專題13動點(diǎn)最值之隱圓模型模型一、動點(diǎn)定長模型若P為動點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，A圓心，AB半徑例.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A`MN，連接A`C，則A`C長度的最小值是__________．【答案】．【解析】考慮△AMN沿MN所在直線翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’軌跡是以M點(diǎn)為圓心，MA為半徑的圓弧．連接CM，與圓的交點(diǎn)即為所求的A’，此時A’C的值最?。畼?gòu)造直角△MHC，勾股定理求CM，再減去A’M即可，答案為．【變式訓(xùn)練1】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2，點(diǎn)E為邊BC上的動點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是__________．【解析】考慮到將△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P點(diǎn)軌跡是以F點(diǎn)為圓心，F(xiàn)C為半徑的圓?。^F點(diǎn)作FH⊥AB，與圓的交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)，此時點(diǎn)P到AB的距離最?。上嗨葡惹驠H，再減去FP，即可得到PH．答案為1.2.【變式訓(xùn)練2】如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分別是直線BC、AB上的兩個動點(diǎn)，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，連接PF、PD，則PF+PD的最小值是_________．【答案】8【解析】F點(diǎn)軌跡是以E點(diǎn)為圓心，EA為半徑的圓，作點(diǎn)D關(guān)于BC對稱點(diǎn)D’，連接PD’，PF+PD化為PF+PD’．連接ED’，與圓的交點(diǎn)為所求F點(diǎn)，與BC交點(diǎn)為所求P點(diǎn)，勾股定理先求ED‘,再減去EF即可．模型二、直角圓周角模型固定線段AB所對動角∠C恒為90°，則A、B、C三點(diǎn)共圓，AB為直徑例.如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值是_________．【答案】【解析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴P點(diǎn)軌跡是以AB為直徑的圓弧．當(dāng)O、P、C共線時，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再減去OP即可．【變式訓(xùn)練1】如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)M和N分別從B、C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC、CD向終點(diǎn)C、D運(yùn)動，連接AM、BN，交于點(diǎn)P，連接PC，則PC長的最小值為（）A．2－2 B．2 C．3－1 D．2【答案】A【詳解】由題意得：BM＝CN，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∵∠ABP＋∠CBN＝90°，∴∠ABP＋∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動，設(shè)圓心為O，運(yùn)動路徑一條弧BG，是這個圓的，連接OC交圓O于P，此時PC最小，∵AB＝4，∴OP＝OB＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，∴PC＝OC?OP＝2?2；故選：A．【變式訓(xùn)練2】如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點(diǎn)，滿足AE=DF，連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H，若正方形邊長為2，則線段DH長度的最小值是________．【解析】根據(jù)條件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易證AG⊥BE，即∠AHB=90°，所以H點(diǎn)軌跡是以AB為直徑的圓弧當(dāng)D、H、O共線時，DH取到最小值，勾股定理可求．答案為【變式訓(xùn)練3】如圖，點(diǎn)M是矩形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，過點(diǎn)B作BN⊥AM于點(diǎn)P，交矩形ABCD的邊于點(diǎn)N，連接DP，若AB=6，AD=4，則DP的長的最小值為（）A．2 B． C．4 D．5【答案】A【詳解】解：∵BN⊥AM，∴∠APB＝90°，∵AB＝6為定長，則P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是以AB為直徑，在AB上方的半圓，取AB的中點(diǎn)為O，連接OD，OD與半圓的交點(diǎn)P′就是DP長的最小值時的位置，如圖所示：∵AB＝6，AD＝4，∴OP′＝OA＝AB＝3，OD＝＝＝5，∴DP′＝OD?OP′＝5?3＝2，∴DP的長的最小值為2，故選：A．模型三、四點(diǎn)共圓模型固定線段AB所對同側(cè)動角∠P=∠C，則A、B、C、P四點(diǎn)共圓例.如圖，∽，，，，是的中點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，連接，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵△ABC∽△ADE，ADE＝∠ABE，∴點(diǎn)A，D，B，E四點(diǎn)共圓，∵∠DAE＝90°，∴∠DBE＝90°，∵F是DE的中點(diǎn)，∴BF＝DE，∴當(dāng)DE最小時，BF的值最小，∵若點(diǎn)E是直線BC上的動點(diǎn)，∴當(dāng)AE⊥BC時，AE最小，此時，DE最小，∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝5，∴AE＝，∵△ABC∽△ADE，∴，∴，∴DE＝4，∴BF＝2，故選B．【變式訓(xùn)練1】如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，AC為對角線，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為E，交CB延長線于點(diǎn)F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，則ED的長為．【解答】解：∵∠CAD＝∠CFD，∴點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠FAD+∠DCF＝180°，∠FAC＝∠FDC，∵∠DCF＝90°，∴∠FAD＝90°，∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，∵DF⊥AB，∴∠ABF+∠BFE＝∠CDF+∠BFE＝90°，∴∠ABF＝∠CDF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB＝6，∵DF﹣AD＝2，∴DF＝AD+2，∵DF2＝AF2+AD2，∴（2+AD）2＝62+AD2，解得：AD＝8，∴DF＝10，∵∠FAD＝90°，AE⊥DF，∴△ADE∽△DAF，∴＝，∴DE＝＝＝，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】如圖，為菱形內(nèi)一動點(diǎn)，連接，，，，，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，連接．在菱形中，．又．∴是等邊三角形，∴，．又∵．∴動點(diǎn)一定在的外接圓的劣弧上，∴．在上取，連接．∵，，，∴，，，，∴為等邊三角形，，．當(dāng)為的直徑時，的值最大，此時，．又，的最大值為．故選：B．【變式訓(xùn)練3】如圖，在△ABC中，BC＝9，AC＝12，AB＝15，D為直線AB上方一點(diǎn)，連接AD，BD，且∠ADB＝90°，過D作直線BC的垂線，垂足為E，則線段BE的長度的最大值為_____．【答案】12．【詳解】解：在△ABC中，BC＝9，AC＝12，AB＝15，，，，∵∠ADB＝90°，共圓取的中點(diǎn)連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)如圖，當(dāng)時，最大，此時，，，四邊形是矩形，，，故答案為：12．課后訓(xùn)練1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，點(diǎn)D是AC上的一個動點(diǎn)，以CD為直徑作圓O，連接BD交圓O于點(diǎn)E，則AE的最小值為_________．【解析】連接CE，由于CD為直徑，故∠CED=90°，考慮到CD是動線段，故可以將此題看成定線段CB對直角∠CEB．取CB中點(diǎn)M，所以E點(diǎn)軌跡是以M為圓心、CB為直徑的圓弧．連接AM，與圓弧交點(diǎn)即為所求E點(diǎn)，此時AE值最小，．2．如圖，AB是半⊙O的直徑，點(diǎn)C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一個動點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE．在點(diǎn)D移動的過程中，BE的最小值為（）A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3【答案】B【詳解】解：如圖，連接BO′、BC．∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴在點(diǎn)D移動的過程中，點(diǎn)E在以AC為直徑的圓上運(yùn)動，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，∴，O′E＝2，在Rt△BCO′中，，∵O′E+BE≥O′B，∴當(dāng)O′、E、B共線時，BE的值最小，最小值為O′B﹣O′E＝﹣2，故選：B．3．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以AB為邊向右作等邊ABE，F(xiàn)為邊CD上一點(diǎn)，DF＝2，連接EF，則EF的最小值為___．【答案】-6【詳解】解：如圖，在AB上取點(diǎn)O，使得AO=2，則AO=DF，∵AO∥DF，∴四邊形AOFD是平行四邊形，∴OF=AD=6，即：點(diǎn)F在以O(shè)為圓心，6為半徑的圓上，連接OE，當(dāng)點(diǎn)F恰好在OE上時，EF最小，過點(diǎn)E作EH⊥AB，在等邊ABE中，AB=AE=8，AH=4，∴HE=，∵在RtOHE中，OH=4-2=2，∴OE=，∴EF=-6，即EF的最小值為-6．4．如圖，正方形的邊長為5，點(diǎn)O是中心，點(diǎn)M在邊上，連接，，過O作，交邊于點(diǎn)N．若，則的長是__________．【答案】3【詳解】連接MN、OC，∵∠MON＝，∠MBN＝，∴M、O、N、B四點(diǎn)共圓，∴∠BOM+∠BNO＝，∵∠BNO+∠ONC＝，∴∠BMO＝∠ONC，∵點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，∴OB＝OC，∠BOC＝，∵∠MON＝∠MOB+∠BON＝，∠BOC＝∠BON+∠NOC＝，∴∠MOB＝∠NOC，∴△MOB≌△NOC，∴NC＝MB＝2，∵正方形ABCD的邊長為5，∴BC＝5，∴BN＝BC﹣NC＝5﹣2＝3．故答案為：3．5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，點(diǎn)D為線段BC上一動點(diǎn)．以CD為⊙O直徑，作AD交⊙O于點(diǎn)E，連BE，則BE的最小值為8．【解答】解：如圖，連接CE，∴∠CED＝∠CEA＝90°，∴點(diǎn)E在以AC為直徑的⊙Q上，∵AC＝10，∴QC＝QE＝5，當(dāng)點(diǎn)Q、E、B共線時BE最小，∵BC＝12，∴QB＝＝13，∴BE＝QB﹣QE＝8，∴BE的最小值為8，故答案為8．6．如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于．若，，則的最小值為（）A． B．1 C． D．【答案】D【詳解】如圖1，過點(diǎn)E作于F，∵，∴，∴，∴，∵AC是定值，∴當(dāng)EF取最大值時有最小值，又∵，∴A，B，E，C四點(diǎn)共圓，設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連接OE，當(dāng)時，EF有最大值，如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是中點(diǎn)時，EF的值最大，此時，E，F(xiàn)，O共線．∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為．故選Ｄ．7.如圖，正方形ABCD的邊長為4，動點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，以相同的速度分別沿AB、CD向終點(diǎn)B、D移動，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時，運(yùn)動停止，過點(diǎn)B作直線EF的垂線BG，垂足為點(diǎn)G，連接AG，則AG長的最小值為．【解析】首先考慮整個問題中的不變量，僅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所對的BE邊是不確定的．重點(diǎn)放在AE=CF，可得EF必過正方形中心O點(diǎn)，連接BD，與EF交點(diǎn)即為O點(diǎn)．∠BGO為直角且BO邊為定直線，故G點(diǎn)軌跡是以BO為直徑的圓．記BO中點(diǎn)為M點(diǎn)，當(dāng)A、G、M共線時，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再減去GM即可．答案為8.如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且AE＝2，點(diǎn)F是邊BC上的任意一點(diǎn)，把△BEF沿EF翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為G，連接AG，CG，則四邊形AGCD的面積的最小值為．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根據(jù)勾股定理得，AC＝5，∵AB＝3，AE＝2，∴點(diǎn)F在BC上的任何位置時，點(diǎn)G始終在AC的下方，設(shè)點(diǎn)G到AC的距離為h，∵S