第六章相關(guān)與回歸分析

(CorrelationandRegression)060120180施氮量(kgN/ha)2468植物的生長量學習目的1.相關(guān)與回歸的概念；2.直線相關(guān)與直線回歸分析；3.多重線性回歸分析。學習內(nèi)容1.直線相關(guān)2.秩相關(guān)3.直線回歸4.曲線回歸5.多重線性回歸第一節(jié)直線相關(guān)一、相關(guān)關(guān)系的概念相關(guān)關(guān)系變量之間的依存關(guān)系確定性、嚴格的依存關(guān)系

函數(shù)關(guān)系不確定、不規(guī)則

的依存關(guān)系，宏觀關(guān)系相關(guān)關(guān)系的特點：（1）現(xiàn)象之間確實存在數(shù)量上的依存關(guān)系。（2）現(xiàn)象之間數(shù)量上的依存關(guān)系不是確定的。

聯(lián)系（1）本來具有函數(shù)關(guān)系的變量，當在觀測誤差時，其函數(shù)關(guān)系往往以相關(guān)的形式表現(xiàn)出來。（2）如果我們對所研究對象有更深入的認識，便可以將影響因素全部納入方程，使之成為函數(shù)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系存在區(qū)別，但在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)換的。區(qū)別：（1）兩變量之間的關(guān)系是否確定（2）是否可用數(shù)學公式表式直線相關(guān)又稱簡單線性相關(guān)，是描述兩變量間是否有線性關(guān)系以及線性關(guān)系的方向和密切程度的統(tǒng)計分析方法。直線相關(guān)用于雙變量正態(tài)分布資料，兩變量之間的直線相關(guān)關(guān)系用相關(guān)系數(shù)來描述。樣本相關(guān)系數(shù)用r表示，總體相關(guān)系數(shù)用ρ表示。（一）相關(guān)關(guān)系的種類按相關(guān)的程度，可分為完全相關(guān)不完全相關(guān)不相關(guān)正相關(guān)負相關(guān)線性相關(guān)非線性相關(guān)單相關(guān)復相關(guān)按涉及變量的多少，可分為按相關(guān)的形式，可分為按相關(guān)的方向，可分為按相關(guān)的程度按相關(guān)程度劃分完全相關(guān)：當一種現(xiàn)象的數(shù)量變化完全由另一個現(xiàn)象的數(shù)量變化所確定時，這兩種現(xiàn)象間的關(guān)系為完全相關(guān)。即函數(shù)關(guān)系。不完全相關(guān)：兩個現(xiàn)象之間的關(guān)系介于完全相關(guān)和不相關(guān)之間，稱為不完全相關(guān)。不相關(guān)：當兩個現(xiàn)象彼此互不影響，其數(shù)量變化各自獨立時，稱為不相關(guān)。如：股票價格的高低與氣溫的高低是不相關(guān)的。直線相關(guān)按相關(guān)方向劃分正相關(guān)：當一個現(xiàn)象的數(shù)量由小變大，另一個現(xiàn)象的數(shù)量也相應由小變大，這種相關(guān)稱為正相關(guān)。如工人的工資隨勞動生產(chǎn)率的提高而增加。

負相關(guān)：當一個現(xiàn)象的數(shù)量由小變大，而另一個現(xiàn)象的數(shù)量相反地由大變小，這種相關(guān)稱為負相關(guān)。如商品流轉(zhuǎn)的規(guī)模越大，流通費用水平則越低。按相關(guān)形式劃分線性相關(guān)：當兩種相關(guān)現(xiàn)象之間的關(guān)系大致呈現(xiàn)為線性關(guān)系時，稱之為線性相關(guān)。如人均消費水平與人均收入水平通常呈線性關(guān)系。非線性相關(guān)：如果兩種相關(guān)現(xiàn)象之間，并不表現(xiàn)為直線的關(guān)系，而是近似于某種曲線方程的關(guān)系，則這種相關(guān)關(guān)系稱為非線性相關(guān)。如產(chǎn)品的平均成本與產(chǎn)品總產(chǎn)量之間的相關(guān)關(guān)系就是一種非線性關(guān)系。按變量多少劃分單相關(guān)：一個變量對另一個變量的相關(guān)關(guān)系，稱為單相關(guān)。

復相關(guān)：當所研究的是一個變量對兩個或兩個以上其他變量的相關(guān)關(guān)系時，稱為復相關(guān)。如某種商品的需求與其價格水平及人們收入水平之間的相關(guān)關(guān)系就是一種復相關(guān)。

散點圖直觀的說明直線相關(guān)的性質(zhì)（二）相關(guān)系數(shù)

定量描述兩變量間直線相關(guān)方向和密切程度的統(tǒng)計指標。以兩變量與各自平均值的離均差為基礎(chǔ)。積差相關(guān)系數(shù)（Product-momentcorrelationcoefficient）Pearson相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)。參數(shù)統(tǒng)計。-1≤r≤1符號→相關(guān)方向絕對值→密切程度r>0：正相關(guān)。r<0：負相關(guān)。r＝0：零相關(guān)。非線性相關(guān)or無相關(guān)。不服從雙變量正態(tài)分布→變量變換→正態(tài)化→Pearson積差相關(guān)系數(shù)。二、相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗r估計總體相關(guān)系數(shù)ρ，當r≠0時，因為存在抽樣誤差，不能認為ρ≠0，需要檢驗樣本相關(guān)關(guān)系是否來自ρ＝0的總體。相關(guān)系數(shù)采用t檢驗方法,df=n-2

三、直線相關(guān)分析步驟1.雙變量正態(tài)性檢驗：x、y是否滿足正態(tài)性2.散點圖:直線趨勢→直線回歸、曲線趨勢→曲線方程。3.計算r：4.r的假設(shè)檢驗：四、注意事項1.選擇合適的回歸模型:在計算相關(guān)系數(shù)之前先用散點圖觀察兩變量之間是否有線性聯(lián)系，曲線聯(lián)系時不能用直線相關(guān)分析。2.X,Y中任意一個變量的數(shù)值是認為選定時不應作直線相關(guān)分析。3.做相關(guān)分析時，要剔除異常點（離群值）4.專業(yè)上要有意義：兩變量相關(guān)并不代表兩變量之間一定存在內(nèi)在聯(lián)系，如兒童身高與小樹樹高計算得的相關(guān)系數(shù)。5.分層資料不要盲目合并作直線相關(guān)分析：如不同年齡人群體重與年齡的關(guān)系，以自變量的觀測范圍為限，隨意外延。表9-1某地10名三歲兒童的體重與體表面積數(shù)據(jù)P111【SPSS操作】以“（胰島素）”、“（血糖）”為變量名，建立2列20行數(shù)據(jù)集li0601.sav。

（1）正態(tài)性檢驗：Analyze

→

DescriptiveStatistics→explore

→胰島素、血糖入Dependentvariable→plots→Nomalityplotswithtests

→OK（2）作散點圖：Graphs（繪圖）→LegacyDialogs→Scatter/Dot（散點圖）→SimpleScatter→Define,“血糖”→YAxis（軸）框，“胰島素”→XAxis（軸）框,→OK。（3）線性相關(guān)

Analyze→Correlate→Bivariate，血糖”與“胰島素”→Variables→Pearson→Two-tailed→OK。第二節(jié)

等級相關(guān)（秩相關(guān)）

等級相關(guān)是一種非參數(shù)統(tǒng)計的方法。條件：①雙變量中的一個或兩個不服從正態(tài)分布；②總體分布類型不知；③用等級或相對數(shù)表示的資料；④數(shù)據(jù)一端或兩端有不確定值。方法：Kendall法：等級相關(guān)系數(shù)rkSpearman法：等級相關(guān)系數(shù)rsrk和rs的取值范圍和意義同r，都需進行檢驗。取值范圍都在-1到1之間。需要做總體相關(guān)系數(shù)等于0的假設(shè)檢驗。等級相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗用z檢驗。P112【SPSS操作】以“血小板數(shù)”和“出血癥狀”為變量名，建立2列12行數(shù)據(jù)集li0602.sav。

Analyze→Correlate→Bivariate，“血小板數(shù)”、“出血癥狀”→Variables框，在CorrelationCoefficients選項下選擇復選框Spearman，在TestofSignificance下選中Two-tailed→OK。

第三節(jié)直線回歸

對具有高度相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象，根據(jù)其相關(guān)的形態(tài)，建立一個適宜的數(shù)學模型（回歸方程），來近似地反映變量之間的一般變化關(guān)系，利用所建立的數(shù)學模型進行估計和預測，這個數(shù)學模型就是回歸方程。自變量與因變量在回歸分析中，需要搞清是哪一個變量的變動影響另一個變量的變動，即分清自變量和因變量。起影響作用的變量叫自變量，用X表示；由于自變量的變動而發(fā)生對應變化的變量叫因變量，用Y表示。研究一個自變量與一個因變量，且這兩個變量之間呈直線關(guān)系的回歸分析成為直線回歸分析。研究多個自變量與一個因變量，且這些變量之間呈直線關(guān)系的回歸分析成為多重線性回歸分析。相關(guān)分析與回歸分析相關(guān)分析就是用一個指標來表明現(xiàn)象間相互依存關(guān)系的密切程度。回歸分析就是根據(jù)相關(guān)關(guān)系的具體形態(tài)，選擇一個合適的數(shù)學模型，來近似地表達變量間的平均變化關(guān)系。

區(qū)別

①相關(guān)分析所研究的變量是對等關(guān)系；回歸分析所研究的兩個變量不是對等關(guān)系。②對兩個變量來說，相關(guān)分析只能計算出一個相關(guān)系數(shù)，而回歸分析，可分別建立兩個不同的回歸方程。③相關(guān)分析要求兩個變量都必須是隨機的，而回歸分析的要求，自變量是給定的，因變量是隨機的。一、直線回歸的模型

一元線性回歸模型是最簡單的回歸模型，又稱為簡單線性回歸或簡單回歸：只有一個自變量的直線回歸。在一元線性回歸模型中，X為可以精確測定和控制的變量，且當X取得某確定值時，對應的Y值相互獨立，服從正態(tài)分布。圖6-8簡單線性回歸統(tǒng)計學模型μy=α+βx總體回歸方程樣本直線回歸方程

a：截距（intercept）。b：斜率（slope），回歸系數(shù)

x每改變1個單位時y平均改變b個單位。b>0表示自變量↑應變量↑，直線上升。│b│↑→越陡→y隨x變化率大。b=0，表示回歸直線與X軸平行，即X與Y無直線關(guān)系。二、直線回歸分析的應用條件：1、XY具有線性相關(guān)關(guān)系2、對于每一個確定的X，相應的Y值間獨立3、Y值具有正態(tài)性。4、對于任意一組自變量值，因變量Y具有相同的方差三、直線回歸方程的建立、檢驗與應用

1.建立：最小二乘法原則，使各個實測點到回歸直線縱向距離的平方和最小。a，b的計算公式由此推導出來。

2.應用：在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)。3.檢驗：用樣本數(shù)據(jù)建立的直線回歸方程是樣本方程，樣本方程是否能在總體上反