數(shù)學(xué)建模及典型案例分析李志林，歐宜貴編著化學(xué)工業(yè)出版社廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院曹敦虔制作9優(yōu)化模型在生產(chǎn)實踐中,我們總希望能夠到達最優(yōu).生產(chǎn)希望本錢最少,銷售希望利潤最大,投資希望風(fēng)險小而獲利大,買東西希望既廉價質(zhì)量又好,不一而足.有些優(yōu)化是簡單的優(yōu)化,通過初等數(shù)學(xué)的知識甚至直觀判斷就可以得到最優(yōu)的結(jié)果.有些優(yōu)化卻比較復(fù)雜,往往存在兩難選擇,需要使用特殊的優(yōu)化方法才能得到最優(yōu)的結(jié)果.并不是所有優(yōu)化目標都能得到最優(yōu)的結(jié)果,常常我們只能得到局部最優(yōu)或是近似最優(yōu).優(yōu)化模型的類型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型通常表述成如下形式min(或max)z＝f(x)s.t.gi(x)≤0,i=1,2,…,m目標函數(shù)決策變量約束條件數(shù)學(xué)規(guī)劃

模型三要素注:1.約束條件中的不等號也可以是等號.2.約束條件的解稱為可行解,可行解集稱為可行域.數(shù)學(xué)規(guī)劃的分類線性規(guī)劃目標函數(shù)和所有的約束條件都是決策變量的線性函數(shù)非線性規(guī)劃目標函數(shù)和約束條件至少一有個是決策變量的非線性函數(shù)整數(shù)規(guī)劃限定決策變量只能取整數(shù).假設(shè)限制只能取0或1那么稱為0-1規(guī)劃.多目標規(guī)劃有多個目標函數(shù)1奶制品的生產(chǎn)與銷售問題一奶制品加工廠用牛奶生產(chǎn)A1，A2兩種奶制品，1桶牛奶可以在設(shè)備甲上用12小時加工成3公斤A1，或者在設(shè)備乙上用8小時加工成4公斤A2。根據(jù)市場需求，生產(chǎn)的A1，A2全部能出售，且每公斤A1獲利24元，且每公斤A2獲利16元?，F(xiàn)在加工廠每天能得到50桶牛奶的供給，每天正式工人總的勞動時間為480小時，并且設(shè)備甲每天至多能加工100公斤A1，設(shè)備乙的加工能力沒有限制。試為該廠制訂一個生產(chǎn)方案，使每天獲利最大。奶制品的生產(chǎn)與銷售問題分析1桶牛奶3公斤A1

12小時8小時4公斤A2

或獲利24元/公斤獲利16元/公斤50桶牛奶時間480小時至多加工100公斤A1

制訂生產(chǎn)方案，使每天獲利最大每天：奶制品的生產(chǎn)與銷售問題分析目標：使每天的獲利最大決策：每天用多少桶牛奶生產(chǎn)A1，用多少桶牛奶生產(chǎn)A2條件：原料供給，勞動時間，設(shè)備能力奶制品的生產(chǎn)與銷售x1桶牛奶生產(chǎn)A1

x2桶牛奶生產(chǎn)A2

獲利24×3x1

獲利16×4x2

原料供給勞動時間

加工能力

決策變量

目標函數(shù)

約束條件非負約束

奶制品的生產(chǎn)與銷售模型建立將上面的式子寫成數(shù)學(xué)規(guī)劃形式(I)奶制品的生產(chǎn)與銷售模型建立也可寫成形式(II)其中，，，奶制品的生產(chǎn)與銷售模型建立還可寫成形式(III)其中n＝2，m＝3.奶制品的生產(chǎn)與銷售由于目標函數(shù)和約束條件對于決策變量而言都是線性的，所以稱為線性規(guī)劃〔LinearProgramming，簡記作LP〕奶制品的生產(chǎn)與銷售模型求解方法1：圖解法方法2：單純形法方法3：用軟件求解奶制品的生產(chǎn)與銷售模型求解——圖解法L1:x1+x2＝50x1+x2>50x1+x2<50L2:12x1+8x2＝480L3:3x1＝100L4:x1＝0L5:x2＝0L0:72x1+64x2＝0(20,30)最優(yōu)解：x1＝20x2＝30每天獲利z＝3360ΩL'0:72x1+64x2＝3360奶制品的生產(chǎn)與銷售模型求解——使用Lindo軟件翻開Lindo6.1，輸入如下模型MAX72x1+64x2STx1+x2<5012x1+8x2<4803x1<100End在Lindo中輸入模型本卷須知只能求解線性規(guī)劃模型；目標函數(shù)以MAX或MIN開頭，約束條件以ST或SUBJECTTO開頭，最后以END結(jié)束；不能出現(xiàn)乘號，系數(shù)必須放在變量之前，系數(shù)與變量之間可以有空格，約束條件右端必須是常數(shù)；決策變量已經(jīng)規(guī)定為非負，不必再輸入非負條件；可以使用Free來取消非負限制；運算符只能是“+〞或“－〞，約束條件中的不等號用“<〞或“>〞，等號用“＝〞；不能使用括號和逗號。一個表達中不能出現(xiàn)同一個變量2次或以上。可以使用Lindo求解線性整數(shù)規(guī)劃和線性0－1規(guī)劃，可以使用GIN限制變量為整數(shù)，使用INT限制變量為0或1；Lindo不區(qū)分字母大小寫。奶制品的生產(chǎn)與銷售最優(yōu)解：x1＝20x2＝30每天獲利z＝3360求解結(jié)果LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2圖解法與使用Lindo求解法比較圖解法直觀易懂，有助于我們掌握問題本質(zhì)；但是求解速度慢，只方便用于二元問題。使用Lindo軟件求解的優(yōu)點是速度快，可解決高維問題，不要求用戶掌握太多的運籌學(xué)知識；缺點是用戶只知道結(jié)果，不知道過程。例2下料問題制造某種產(chǎn)品,需要A、B、C三種軸件,其規(guī)格和數(shù)量如表所示.各類軸件都用5.5m長的同一種圓鋼下料.假設(shè)方案生產(chǎn)100件產(chǎn)品,最少要用多少根圓鋼?軸件類型長度(m)每件產(chǎn)品需要的軸件數(shù)A3.11B2.12C1.24問題分析模式A類根數(shù)B類根數(shù)C類根數(shù)余料(m)模式11100.3模式21020模式30210.1模式40040.7模式50121合理的切割模式有5種,如下表所示.生產(chǎn)100件產(chǎn)品至少需要A、B、C類軸件分別為100、200、400.因此，問題轉(zhuǎn)化為在同時滿足三類軸件的數(shù)量的前提下，按照哪幾種合理的切割模式可使切割圓鋼的總根數(shù)最少。模型建立設(shè)用第i種切割模式切割了xi根圓鋼，那么目標為為了滿足各類軸件的數(shù)量要求，應(yīng)有另外，xi還應(yīng)滿足非負整數(shù)限制，即綜上所述，可以得到以下線性規(guī)劃模型s.t.可以寫成其中s.t.模型求解這是一個整數(shù)線性規(guī)劃，可以使用單純形法求解。使用軟件Lindo或Lingo可以求解這類模型。Lingo的代碼如下：Sets:V3/1..3/:b;V5/1..5/:x;A35(V3,V5):a;EndSetsData:a=11000

10201

02142;b=100200400;EndDatamin=@sum(V5(j):x(j));@for(V3(i):@sum(V5(j):a(i,j)*x(j))>=b(i));@for(V5:@GIN(x));@for(V5:x>=0);求解結(jié)果為X(1)0.000000X(2)100.0000X(3)100.0000X(4)25.00000X(5)0.000000最優(yōu)值z=225,余料＝0.1×100+0.7×25＝27.5.進一步討論如果以余料最少為目標，應(yīng)該如何建立模型？例2裝箱問題s.t.例3選址問題某地區(qū)有6座煤礦，其每年的產(chǎn)量分別為300,350,380,340,500,200?，F(xiàn)有火力發(fā)電廠一個，每年需用煤1000萬噸，每年運行的固定費用為12000萬元〔不包含運費〕，每噸原煤從i#礦運送到該電廠的運費為3.5,4,4.2,4.5,4.6,3.6元?，F(xiàn)規(guī)劃新建一個發(fā)電廠，m座煤礦每年開采的原煤將全部供給這兩個電廠發(fā)電用?，F(xiàn)有3個備選廠址，每噸原煤從i#礦運送到j(luò)#備選廠址的運費由表1給出，預(yù)計新廠每年運行的固定費用為13000萬元。問應(yīng)把新電廠建在哪里？m座煤礦開采的原煤應(yīng)如何分配給這兩個電廠才能使每年總的費用最?。?#礦2#礦3#礦4#礦5#礦6#礦廠址13.84.55.04.65.24.4廠址24.04.34.53.84.85.0廠址35.14.53.74.75.14.2表1從i#礦運送原煤到j(luò)#廠址的單位運費(元/噸)模型假設(shè)設(shè)共有m座煤礦，i#礦每年的產(chǎn)量為ai,從i#礦運煤到原發(fā)電廠的運費為每噸ci0元.有n個備選廠址，從i#礦運送原煤到j(luò)#廠址的運費為每噸cij元。yj為0-1變量，假設(shè)選擇在j#廠址建廠，那么yj=1,否那么yj=0.xij為從i#礦運送原煤到j(luò)#廠址的原煤數(shù)量。例4布點問題某市有6個區(qū)，每個區(qū)都可建消防站，為了節(jié)省開支，市政府希望設(shè)置的消防站最少，但必須保證在該市任何地區(qū)發(fā)生火警時，消防車能在15分內(nèi)趕到現(xiàn)場。假定各區(qū)的消防站要建的話，就建在區(qū)的中心，根據(jù)實地測量，各區(qū)之間的消防車行駛最長時間如下表：請你為該市制定一個設(shè)置消防站的最節(jié)省的方案。區(qū)間123456141016282720210524321710316244122721428321251525527172715314620102125146例5生產(chǎn)方案問題一家制造顯示器的公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品：一種是27英寸的顯示器，而另一種是31英寸的顯示器，生產(chǎn)時除了400000美元的固定費用外，每臺27英寸顯示器的生產(chǎn)本錢為1950美元，而每臺31英寸的本錢