.二、選擇題9.四個(gè)實(shí)數(shù)，2，x，y按照一定順序可以構(gòu)成等比數(shù)列，則xy的可能取值有（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)榈缺葦?shù)列所有奇數(shù)項(xiàng)符號相同，所有偶數(shù)項(xiàng)符號也相同，當(dāng)對應(yīng)等比數(shù)列的第一項(xiàng)與第二項(xiàng)時(shí)，則第三，四項(xiàng)分別為，此時(shí)，當(dāng)對應(yīng)等比數(shù)列的第一項(xiàng)與第四項(xiàng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)對應(yīng)等比數(shù)列的第三項(xiàng)與第四項(xiàng)時(shí)，則第一，二項(xiàng)分別為，此時(shí)，當(dāng)對應(yīng)等比數(shù)列的第三項(xiàng)與第二項(xiàng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)對應(yīng)等比數(shù)列的第二項(xiàng)與第三項(xiàng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)對應(yīng)等比數(shù)列的第二項(xiàng)與第一項(xiàng)時(shí)，則第三，四項(xiàng)分別為，此時(shí)，當(dāng)對應(yīng)等比數(shù)列的第四項(xiàng)與第三項(xiàng)時(shí)，則第一，二項(xiàng)分別為，此時(shí)，當(dāng)對應(yīng)等比數(shù)列的第四項(xiàng)與第一項(xiàng)時(shí)，此時(shí)，故選：ABD10.直線過拋物線的焦點(diǎn)且與該拋物線交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）A. B.拋物線E的準(zhǔn)線方程是C.以MN為直徑的圓與定直線相切 D.的大小為定值〖答案〗BC〖解析〗對于A中，由直線，可化為，可得直線過定點(diǎn)，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在直線上，可得，則，所以A錯(cuò)誤；對于B中，由拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以B正確；對于C中，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，的中點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，可得，故以MN為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，所以C正確；對于D中，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，，，可得，則，則，但的大小不是定值，設(shè)，而，則，則，而，并不是定值，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗由題意可得，

則由，得.

對于A：設(shè)，，

則在區(qū)間上，，為增函數(shù)，

所以由題意可得，所以，故A正確；

對于B：由，得,故B錯(cuò)誤；

對于C：由A可知在區(qū)間上為增函數(shù)，

且，則，即,

則,

由,得,

令,則,

所以在上單調(diào)遞增,

所以,

所以,故C錯(cuò)誤；

對于D：又,

令,

則,

所以在上單調(diào)遞增,所以，

所以,

又，且,

令，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，綜上可得，故D正確；

故選:AD.12.若函數(shù)存在連續(xù)四個(gè)相鄰且依次能構(gòu)成等差數(shù)列的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的可能取值有（）A. B. C.0 D.〖答案〗ACD〖解析〗由，得，令，顯然函數(shù)是偶函數(shù)，是周期為的周期函數(shù)，而，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，，于是函數(shù)的所有零點(diǎn)從小到大排成一列構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，A正確；當(dāng)時(shí)，，顯然此方程在余弦函數(shù)的周期長的區(qū)間內(nèi)只有兩個(gè)根，取，則方程在內(nèi)有4個(gè)根，顯然有，于是，，即有，則不成等差數(shù)列，由周期性知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在連接4個(gè)零點(diǎn)依次構(gòu)成等差數(shù)列，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，或，取函數(shù)的4個(gè)連續(xù)零點(diǎn)為，顯然成等差數(shù)列，C正確；當(dāng)時(shí)，或，令，則函數(shù)在內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，并滿足，且，顯然，，，顯然，，因此，所以成等差數(shù)列，D正確.故選：ACD.三、填空題13.的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為________．〖答案〗〖解析〗由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，所以的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故〖答案〗為：.14.圓心在直線上且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程是________．〖答案〗〖解析〗依題意，過切點(diǎn)的圓的半徑所在直線方程為，即，由解得，因此所求圓的圓心為，半徑，所以所求圓的方程為.故〖答案〗為：15.若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最大值為________．〖答案〗〖解析〗的定義域?yàn)椋粼谏蠁握{(diào)遞增，則恒成立，即設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減;時(shí)，，函數(shù)上單調(diào)遞增，故，所以，故實(shí)數(shù)a的最大值為.故〖答案〗為：.16.甲，乙，丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當(dāng)球在甲手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3，則甲將球保留；當(dāng)球在乙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙．初始時(shí)，球在甲手中，投擲n次骰子后（），記球在甲手中的概率為，則________；________．〖答案〗.〖解析〗由題意，當(dāng)投擲3次骰子后，球在甲手中，共有4中情況：①：甲甲甲甲，其概率為②：甲甲乙甲，其概率為③：甲乙甲甲，其概率為④：甲乙丙甲，其概率為所以投擲3次后，球在甲手中的概率為.記當(dāng)投擲次骰子后，球在甲手中的概率為，再三次投擲后，即投擲次，球仍在甲手中的概率為，則，即，即又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以.故〖答案〗為：；.四、解答題17.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對任意正整數(shù)n，有．（1）證明：數(shù)列為常數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）證明：依題意，，，兩式相減得：，即，整理得，即，因此，所以數(shù)列是常數(shù)列.（2）解：當(dāng)時(shí)，，解得，由（1）得：，于是，則，所以.18.設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求角；（2）若，且的內(nèi)切圓半徑，求的面積．解：（1）由正弦定理得：，

即，

即，即.

因?yàn)?，所以，所?

因?yàn)椋?/p>

所以.（2）面積，

代入，和，整理得：①，

由余弦定理：，得：，

即②，①②聯(lián)立可得：，解得：或（舍去），

所以.19.近期世界地震、洪水、森林大火等自然災(zāi)害頻繁出現(xiàn)，緊急避險(xiǎn)知識越來越引起人們的重視．某校為考察學(xué)生對緊急避險(xiǎn)知識的掌握情況，從全校學(xué)生中選取200名學(xué)生進(jìn)行緊急避險(xiǎn)知識測試，其中男生110名，女生90名．所有學(xué)生的測試成績都在區(qū)間范圍內(nèi)，由測試成績數(shù)據(jù)作出如圖所示的頻率分布直方圖．（1）若從頻率分布直方圖中估計(jì)出樣本的平均數(shù)與中位數(shù)相等，求圖中m的值；（2）規(guī)定測試成績不低于80分為優(yōu)秀，已知共有45名男生成績優(yōu)秀，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷男生和女生的測試成績優(yōu)秀率有差異？性別測試成績合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀男生45女生合計(jì)參考公式與數(shù)據(jù)：0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）依題意，頻率分布直方圖中左起第一個(gè)小矩形的高為：，樣本平均數(shù)的估計(jì)值為：，顯然數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為，落在的頻率為，因此樣本中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，其估計(jì)值為；，則，解得，所以.（2）總的成績優(yōu)秀人數(shù)為：，得到列聯(lián)表為：性別測試成績合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀男生4565110女生256590合計(jì)70130200于是的觀測值為，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為男生和女生的測試成績優(yōu)秀率沒有差異.20.如圖，在四棱錐中，底面四邊形ABCD滿足，，，棱PD上的點(diǎn)E滿足．

（1）證明：直線平面PAB；（2）若，，且，求直線CE與平面PBC所成角正弦值．（1）證明：由題意得：連接，過C做，交BD于T點(diǎn)，如圖所示：

，，又在中，解得：平面，平面，平面，平面，平面，平面又相交于點(diǎn)平面平面平面直線平面PAB（2）解：連接AC交BD于O點(diǎn)在和中，由可得，即解得：，滿足，所以又又有AC交BD于O點(diǎn)，所以平面，滿足PO，CO，DO兩兩垂直故以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OD，OP所在的直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，于是有，設(shè)平面的法向量為，由取又故所求角的正弦值為所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值為.21.橢圓的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，滿足，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，直線和直線分別與橢圓交于另外的點(diǎn)和點(diǎn)，若的面積為，求的值．解：（1）由題意,,得.

離心率,得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，

點(diǎn),直線方程為,即.

與橢圓方程聯(lián)立得:,解得:.

點(diǎn),直線的方程為.

與橢圓方程聯(lián)立得:,解得:.

三角形面積比.又因?yàn)?

所以，

由題意,,

整理得,解得:或.

又由點(diǎn)在橢圓內(nèi)部,故,即.22.已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，，