關(guān)于矩陣跡運(yùn)算的幾個(gè)問(wèn)題

至于矩陣軌跡的運(yùn)算符，通常書都很少討論。本文給出了相關(guān)主題討論。1tra+b的計(jì)算1.1設(shè)A,B∈Cn×n,λ,μ∈C,則tr(λA+μB)=λtrA+μtrB.1.2設(shè)A∈Cn×n,則trA=trAT.1.3設(shè)A～B,則trA=trB.證明略.2trba的參數(shù)2.1設(shè)A∈Cn×n,K為正整數(shù),則trAΚ=n∑i=1λΚiAK=∑i=1nλKi,其中λi為矩陣A的特征值(i=1,2,…,n).證明設(shè)X∈Cn,X≠0,兩邊同乘以AK-1,反復(fù)使用AX=λX,有AKX=A(AK-1X)=λKX,故λK是AK的特征值,故trA=n∑i=1λΚi.A=∑i=1nλKi.2.2A∈Cm×m,B∈Cn×n,則tr(AB)=tr(BA).證明設(shè)AB的全部特征值為λ1,λ2,…λm,BA的全部特征值為μ1,μ2,…μn,則tr(AB)=λ1+λ2+…+λm,tr(BA)=μ1+μ2+…+μn.由Sylvester公式知,AB和BA由相同的非零特征值,它們僅區(qū)別在于零特征值的重?cái)?shù)上,于是tr(AB)=tr(BA).由2.1及2.2易得2.3tr(AB)K=tr(BA)K,K為正整數(shù).2.4設(shè)A,B∈Cm×n,則|tr(BHA)|2≤tr(AHA)·tr(BHB).當(dāng)且僅當(dāng)A=αβ時(shí)等號(hào)成立(α為任一常數(shù)).特別地,當(dāng)A,B為實(shí)對(duì)稱矩陣及Hermiter矩陣時(shí)有0≤|tr(AB)|≤(trA2)12?(trB2)120≤|tr(AB)|≤(trA2)12?(trB2)12證明定義函數(shù)(A|B)=tr(BHA),則函數(shù)(A|B)是Cm×n上的內(nèi)積.設(shè)A=(aij),B=(bij),則tr(BΗA)=n∑j=1m∑i=1ˉbijaijtr(BHA)=∑j=1n∑i=1mbˉijaij,tr(BΗB)=(B|B)=n∑j=1m∑i=1ˉbijbij=n∑j=1m∑i=1b2ijtr(BHB)=(B|B)=∑j=1n∑i=1mbˉijbij=∑j=1n∑i=1mb2ij,tr(AΗA)=(A|A)=n∑j=1m∑i=1ˉaijaij=n∑j=1m∑i=1a2ij.由Cauchy-Schwarz不等式|(x|y)|≤∥x∥?∥y∥知tr(BΗA)=n∑j=1m∑i=1ˉbijaij≤(n∑j=1m∑i=1b2ij)12(n∑j=1m∑i=1a2ij)12,兩邊平方得(tr(BHA))2≤tr(AHA)·tr(BHB).顯然當(dāng)且僅當(dāng)A=αB時(shí),等號(hào)成立.當(dāng)A,B均為Hermiter矩陣及實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí),AH=A,BH=B,則(trAB)2≤trA2·trB2,兩邊開(kāi)方即得結(jié)論.3kroneck聚集軌跡的矩陣3.1trbb為tra,b為tra,b為2.bb證明設(shè)A=(aij),則即有tr(A?B)=tr(a11B+a22B+…+ammB)=a11trB+a22trB+…+ammtrB=trA·trB.3.2推廣1cmn證明設(shè)A的全部特征值為λ1,λ2,…λm,B的全部特征值為μ1,μ2,…μn,則A?B的全部特征值為λtμs,1≤t≤m,1≤s≤n,(A?B)2的全部特征值為λ2tμ2s.于是tr(A?B)2=m∑t=1n∑s=1λ2tμ2s.又A2的特征值為λ2t(1≤t≤m),B2的特征值為μ2s(1≤s≤n),于是trA2·trB2=(m∑t=1λ2t)?(n∑s=1μ2t)=m∑t=1n∑s=1λ2tμ2s.故結(jié)論成立.推廣1設(shè)A∈Cm×m,B∈Cn×n,則tr(A?B)K=trAK·trBK(K為正整數(shù)).K=1時(shí),該推廣就為3.1,K=2時(shí)就為3.2.推廣2設(shè)A∈Cm×m,B∈Cn×n,C∈Ct×t,則tr(A?B?C)=trA·trB·trC.僅證推廣2.設(shè)A的一個(gè)特征值為λi,對(duì)應(yīng)的特征向量為α;B的一個(gè)特征值為μj,對(duì)應(yīng)的特征向量為β,C的為一個(gè)特征值為pk,對(duì)應(yīng)的特征向量為γ(其中1≤i≤m,1≤j≤n,1≤k≤t).則(A?B?C)·(α?β?γ)=Aα?[(B?C)·(β?γ)]=Aα?Bβ?Cγ=λiα?μjβ?pkγ=λi?μj?pk(α?β?γ).故λiμjpk為A?B?C