PAGEPAGE10ADDINCNKISM.UserStyle兩類曲面積分的關(guān)系及其應(yīng)用學(xué)生姓名：陶其亮學(xué)號(hào)：20231054126所在院系：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：李艷梅老師目錄TOC\o"1-3"\u摘要 3關(guān)鍵詞 3Abstract 3Keywords 3前言 41．預(yù)備知識(shí) 41.1兩類曲面積分的定義與相關(guān)性質(zhì) 4〔1〕第一型曲面積分的定義 4〔2〕第二型曲面積分的定義 4〔3〕兩類曲面積分的相關(guān)性質(zhì) 51.2兩類曲面積分的關(guān)系 52．兩類曲面積分關(guān)系的應(yīng)用 52.1將對(duì)坐標(biāo)的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)面積的曲面積分 52.2將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 103.小結(jié) 11參考文獻(xiàn) 11致謝 12ADDINCNKISM.UserStyle兩類曲面積分的關(guān)系及其應(yīng)用摘要：本文討論了兩類曲面積分的關(guān)系并給出了其應(yīng)用.關(guān)鍵詞：曲面，側(cè)，第一型曲面積分，第二型曲面積分TherelationshipbetweenthetwokindsofsurfaceintegralsanditsapplicationAbstract：Inthispaper,therelationshipbetweenthetwokindsofsurfaceintegralsarediscussedandtheapplicationsaregiven.Keywords：Thecurvedsurface;side;thefirsttypeofsurfaceintegral;thesecondtypeofsurfaceintegral0.前言在數(shù)學(xué)分析中第二型曲面積分的計(jì)算是一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題[1].假設(shè)空間區(qū)域是由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面所圍成，函數(shù)在上具有一階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么可以利用高斯公式計(jì)算第二型曲面積分[2].假設(shè)曲面在面上的投影為一條線，且被積函數(shù)及它們的一階偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的情況下，那么通常用直接投影法來(lái)處理[3].當(dāng)曲面的方程由參數(shù)形式給出時(shí)，可以用參數(shù)形式計(jì)算[4-7].當(dāng)然第二型曲面積分還可以利用stokes公式化為第二型曲線積分來(lái)計(jì)算[5～6].如果在上述方法都無(wú)法解決的情況下，我們可以考慮利用兩類曲面積分之間的關(guān)系計(jì)算第二型曲面積分[8].下面將探討兩類曲面積分的關(guān)系以及這種關(guān)系的應(yīng)用.1．預(yù)備知識(shí)1.1兩類曲面積分的定義與相關(guān)性質(zhì)〔1〕第一型曲面積分的定義定義1[9]設(shè)是空間中可求面積的曲面，為定義在上的函數(shù).對(duì)曲面作分割，它把分成個(gè)小曲面塊，以記小曲面塊的面積，分割的細(xì)度{的直徑}.在上任取一點(diǎn)，假設(shè)極限存在，且與分割及的取法無(wú)關(guān)，那么稱此極限為在上的第一型曲面積分，記作.〔2〕第二型曲面積分的定義定義2[9]設(shè)為定義在雙側(cè)曲面上的函數(shù).在所指定的一側(cè)作分割，它把分為個(gè)小曲面，分割的細(xì)度{的直徑}，以分別表示在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影區(qū)域的面積，它們的符號(hào)由的方向來(lái)確定.假設(shè)的法線正向與軸正向成銳角時(shí)，在平面的投影區(qū)域的面積為正.反之，假設(shè)法線正向與軸正向成鈍角時(shí)，它在平面的投影區(qū)域的面積為負(fù).在各個(gè)小曲面上任取一點(diǎn).假設(shè)存在，且與曲面的分割和在上的取法無(wú)關(guān)，那么稱此極限為函數(shù)在曲面所指定的一側(cè)上的第二型曲面積分，記作.〔3〕曲面積分的相關(guān)性質(zhì)(ⅰ)假設(shè)積分曲面關(guān)于具有輪換對(duì)稱性，那么.(ⅱ)[9]設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面圍成.假設(shè)函數(shù)，,在上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么=，其中取外側(cè).1.2曲面積分的關(guān)系定理1[9]：設(shè)曲面為光滑曲面，正側(cè)的法向量為，，，在上連續(xù)，那么有=.推論設(shè)光滑曲面的方程為，而，，在上連續(xù)，那么=.定理2[9]：設(shè)是定義在光滑曲面：，上的連續(xù)函數(shù)，以的上側(cè)為正側(cè)，那么=.2．兩類曲面積分關(guān)系的應(yīng)用2.1將對(duì)坐標(biāo)的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)面積的曲面積分例1把對(duì)坐標(biāo)的曲面積分化為對(duì)面積的曲面積分，其中：〔1〕是平面在第一卦限的局部的上側(cè)；〔2〕是拋物面在面上方的局部的上側(cè).解〔1〕平面上側(cè)的法向量為，其方向余弦為，，，于是=〔2〕因是拋物面在面上方的局部的上側(cè)，所以其法線向量應(yīng)取為，其方向余弦為，，于是==例2計(jì)算，為平面在第Ⅳ象限局部的上側(cè),其中為上的連續(xù)函數(shù).解由于是抽象函數(shù)，所以原曲面積分無(wú)法通過(guò)投影化為二重積分來(lái)計(jì)算；又因?yàn)楹瘮?shù)是連續(xù)函數(shù)，不一定有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以也不能應(yīng)用高斯公式，因此可考慮轉(zhuǎn)化為第一類曲面積分來(lái)計(jì)算.平面的法向量，那么，.====.例3計(jì)算曲面積分，其中，取上側(cè).解如果直接計(jì)算，需要把分別投影到和平面上，且積分需要分前側(cè)與后側(cè)，現(xiàn)在利用兩類曲面積分的關(guān)系，先轉(zhuǎn)化為第一型曲面積分，再統(tǒng)一計(jì)算二重積分.，，=======.例4計(jì)算出積分，其中為圓錐面介于，取外側(cè).解的方程為，選取外側(cè)，那么，.令,,.原式======.例5計(jì)算曲面積分，其中是旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面及之間的局部的下側(cè).解，,,令，，.原式======.例6計(jì)算，其中1〕是頂點(diǎn)為，，的三角形的下側(cè).2〕是的外側(cè).解1〕因曲面的方程為或，關(guān)于為輪換對(duì)稱，有.由對(duì)稱性，只需計(jì)算，由于取的是的下側(cè)，所以法向量為.在平面上的投影為，于是有==，.2)外側(cè)的單位法向量為，得，，.這是因?yàn)榈姆匠讨袚Q為形式不變，而被積函數(shù)將換為要變號(hào)，于是有.同理其余兩個(gè)積分為零，最后得.2.2將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)坐標(biāo)的曲面積分利用第一型曲面積分與第二型曲面積分之間的關(guān)系，可以把第一類曲面積分轉(zhuǎn)化為第二類曲面積分計(jì)算，即=,其中，，和是有向曲面處于點(diǎn)處的法向量的方向余弦.例7求，其中為上半球面取下側(cè).解將第一型曲面積分化為第二型曲面積分，表示上半球面的下側(cè)，這時(shí)法線與軸成鈍角，,故====.例8計(jì)算，其中曲面為.解將所圍成的空間閉區(qū)域記為.令，那么選取在任一點(diǎn)處的外法向量為，將其單位化為而此時(shí)====，====,故有.3.小結(jié)在計(jì)算兩類曲面積分的過(guò)程中，假設(shè)常用方法比擬困難或者無(wú)法計(jì)算時(shí)，可以考慮用兩類曲面積分的關(guān)系計(jì)算兩類曲面積分.參考文獻(xiàn)[1]趙艷輝.第二型曲面積分的計(jì)算[J].湖南科技學(xué)院學(xué)報(bào),2023,34(8):5-8.[2]柴春紅.第二類曲面積分的計(jì)算方法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),2023,7(2):32-33.[3]景慧麗.第二類曲面積分的計(jì)算方法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2023,14(4):87-91.[4]甘泉.第二型曲面積分的參數(shù)形式計(jì)算[J].高等數(shù)學(xué)研究,2023,13(1):85-87.[5]吳燕.第二類曲面積分的五種求法[J].考試周刊,2023,33(1):72-73.[6]張?jiān)破G.第二型曲面積分計(jì)算的幾種方法及應(yīng)用[J].泰山學(xué)院學(xué)報(bào),2023,26(6):36-39.[7]楊孝先.計(jì)算第二型曲面積分的實(shí)例分析[J].高等數(shù)學(xué)研究,2001,4(1):34-36.[8]孟慶賢.第二型曲面積分與曲面無(wú)關(guān)性[J].河北民族師范學(xué)院學(xué)報(bào),1994,S2:114-115.[9]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析〔下冊(cè)〕