第第頁(yè)第24講萬有引力定律及應(yīng)用核心考點(diǎn)考點(diǎn)一開普勒定律 1考點(diǎn)二萬有引力定律 7考點(diǎn)三天體質(zhì)量和密度的計(jì)算 12考點(diǎn)一開普勒定律基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1.開普勒三大定律定律內(nèi)容圖示或公式開普勒第一定律(軌道定律)所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上開普勒第二定律(面積定律)對(duì)任意一個(gè)行星來說，它與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等開普勒第三定律(周期定律)所有行星軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等a3T2＝k注意：開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律也適用于其他天體系統(tǒng)，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)。此時(shí)k是一個(gè)與中心天體有關(guān)的常量?！纠?】（2025·陜西西安·三模）如圖所示，O處為地心，衛(wèi)星1環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星2環(huán)繞地球運(yùn)行的軌道為橢圓，兩軌道不在同一平面內(nèi)。已知圓軌道的直徑等于橢圓軌道的長(zhǎng)軸，且地球位于橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上，引力常量為G，地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星1的軌道半徑為R，衛(wèi)星1的運(yùn)轉(zhuǎn)速度為v0，關(guān)系為。下列說法正確的是（）A．衛(wèi)星1的運(yùn)行周期大于衛(wèi)星2的運(yùn)行周期B．如果衛(wèi)星1的加速度為a，衛(wèi)星2在P點(diǎn)的加速度為，則C．衛(wèi)星2在Q點(diǎn)的速度D．衛(wèi)星2在P、Q點(diǎn)的速度大小關(guān)系為【答案】D【詳解】A．題意可知衛(wèi)星2的軌道半長(zhǎng)軸為R，根據(jù)開普勒第三定律由于衛(wèi)星1的半徑等于衛(wèi)星2的半長(zhǎng)軸，所以衛(wèi)星1的運(yùn)行周期等于衛(wèi)星2的運(yùn)行周期，故A錯(cuò)誤；B．設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為m，則有解得由于P點(diǎn)距離中心天體較近，所以故B錯(cuò)誤；C．若衛(wèi)星2在OQ為半徑的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力解得由于衛(wèi)星在橢圓軌道的Q點(diǎn)要做近心運(yùn)動(dòng)，所以故C錯(cuò)誤；D．若衛(wèi)星在P點(diǎn)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)易知衛(wèi)星在P點(diǎn)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)的速度大于（），由于衛(wèi)星在圓軌道的P點(diǎn)要做離心運(yùn)動(dòng)，則有同理，若衛(wèi)星在Q點(diǎn)做半徑為1.5R的圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)易知衛(wèi)星在Q點(diǎn)做半徑為1.5R的圓周運(yùn)動(dòng)的速度小于（），由于衛(wèi)星在圓軌道的Q點(diǎn)要做近心運(yùn)動(dòng)，則有綜合以上可知故D正確。故選D?！纠?】（2025·陜西渭南·三模）近年來，我國(guó)航天事業(yè)取得了顯著的成就和發(fā)展，如載人航天工程、月球探測(cè)、火星探測(cè)等。如圖是火星探測(cè)任務(wù)中天問一號(hào)探測(cè)器實(shí)施近火制動(dòng)中的停泊軌道，該停泊軌道可看作是橢圓軌道，a、b、c、d是該軌道上的四個(gè)點(diǎn)，其中d點(diǎn)為近火點(diǎn)，b點(diǎn)為遠(yuǎn)火點(diǎn)，則天問一號(hào)在經(jīng)過這四個(gè)位置中動(dòng)能最大的是（）A．a(chǎn)點(diǎn) B．b點(diǎn) C．c點(diǎn) D．d點(diǎn)【答案】D【詳解】根據(jù)開普勒第二定律可知，當(dāng)衛(wèi)星經(jīng)過近火點(diǎn)d時(shí)速度最大，動(dòng)能最大。故選D。【例3】（2025·山東·模擬預(yù)測(cè)）在地球的南極和北極近地處以相同速率（大于同時(shí)發(fā)射兩枚火箭，發(fā)射方向相反且均與地表相切。經(jīng)過一段時(shí)間t?后，兩枚火箭間的距離第一次達(dá)到最大值。已知地球半徑為R，地表重力加速度為g，自轉(zhuǎn)不計(jì)。求兩枚火箭之間距離的最大值?！敬鸢浮?【詳解】衛(wèi)星發(fā)射后做橢圓運(yùn)動(dòng)，t0兩枚火箭間的距離第一次達(dá)到最大值，即運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)地點(diǎn)，得T=2t0，根據(jù)開普勒第三定律又根據(jù)解得根據(jù)忽略地球自轉(zhuǎn)，有聯(lián)立得根據(jù)幾何關(guān)系最大距離為【例4】（2025·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)計(jì)劃于2028年前實(shí)施天問三號(hào)火星探測(cè)任務(wù)。假設(shè)天問三號(hào)火星探測(cè)器從地球發(fā)射后，由圖（a)所示的A點(diǎn)沿地火轉(zhuǎn)移軌道到C點(diǎn)，再依次進(jìn)入圖（b）所示的調(diào)相軌道和停泊軌道。已知地球、火星繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為R1、R2，圖（b）中陰影部分面積為探測(cè)器在不同軌道上運(yùn)行時(shí)與火星中心連線在相同時(shí)間掃過的面積。則（）A．圖（b）中兩陰影部分的面積相等B．探測(cè)器從調(diào)相軌道變到停泊軌道需要在P點(diǎn)加速C．探測(cè)器從A點(diǎn)轉(zhuǎn)移到C點(diǎn)的時(shí)間為年D．探測(cè)器在地火轉(zhuǎn)移軌道上的速度均大于地球繞太陽(yáng)的速度【答案】C【詳解】A．相同時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，是指繞同一中心天體運(yùn)動(dòng)且在同一軌道上的衛(wèi)星，圖（b）中陰影部分的面積為探測(cè)器在不同軌道上時(shí)相同時(shí)間掃過的面積，不相等，故A錯(cuò)誤；B．探測(cè)器從調(diào)相軌道變到停泊軌道需要在P點(diǎn)減速，故B錯(cuò)誤；C．由開普勒第三定律可得探測(cè)器從A點(diǎn)轉(zhuǎn)移到C點(diǎn)的時(shí)間，故C正確。D．在C點(diǎn)探測(cè)器需要加速才能進(jìn)入火星所在軌道，則探測(cè)器在轉(zhuǎn)移軌道上C點(diǎn)的速度小于火星繞太陽(yáng)的速度，地球、火星都繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由可知地球繞太陽(yáng)的速度大于火星繞太陽(yáng)的速度，所以地球繞太陽(yáng)的速度大于探測(cè)器在地火轉(zhuǎn)移軌道上C點(diǎn)的速度，故D錯(cuò)誤。故選C?！纠?】（2025·山東威?！と＃?025年“天問二號(hào)”探測(cè)器將踏上前往近地小行星2016HO3的征程?！疤靻柖?hào)”從地球發(fā)射后進(jìn)入繞太陽(yáng)運(yùn)行的橢圓軌道，其近日點(diǎn)到太陽(yáng)的距離為，遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽(yáng)的距離為，太陽(yáng)的質(zhì)量為，引力常量為。關(guān)于“天問二號(hào)”，下列說法正確的是（）A．在近日點(diǎn)的速度為B．在橢圓軌道上運(yùn)行的周期為C．在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度之比為D．在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的加速度之比為【答案】BD【詳解】A．若探測(cè)器在過近日點(diǎn)的圓軌道繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有解得由于探測(cè)器從低軌道變軌到高軌道需要在變軌處點(diǎn)火加速，則“天問二號(hào)”在近日點(diǎn)的速度大于，故A錯(cuò)誤；B．橢圓軌道的半長(zhǎng)軸為假設(shè)一圓軌道半徑等于橢圓軌道的半長(zhǎng)軸，即有則有可得該圓軌道的周期為根據(jù)開普勒第三定律可知，“天問二號(hào)”在橢圓軌道上運(yùn)行的周期為，故B正確；C．根據(jù)開普勒第二定律可得可得“天問二號(hào)”在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度之比為故C錯(cuò)誤；D．根據(jù)牛頓第二定律可得可得“天問二號(hào)”在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的加速度之比為故D正確。故選BD。精講考點(diǎn)精講考點(diǎn)1．行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)通常按圓軌道處理。2．由開普勒第二定律可得eq\f(1,2)v1·Δt·r1＝eq\f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，即行星在兩個(gè)位置的速度之比與到太陽(yáng)的距離成反比，近日點(diǎn)速度最大，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度最小。3．開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同。該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間?？键c(diǎn)二萬有引力定律基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1.萬有引力定律(1)內(nèi)容自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。即F＝Gm1m2r2，G為引力常量，通常取G＝6.67×10－11N·m(2)適用條件①公式適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)。②質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是兩球心間的距離。2.星體表面及上空的重力加速度(以地球?yàn)槔?(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：有mg＝GMmR2，得g＝(2)地球上空的重力加速度大小g'地球上空距離地球中心r＝R＋h處由mg'＝GMm(R＋h)【例6】（2025·廣西·三模）我國(guó)發(fā)射的嫦娥四號(hào)成功在月球背面軟著陸，實(shí)現(xiàn)了人類歷史上首次月球背面軟著陸與探測(cè)，為人類開發(fā)月球邁出堅(jiān)實(shí)一步。太空船返回地球的過程中，一旦通過地球、月球?qū)ζ湟Φ暮狭榱愕奈恢煤?，該合力將有助于太空船返回地球，已知地球質(zhì)量約為月球的81倍，則該位置距地心的距離和距月球中心的距離之比為（）A．81：1 B．10：9 C．9：1 D．9：10【答案】C【詳解】設(shè)太空艙質(zhì)量為m，月球質(zhì)量為m0，引力合力為零的位置到地心的距離為r1，地球質(zhì)量為81m0，引力合力為零的位置到月球中心的距離為r2，由萬有引力定律和力的平衡有：可得故選C?！纠?】（2025·四川·模擬預(yù)測(cè)）如圖甲所示，一顆地球的衛(wèi)星繞以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行，軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)為M，近地點(diǎn)為N，衛(wèi)星受到地球的萬有引力大小F隨時(shí)間t的變化情況如圖乙所示。下列說法中正確的是（）A．衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)周期是B．衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)周期是C．地球與M點(diǎn)間距離是地球與N點(diǎn)間距離的2倍D．地球與M點(diǎn)間距離是地球與N點(diǎn)間距離的4倍【答案】AC【詳解】AB．從圖乙可知，衛(wèi)星從近地點(diǎn)到遠(yuǎn)地點(diǎn)再回到近地點(diǎn)，萬有引力完成一個(gè)周期性變化，這個(gè)過程所用時(shí)間為，而衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期是完成一次完整的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，所以衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)周期為，故A正確，B錯(cuò)誤；CD．根據(jù)萬有引力定律設(shè)地球與近地點(diǎn)間的距離為，與遠(yuǎn)地點(diǎn)再間的距離為則在點(diǎn)在點(diǎn)將兩式相比可得即所以地球與點(diǎn)間距離是地球與點(diǎn)間距離的倍，故C正確，D錯(cuò)誤。故選AC?！纠?】（2025·陜西渭南·一模）海邊會(huì)發(fā)生潮汐現(xiàn)象，潮來時(shí)，水面升高；潮退時(shí)，水面降低。太陽(yáng)、月球?qū)δ骋粎^(qū)域海水引力的周期性變化，就引起了潮汐現(xiàn)象。已知太陽(yáng)質(zhì)量約為月球質(zhì)量的3×107倍，太陽(yáng)到地球與地球到月球距離的比值約為400。對(duì)同一片海水來說，太陽(yáng)對(duì)海水的引力與月球?qū)Ｋ囊Φ谋戎荡蠹s為（）A．1∶180 B．180∶1 C．75000∶1 D．1∶75000【答案】B【詳解】設(shè)月球質(zhì)量為M，則太陽(yáng)質(zhì)量為，地球到月球的距離為r，則太陽(yáng)到地球的距離為400r，設(shè)海水的質(zhì)量為m，則月球?qū)Ｋ囊t太陽(yáng)對(duì)海水的引力則故選B。【例9】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）半徑為R、質(zhì)量分布均勻且為M的兩個(gè)相同的球固定在水平面上，兩個(gè)球球心之間的距離為4R，它們間的萬有引力大小為F?，F(xiàn)在兩球心的連線外側(cè)各挖掉一個(gè)直徑為R的小球，剩余部分放在相同位置，如圖所示。則剩余部分之間的萬有引力大小為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)小球?qū)α硪粋€(gè)大球的萬有引力大小為，大球剩余部分對(duì)另一個(gè)大球的萬有引力大小為，小球?qū)π∏虻娜f有引力大小為，小球?qū)α硪粋€(gè)大球剩余部分的萬有引力大小為，大球剩余部分對(duì)另一個(gè)大球剩余部分的萬有引力大小為。由題可知，挖掉小球的質(zhì)量所以故選D?！纠?0】（22-23高一下·四川成都·階段練習(xí)）如圖所示，有一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的大球體，從中挖去一個(gè)半徑為的小球體，并在空腔中心放置一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，則大球體的剩余部分對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小為（已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零）（）A． B． C． D．0【答案】C【詳解】若將挖去的小球體用原材料補(bǔ)回，可知剩余部分對(duì)m的吸引力等于完整大球體對(duì)m的吸引力與挖去小球體對(duì)m的吸引力之差，挖去的小球體球心與m重合，對(duì)m的萬有引力為零，則剩余部分對(duì)m的萬有引力等于完整大球體對(duì)m的萬有引力；以大球體球心為中心分離出半徑為的球，易知其質(zhì)量為M，則剩余均勻球殼對(duì)m的萬有引力為零，故剩余部分對(duì)m的萬有引力等于分離出的球?qū)ζ涞娜f有引力，根據(jù)萬有引力定律故選C。精講考點(diǎn)精講考點(diǎn)1．萬有引力與重力的關(guān)系(1)地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示。(2)萬有引力與重力的定量關(guān)系：①在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。②在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg0。③由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認(rèn)為萬有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg。2．不同位置處重力加速度的比較地面地下天上兩極(或不計(jì)自轉(zhuǎn))赤道g＝eq\f(GMr,R3)＝eq\f(GM,R3)(R－h(huán))g＝eq\f(GM,r2)＝eq\f(GM,R＋h2)g＝eq\f(GM,R2)g＝eq\f(GM,R2)－Rωeq\o\al(2,自)3．萬有引力的“兩個(gè)推論”推論1：在勻質(zhì)球殼空腔內(nèi)的任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F引＝0。推論2：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(diǎn)(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M')對(duì)其的萬有引力，即F＝GM'mr考點(diǎn)三天體質(zhì)量和密度的計(jì)算基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1.利用天體表面重力加速度已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由GMmR2＝mg，得天體質(zhì)量M＝(2)天體密度ρ＝MV2.利用運(yùn)行天體已知衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T。(1)由GMmr2＝m4π2T2(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝MV(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝3πGT2【例11】（2025·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測(cè)）在地球上，可通過天文觀測(cè)估算太陽(yáng)的密度。如圖，地球上觀測(cè)太陽(yáng)的視角θ極小，與觀測(cè)者眼睛相距為D、視角為θ的物體寬度為d。已知地球公轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G，θ極小時(shí)。則太陽(yáng)密度ρ可表示為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)太陽(yáng)質(zhì)量為M，地球質(zhì)量為m，地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，有因?yàn)樘?yáng)密度由幾何關(guān)系聯(lián)立可得故選D?！纠?2】（2025·河北保定·三模）某星球的半徑約為地球半徑的10倍，同一物體在該星球表面的重力約為在地球表面重力的3倍，不考慮自轉(zhuǎn)的影響，則該星球質(zhì)量約為地球質(zhì)量的（）A．10倍 B．30倍 C．100倍 D．300倍【答案】D【詳解】設(shè)中心天體質(zhì)量，在星球表面，萬有引力近似等于重力，則有解得由于該星球表面重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，星球的半徑約為地球半徑的10倍，則有即該星球質(zhì)量約為地球質(zhì)量的300倍。故選D。【例13】（2025·廣東廣州·三模）某科技興趣小組同學(xué)在地球表面測(cè)量某一單擺（擺長(zhǎng)可以調(diào)整）周期T和擺長(zhǎng)L的關(guān)系，將此關(guān)系畫在如圖所示圖像中，如圖線A所示。圖中圖線B是某宇航員將此單擺移到密度與地球相同的另一行星X表面重做實(shí)驗(yàn)而獲得的，則與地球相比較，該行星X的（忽略星球自轉(zhuǎn)對(duì)地球和行星X帶來的影響）（）A．半徑為地球的倍 B．體積為地球的64倍C．質(zhì)量為地球的4倍 D．第一宇宙速度為地球的4倍【答案】BD【詳解】A．根據(jù)單擺的周期公式結(jié)合圖線可得根據(jù)萬有引力與重力的關(guān)系密度為所以由于行星的密度與地球密度相等，所以半徑為地球的4倍，故A錯(cuò)誤；B．由于行星的半徑為地球半徑的4倍，根據(jù)可知，體積為地球的64倍，故B正確；C．根據(jù)可知，質(zhì)量為地球的64倍，故C錯(cuò)誤；D．根據(jù)萬有引力提供向心力有所以行星表面的重力加速度為地球的4倍，行星的半徑為地球半徑的4倍，所以第一宇宙速度為地球的4倍，故D正確。故選BD。【例14】（2025·江西·二模）太陽(yáng)系外有一顆行星，它的體積是地球的5倍，質(zhì)量是地球的18倍。已知近地衛(wèi)星的周期是84分鐘，引力常量，由此可估算該行星的平均密度為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，可得可得地球的質(zhì)量為地球體積為聯(lián)立可得則該行星的平均密度約為故選A?！纠?5】（2025·天津·二模）2030年中國(guó)計(jì)劃實(shí)現(xiàn)載人登月，到時(shí)我國(guó)宇航員可以在月球上進(jìn)行一系列的物理實(shí)驗(yàn)。例如：在月球表面附近以初速度v?豎直向上拋出一小球，測(cè)得其上升的最大高度為h，已知月球半徑為R，引力常量為G，不考慮月球自轉(zhuǎn)影響和其他星體對(duì)其影響，忽略一切