§2.5

一階隱式微分方程一階顯式微分方程一階隱式微分方程例

求解微分方程1解：方程右端分解因式，得從而得到兩個(gè)方程故原方程的通解可以表示為通解也可以表示為2一、可解出y或x的方程與微分法從方程中解出得到這里設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),關(guān)于

解法：引進(jìn)參數(shù)則方程變?yōu)?/p>

將上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得3若求出方程的通解為代入原方程得通解為若還有解代入得特解情形1：情形2：4情形3：若能求出通積分，同理若解出x，完全類似。則得到參數(shù)形式的通積分其中是參數(shù)。則得到參數(shù)形式的解如果還有解5例１(微分法)：求解方程解：令則原方程可寫成兩邊對(duì)x求導(dǎo)得到整理化簡后得方程6對(duì)

積分得該方程的通解為得原方程的一個(gè)解又從

得另一個(gè)解

又得方程的一個(gè)解

7Clairaut方程特點(diǎn)：關(guān)于能解出的一階隱式方程，二階連續(xù)可微，且利用微分法求解此方程.令

,對(duì)x求導(dǎo)得

當(dāng)時(shí),有,因此通解為

時(shí),得到方程的一個(gè)特解

當(dāng)8二、不顯含x或y的方程與參數(shù)法若方程

的左端不顯含x，解法：引進(jìn)參數(shù)則方程變?yōu)?/p>

引入?yún)?shù)t將上式用參數(shù)曲線表示為就可以得出微分方程用參數(shù)形式表示的解。下面只須求出x關(guān)于t的參數(shù)方程9由參數(shù)的微分法知

故

積分得方程的解為10例(參數(shù)法)求微分方程

解：令

解得

由于

積分得

故原方程參數(shù)形式的通解為消去此參數(shù)t,得到通解為11三、奇解與包絡(luò)在P

點(diǎn)任何一個(gè)鄰域內(nèi)方程如果對(duì)每一點(diǎn)的解在P

點(diǎn)與相切，都有一個(gè)不同于

則稱為微分方程的奇解。設(shè)一階隱式方程有一個(gè)特解

12奇解存在的必要條件：定理2.4設(shè)對(duì)連續(xù)，且對(duì)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)和是微分方程的一個(gè)奇解，并且若函數(shù)P-判別式。則奇解滿足一個(gè)聯(lián)立方程組：消去得到方程在平面上確定的曲線稱為P-判別曲線。13奇解存在的充分條件：定理2.5設(shè)對(duì)二階連續(xù)可微,且由微分方程的P--判別式得到的函數(shù)是微分方程的解.若條件是微分方程的奇解.成立,則14例：討論方程的奇解。解：對(duì)方程有

它的P

判別式為

又從兩個(gè)方程消去p

得是奇解。因此是方程的解。顯然15例：單參數(shù)曲線族

表示圓心為（a,0）在L上每一點(diǎn)都有曲線族上的某一曲線與之相切，給定以c為參數(shù)的曲線族及曲線L，如果并且在L的每一段上都有曲線族的無窮多條曲線與之相切。我們就把這條曲線L稱為曲線族的包絡(luò)。半徑為定長r

的一族圓。

此曲線族有包絡(luò)及16例：求曲線

的包絡(luò)。

解：命

則

為了消去c將二式代入一式得由

得再由

得因此由C判別曲線分解成兩條直線，

和

不是包絡(luò)，

是包絡(luò)。

17內(nèi)容小結(jié)隱式方程可解的形式P831（3,5），2（1,6），4（1,3）作業(yè)奇解和包絡(luò)或或18§2.7一階微分方程的應(yīng)用1.曲線族的等角軌線設(shè)給定一個(gè)平面上以C

為參數(shù)的曲線族（2.7.1）我們?cè)O(shè)法求出另一個(gè)以k

為參數(shù)的曲線族（2.7.2）使得曲線族（2.7.2）中的任一條曲線與曲線族（2.7.1）中的每一條曲線相交時(shí)成定角樣的曲線族（2.7.2）是已知曲線族（2.7.1）則稱這的等角軌線族。19當(dāng)時(shí)，稱曲線族例如：曲線族是曲線族的正交軌線族。例求拋物線族的正交軌線族。解：對(duì)方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得由解出C

代入上式得曲線族在點(diǎn)處切線斜率為正交軌線族。是的20由于所求曲線族的曲線與中的曲線在正交，故滿足方程