專題03軸對稱圖形【考點1】軸對稱圖形的相關(guān)概念【考點2】軸對稱再鏡面對稱中的應用【考點3】利用軸對稱的性質(zhì)【考點4】關(guān)于坐標軸對稱的點的坐標性質(zhì)【考點5】再格點中作軸對稱圖形【考點6】線段垂直平分線的性質(zhì)及應用【考點7】線段垂直平分線和角平分線的作圖【考點8】等腰三角形的性質(zhì)【考點9】等腰三角形的判定【考點10】等腰三角形的判定與性質(zhì)【考點11】等邊三角形的性質(zhì)【考點12】等邊三角形的判定【考點13】含30°角的直角三角形的性質(zhì)【考點14】將軍飲馬最短路徑問題知識點1軸對稱圖形⑴軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形.這條直線稱為它的對稱軸.注意：1.軸對稱圖形的對稱軸是一條直線，2.軸對稱圖形是1個圖形，3.有些對稱圖形的對稱軸有無數(shù)條。⑵兩個圖形成軸對稱：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱.這條直線稱為這兩個圖形的對稱軸.⑶線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.知識點2軸對稱性質(zhì)對稱的性質(zhì)：①兩個圖形關(guān)于某一條直線對稱，對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應點連線段的垂直平分線.②關(guān)于某直線對稱的兩個圖形是全等形.知識點3關(guān)于坐標軸對稱的點的坐標性質(zhì)①關(guān)于x軸對稱的點橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)；點關(guān)于軸對稱的點的坐標為.②關(guān)于y軸對稱的點縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)；點關(guān)于軸對稱的點的坐標為.知識點4畫軸對稱圖形（1）過已知點A作對稱軸l的垂線，垂足為O，在垂線上截取OA'，使OA'=OA，則點A'是點A的對稱點；（2）同理分別作出其它關(guān)鍵點的對稱點；（3）將所作的對稱點依次相連，得到軸對稱圖形.知識點5：線段垂直平分線經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線。1.分別以點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點；2.作直線CD，CD為所求直線知識點6：線段垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.知識點7：等腰三角形的概念與性質(zhì)等腰三角形概念有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的邊叫做腰，另一邊叫做底，兩條腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等，簡稱“在同一個三角形中，等邊對等角”．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡稱“等腰三角形三線合一”．知識點2等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形.可以簡單的說成：在一個三角形中，等角對等邊.要點詮釋：(1)要弄清判定定理的條件和結(jié)論，不要與性質(zhì)定理混淆．判定定理得到的結(jié)論是等腰三角形，性質(zhì)定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關(guān)系.（2）不能說“一個三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因為還未判定它是一個等腰三角形．知識點8等邊三角形的概念與性質(zhì)等邊三角形概念三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.注意：等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.（1）等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對稱軸，每個角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對稱軸.（2）三個角都是60°知識點9等邊三角形的判定（1）三個角相等的三角形是等邊三角形.（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.知識點10含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.知識點11：直角三角形斜邊上的中線直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半知識點12：將軍飲馬最短路徑問題基本圖模1.已知：如圖，定點A、B分布在定直線l兩側(cè)；要求：在直線l上找一點P，使PA+PB的值最小解：連接AB交直線l于點P，點P即為所求,PA+PB的最小值即為線段AB的長度理由：在l上任取異于點P的一點P′，連接AP′、BP′，在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP∴P為直線AB與直線l的交點時，PA+PB最小.已知：如圖，定點A和定點B在定直線l的同側(cè)要求：在直線l上找一點P，使得PA+PB值最?。ɑ颉鰽BP的周長最?。┙猓鹤鼽cA關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于P，點P即為所求；理由：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)知直線l為線段AA′的中垂線，由中垂線的性質(zhì)得：PA=PA′，要使PA+PB最小，則需PA′+PB值最小，從而轉(zhuǎn)化為模型1.方法總結(jié)：1.兩點之間，線段最短；2.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；3.中垂線上的點到線段兩端點的距離相等；4.垂線段最短.【考點1】軸對稱圖形的相關(guān)概念1．自新冠肺炎疫情發(fā)生以來，全國人民共同抗疫，各地積極普及科學防控知識，下面是科學防控知識的圖片，圖片上有圖案和文字說明，其中圖案是軸對稱圖形的是（）A．打噴嚏捂口鼻 B．噴嚏后，慎揉眼 C．勤洗手勤通風 D．戴口罩講衛(wèi)生2．下列常見的微信表情包中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點2】軸對稱再鏡面對稱中的應用3．小明同學照鏡子，如圖所示鏡子里哪個是他的像？（）A． B． C． D．4．小明從鏡子里看到對面電子鐘的像如圖所示，則實際時間是．【考點3】利用軸對稱的性質(zhì)5．如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，則∠B的度數(shù)為．6．如圖，將長方形ABCD沿EF翻折，點B的對應點G恰好落在DC邊上，若∠1＝20°，則∠DEF的度數(shù)為．【考點4】關(guān)于坐標軸對稱的點的坐標性質(zhì)7．若點P（m，﹣2），B（﹣4，n﹣3）關(guān)于x軸對稱，則（）A．m＝﹣4；n＝5 B．m＝﹣4；n＝﹣5C．m＝4；n＝1 D．m＝4；n＝﹣18．平面直角坐標系中，點（﹣1，﹣2）與點關(guān)于y軸對稱．9．在平面直角坐標系中，點P（3，1）關(guān)于y軸對稱的點P′的坐標是．10．點P（2，3）關(guān)于直線x＝1的對稱點的坐標為．【考點5】再格點中作軸對稱圖形11．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點均在網(wǎng)格的格點上，其坐標分別為：A（﹣4，4），B（﹣2，1），C（4，2）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；（2）在（1）的條件下，分別寫出點A、C的對應點A1、C1的坐標．12．如圖，已知在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（1，2），B（3，1），C（4，3）．（1）請在平面直角坐標系中畫出△ABC；（2）畫出與△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，請直接寫出點B1，C1的坐標；（3）求出△A1B1C1的面積．【考點6】線段垂直平分線的性質(zhì)及應用13．如圖，在△ABC中，AC＝4cm，線段AB的垂直平分線交AB，AC于點M，N，△BCN的周長是7cm，則BC的長為（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm14．某地興建的幸福小區(qū)的三個出口A、B、C的位置如圖所示，物業(yè)公司計劃在不妨礙小區(qū)規(guī)劃的建設(shè)下，想在小區(qū)內(nèi)修建一個電動車充電樁，以方便業(yè)主，要求到三個出口的距離都相等，則充電樁應該在△ABC（）A．三條高線的交點處 B．三條中線的交點處 C．三個角的平分線的交點處 D．三條邊的垂直平分線的交點處15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，AB的垂直平分線MN交AC于D點，連接BD，則∠DBC的度數(shù)是（）?A．22° B．27° C．32° D．40°16．如圖，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分線交BC于點E，AC的垂直平分線交BC于點F，連接AE，AF，若BC＝10，則△AEF的周長是（）A．5 B．10 C．15 D．2017．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點P在AC上運動，點D在AB上，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接DE．（1）判斷DE與DP的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求線段DE的長．18．如圖所示，在△ABC中，AB，AC的垂直平分線分別交BC于D，E，垂足分別是M，N．（1）若△ADE的周長為6，求BC的長；（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度數(shù)．19．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線MN交AB于點D，交AC于點E，且AC＝15cm，△BCE的周長等于24cm．（1）求BC的長；（2）若∠A＝36°，并且AB＝AC．求證：BC＝BE．20．如圖，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于點F，AD⊥BC于點D，BD＝DE，連接AE．（1）若AE平分∠BAC，求∠C的度數(shù)；（2）若△ABC的周長為13cm，AC＝5cm，求CD的長．【考點7】線段垂直平分線和角平分線的作圖21．已知：如圖，∠AOB及M、N兩點．請你在∠AOB內(nèi)部找一點P，使它到角的兩邊和到點M、N的距離分別相等（保留作圖痕跡）．22．a(chǎn)，b分別代表鐵路和公路，點M、N分別代表蔬菜和雜貨批發(fā)市場．現(xiàn)要建中轉(zhuǎn)站O點，使O點到鐵路、公路距離相等，且到兩市場距離相等．請用尺規(guī)畫出O點位置，不寫作法，保留痕跡．【考點8】等腰三角形的性質(zhì)23．已知等腰三角形的兩條邊長分別為2和5，則它的周長為（）A．9 B．12 C．9或12 D．524．如圖，△ABC中，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，分別交AC、AB于D、E兩點，并連接BD、DE．若∠A＝30°，AB＝AC，則∠BDE的度數(shù)為（）A．67.5° B．52.5° C．45° D．75°．25．等腰三角形的一個角為50°，則頂角是（）度．A．65°或50° B．80° C．50° D．50°或80°26．如圖，△ABC中，AB＝AC，點D在AC邊上，且BD＝BC＝AD，則∠A的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．36° D．70°27．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D為線段BC上一動點（不與點B，C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E，以下四個結(jié)論：①∠CDE＝∠BAD；②當D為BC中點時，DE⊥AC；③當△ADE為等腰三角形時，∠BAD＝20°；④當∠BAD＝30°時，BD＝CE．其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．428．對于問題：如圖1，已知∠AOB，只用直尺和圓規(guī)判斷∠AOB是否為直角？小意同學的方法如圖2：在OA、OB上分別取C、D，以點C為圓心，CD長為半徑畫弧，交OB的反向延長線于點E，若測量得OE＝OD，則∠AOB＝90°．則小意同學判斷的依據(jù)是（）A．等角對等邊 B．線段中垂線上的點到線段兩段距離相等 C．垂線段最短 D．等腰三角形“三線合一”29．已知一個等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為（）A．50° B．130° C．50°或130° D．65°或130°30．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是點E、F，求證：DF＝DE．【考點9】等腰三角形的判定31．以下列各組數(shù)據(jù)為邊長，可以構(gòu)成等腰三角形的是（）A．1cm、2cm、3cm B．3cm、3cm、4cm C．1cm、3cm、1cm D．2cm、2cm、4cm32．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，∠CAD＝∠C，若AB＝5，AD＝2，則BC的長為（）A．6 B．7 C．8 D．933．如圖，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F，過點F作DE∥BC，交AB于點D，交AC于點E．若AB＝6，AC＝5，則△ADE的周長為（）A．10 B．11 C．12 D．1334．如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3，則CD等于（）?A．3 B．4 D．235．如圖，在由邊長為1的小正方形組成的5×5的網(wǎng)格中，點A，B在小方格的頂點上，要在小方格的頂點確定一點C，連接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．則方格圖中滿足條件的點C的個數(shù)有個．36．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直線BC或AC上取一點P，使得△ABP為等腰三角形，則符合條件的點的個數(shù)有（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點10】等腰三角形的判定與性質(zhì)37．已知：如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過D作直線平行于BC，交AB、AC于E、F．求證：（1）△DFC是等腰三角形；（2）EF＝BE+CF．【考點11】等邊三角形的性質(zhì)38．如圖，AD是等邊三角形ABC的中線，點E在AC上，AE＝AD，則∠EDC等于（）A．15° B．20° C．25° D．30°39．如圖，直線m∥n，△ABC是等邊三角形，頂點B在直線n上，直線m交AB于點E，交AC于點F，若∠1＝135°，則∠2的度數(shù)是（）A．75° B．95° C．105° D．135°40．如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為6，點E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點，分別過點E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是（）A．2 B．4 C．6 D．841．如圖，△ABC和△DEF都是等邊三角形，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，AC上，若△ABC的周長為15，AF＝2，則BE的長為（）A．2 B．3 C．4 D．542．一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏西40°的方向行駛40海里到達B地，再由B地向北偏西20°的方向行駛40海里到達C地，則A、C兩地相距（）A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里43．如圖，已知△ABC與△CDE都是等邊三角形，點B、C、D在同一條直線上，AD與BE相交于點G，BE與AC相交于點F，AD與CE相交于點H，連接FH．給出下列結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等邊三角形．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點12】等邊三角形的判定44．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為AB邊的中點，DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F，DE＝DF．求證：△ABC是等邊三角形．45．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．點D，E在BC邊上，且AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度數(shù)；（2）求證：△ADE是等邊三角形．46．在邊長為9的等邊三角形ABC中，點Q是BC上一點，點P是AB上一動點，以每秒1個單位的速度從點A向點B移動，設(shè)運動時間為t秒．（1）如圖1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如圖2，若點P從點A向點B運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從點B經(jīng)點C向點A運動，當t為何值時，△APQ為等邊三角形？【考點13】含30°角的直角三角形的性質(zhì)47．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，點P是BC邊上的動點，則AP長不可能是（）48．如圖在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，若∠A＝30°，BD＝2，則BC的長為（）A．4 B．4 C．8 D．16【考點14】將軍飲馬最短路徑問題49．如圖，等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，且AD＝4，E，P分別是AC，AD上的動點，則CP+EP的最小值等于（）A．4 B．6 C．8 D．950．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（） C．4 D．551．如圖，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點P是直線m上的一動點．若AB＝5，AC＝4，BC＝6，則△APC周長的最小值是（）A．9 B．10 D．1152．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，當△AMN周長最小時，則∠MAN的度數(shù)為（）A．a(chǎn) B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a(chǎn)﹣90°53．如圖，∠AOB＝30°，點D是它內(nèi)部一點，OD＝m．點E，F(xiàn)分別是OA，OB上的兩個動點，則△DEF周長的最小值為（）m B．m m D．2m一．選擇題（共18小題）1．在下列“綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水”四個標志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．三條公路將A、B、C三個村莊連成一個如圖的三角形區(qū)域，如果在這個區(qū)域內(nèi)修建一個公園，要使公園到三個村莊的距離相等，那么這個公園應建的位置是△ABC的（）A．三條高線的交點 B．三邊垂直平分線的交點 C．三條角平分線的交點 D．三條中線的交點3．在△ABC中，AB＝AC，若∠B＝60°，則△ABC的形狀為（）A．鈍角三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．不等邊三角形4．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中有四個格點A、B、C、D，以其中一點為原點，網(wǎng)格線所在直線為坐標軸建立直角坐標系，使其余三個點中存在兩個點關(guān)于一條坐標軸對稱，則原點是（）A．A B．B C．C D．D5．等腰三角形兩邊長分別為2和4，則這個等腰三角形的周長為（）A．6 B．8 C．10 D．8或106．在平面直角坐標系中，點P（﹣2，3）關(guān)于x軸對稱的點的坐標是（）A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）7．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A、B，連接AB，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得△ABC是等腰三角形，滿足條件的格點C的個數(shù)是（）A．5 B．6 C．8 D．98．已知：點A（m﹣1，3）與點B（2，n﹣1）關(guān)于x軸對稱，則（m+n）的值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．39．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，連接AE，若AE＝2，EC＝1，則BC的長是（）A．2 B．3 C．4 D．510．如圖，在△ABC中，∠C＝40°，將△ABC沿著直線l折疊，點C落在點D的位置，則∠1﹣∠2的度數(shù)是（）A．40° B．80° C．90° D．140°11．如圖，一棵樹在一次強臺風中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為（）A．6米 B．9米 C．12米 D．15米12．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，最小邊BC＝4cm，最長邊AB的長是（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4，則BC的長為（）A．4 B．8 C．12 D．1614．已知：△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底邊BC上的高，下面結(jié)論不一定成立的是（）A．BD＝CD B．BD＝AD C．AD平分∠BAC D．∠B＝∠C15．如圖，等邊三角形ABC與互相平行的直線a，b相交，若∠1＝15°，則∠2的大小為（）A．25° B．55° C．45° D．35°16．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F，過F作DE∥BC，交AB于點D，交AC于點E．若BD＝4，DE＝7，則線段EC的長為（）A．3 B．4 D．217．如圖，D為△AB