17.4直角三角形全等的判定

探索并掌握直角三角形全等的判定定理的證明和簡(jiǎn)單的應(yīng)用；（重點(diǎn)）會(huì)利用基本作圖完成：已知一直角邊和斜邊作直角三角形；（重點(diǎn)）初步養(yǎng)成綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，進(jìn)一步提高推理能力；（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)123新課導(dǎo)入想一想，填一填：復(fù)習(xí)圖形條件是否能判定三角形全等三邊相等（SSS）兩邊和它們夾角相等（SAS）兩角和它們的夾邊相等（ASA）兩角和一角的對(duì)邊相等（AAS）ABCA'B'C'√√√√

舞臺(tái)背景的形狀是兩個(gè)直角三角形，工作人員帶了量角器和卷尺，他想知道兩個(gè)直角三角形是否全等，但每個(gè)三角形都有一條直角邊被花盆遮住,無法測(cè)量你能用已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)幫他想個(gè)辦法嗎？生活中的數(shù)學(xué)新課導(dǎo)入問題1.1

兩個(gè)直角三角形中，斜邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？ABCA'B'C'全等，AAS合作探究問題1.2

兩個(gè)直角三角形中，有一條直角邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？ABCA'B'C'全等，ASA合作探究問題1.3

兩個(gè)直角三角形中，兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？ABCA'B'C'全等，SAS合作探究問題1.4

兩個(gè)直角三角形中，兩邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？如何證明？ABCA'B'C'已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.

求證：△ABC≌△A′B′C′.

合作探究ABCA'B'C'

證明：在△ABC和△A′B′C′中，∵∠C=90°，∠C′=90°，∴BC2=AB2－AC2，B′C′2=A′B′2－A′C′2(勾股定理).∵AB=A′B′，AC=A′C′，∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).合作探究直角三角形全等的判定定理文字語(yǔ)言：

斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.ABCA′B′C′幾何語(yǔ)言：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB=A′B′,BC=B′C′,∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).僅適合直角三角形知識(shí)講解在使用“HL”時(shí),同學(xué)們應(yīng)注意什么?“HL”是僅適用于直角三角形的特殊方法.注意對(duì)應(yīng)相等.因?yàn)椤盚L”僅適用直角三角形,書寫格式應(yīng)為:∵在Rt△ABC與Rt△DEF中AB=DEAC=DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)ABCDEF知識(shí)講解判斷直角三角形全等條件三邊對(duì)應(yīng)相等SSS一銳角和它的鄰邊對(duì)應(yīng)相等

ASA兩銳角和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等

AAS兩直角邊對(duì)應(yīng)相等SAS斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等

HL直角三角形是特殊的三角形，所以不僅有一般三角形判定全等的方法，還有直角三角形特有的判定方法“HL”.你能夠用哪幾種方法說明兩個(gè)直角三角形全等？我們應(yīng)根據(jù)具體問題的實(shí)際情況選擇判斷兩個(gè)直角三角形全等的方法.知識(shí)講解判斷滿足下列條件的兩個(gè)直角三角形是否全等，不全等的畫“×”，全等的注明理由：（1）兩個(gè)銳角和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等；（）（2）一個(gè)銳角和這個(gè)角的鄰邊對(duì)應(yīng)相等；（）（3）一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等；

（）（4）兩直角邊對(duì)應(yīng)相等；（）（5）一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等．（）HL×SASAASAAS★練一練利用“HL”判定直角三角形全等例1.已知一直角邊和斜邊，用尺規(guī)作直角三角形.

已知：如圖，線段a，c.

求作：△ABC，使∠C=90°，BC=a，AB=c.ac分析：首先作出邊BC,由∠C為直角可以作出另一直角邊所在的射線，由AB=c可以確定點(diǎn)A。例題講解作法：（1）作線段CB=a，（2）過點(diǎn)C，作MC⊥CB.（3）以B為圓心，c為半徑畫弧，交CM于點(diǎn)A,（4）連接AB.CMBA畫法一例題講解ac畫法：1.畫∠MCN=90°.3.以B為圓心，c為半徑畫弧，交射線CN于點(diǎn)A.4.連接AB.△ABC就是所要畫的直角三角形.MCNaBcA2.在射線CM上取CB=a.畫法二例題講解例2.已知：如圖，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C，D，且PC=PD.求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.ABCDOP例題講解證明：如圖，作射線OP.∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴∠PCO=∠PDO=90°.在Rt△OPC和Rt△OPD中，∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL).∴∠POA=∠POB.∴OP是∠AOB的平分線，即點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.ABCDOP例題講解

例3.如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求證：BC﹦AD.證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C與∠D都是直角.

AB=BA,

AC=BD

.在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC﹦AD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).ABDC應(yīng)用“HL”的前提條件是在直角三角形中.這是應(yīng)用“HL”判定方法的書寫格式.利用全等證明兩條線段相等，這是常見的思路.例題講解1、如圖，∠C=∠D=90°，添加一個(gè)條件，可使用“HL”判定Rt△ABC與Rt△ABD全等，以下給出的條件適合的是(

)A.AC=ADB.AB=ABC.∠ABC=∠ABDD.∠BAC=∠BAD★練一練2、如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，那么下列各條件中，不能使Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的是(

)A.AB=A′B′=5,BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5,BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5,∠A=∠A′=40°BACB'A'C'AB當(dāng)堂檢測(cè)1.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)

E

，AD、CE交于點(diǎn)H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，則

CH的長(zhǎng)為(

)A．1B．2C．3D．42.如圖，在△ABC中，∠C=90°,DE⊥AB于點(diǎn)E，DE=DC,若AC=6，則AD+DE等于(

)A.7B.6C.5D.4ACBDEAHB當(dāng)堂檢測(cè)3.如圖，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為點(diǎn)D，E，BE與CD相交于點(diǎn)O，且OB=OC，有下列結(jié)論：①∠1=∠2;②△ADO≌△AEO;③△BOD≌△COE;④圖中有四組三角形全等.其中正確的個(gè)數(shù)有______個(gè).4當(dāng)堂檢測(cè)4.如圖，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求證：△EBC≌△DCB.ABCED證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BEC=∠BDC=90°.在Rt△EBC

和Rt△DCB

中，CE=BD,

BC=CB

.

∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL).5.如圖，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點(diǎn)分別在線段AC上和過A點(diǎn)且垂直于AC的射線AQ上運(yùn)動(dòng)，問P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC上什么位置時(shí)△ABC才能和△APQ全等？【分析】本題要分情況討論：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此時(shí)AP＝BC＝5cm，可據(jù)此求出P點(diǎn)的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此時(shí)AP＝AC，P、C重合．當(dāng)堂檢測(cè)解：(1)當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AP＝BC時(shí)，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；當(dāng)堂檢測(cè)(2)當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與C點(diǎn)重合時(shí)，AP＝AC.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴當(dāng)AP＝5cm或10cm時(shí)，△ABC才能和△APQ全等．【注意】判定三角形全等的關(guān)鍵是找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，由于本題沒有說明全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，因此要分類討論，以免漏解．直角三角形全等的證明（HL）內(nèi)容斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.前提條件在直角三角形中使用方法只須找除直角外的兩個(gè)條件即可（兩個(gè)條件中至少有一個(gè)條件是一對(duì)對(duì)應(yīng)邊相等）課堂小結(jié)16.4中心對(duì)稱圖形

了解中心對(duì)稱圖形的概念，會(huì)識(shí)別常見的中心對(duì)稱圖形.（重點(diǎn)）了解中心對(duì)稱的概念，掌握中心對(duì)稱的性質(zhì).（難點(diǎn)）理解并掌握中心對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系.學(xué)習(xí)目標(biāo)123一、中心對(duì)稱圖形與成中心對(duì)稱的圖形知識(shí)講解觀察與思考：（1）觀察下面幾幅圖，將它們分別繞著各圖中標(biāo)注的“中心點(diǎn)”旋轉(zhuǎn)180°后，能不能與它們自身重合？能（2）如圖，已知線段AB和它的中心點(diǎn)O.當(dāng)線段AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后，這條線段能不能與它自身重合？

（3）你還能舉出具有上述特征的例子嗎？能平行四邊形、矩形等知識(shí)講解1.中心對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與它自身重合，我們就把這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形；這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心；其中的點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn).條件：①旋轉(zhuǎn)180°②能與原圖形重合知識(shí)講解做一做如圖，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)A，C，F(xiàn)，D在同一直線上，點(diǎn)O為線段CF的中點(diǎn)，AC=DF,BC=EF,∠ACB=∠DFE.將△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后，它能與△DEF重合嗎？如果能重合，那么線段AB，AC和BC分別與哪些線段重合？能AB與DE重合，AC與DF重合，BC與EF

重合知識(shí)講解2.成中心對(duì)稱：如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與另一個(gè)圖形重合，那么就把這兩個(gè)圖形叫做成中心對(duì)稱.這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心.C'ABCA'B'O知識(shí)講解思考：中心對(duì)稱圖形與成中心對(duì)稱有什么關(guān)系？如果把成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形看做整體，則它就是中心對(duì)稱圖形；同樣，中心對(duì)稱圖形也可以看做兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱.知識(shí)講解

中心對(duì)稱圖形與成中心對(duì)稱有什么區(qū)別和聯(lián)系？名稱成中心對(duì)稱中心對(duì)稱圖形定義聯(lián)系把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180

后與另一個(gè)圖形重合，那么就把這兩個(gè)圖形叫做成中心對(duì)稱.如果一個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180

后能與它自身重合,這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形.若把中心對(duì)稱圖形的兩部分分別看作兩個(gè)圖形，則它們成中心對(duì)稱，若把成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，則成為中心對(duì)稱圖形.知識(shí)講解√(1)(2)(3)√1.判斷：下列窗花哪些是中心對(duì)稱圖形？×練一練知識(shí)講解2.等邊三角形是中心對(duì)稱圖形嗎？O不是

練一練知識(shí)講解

3.如圖是一塊平行四邊形草地，要在上面修建一條小路，使得草地被小路分成面積相等的兩部分，修路的方法有幾種？過對(duì)稱中心的任意一條直線都可以將中心對(duì)稱圖形分成面積相等的兩部分

練一練知識(shí)講解1.中心對(duì)稱圖形與圖形的旋轉(zhuǎn)之間有什么關(guān)系？中心對(duì)稱是旋轉(zhuǎn)的特例，即旋轉(zhuǎn)了180°，因此旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)同樣適用中心對(duì)稱.二、中心對(duì)稱的性質(zhì)思考：知識(shí)講解思考：2.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，結(jié)合圖形，說說中心對(duì)稱有哪些性質(zhì)？C'ABCA'B'O注：關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱的點(diǎn)、線段、角分別叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角.知識(shí)講解（1）△ABC與△A'B'C'的關(guān)系是_______.(2)對(duì)應(yīng)線段的大小關(guān)系是______.位置關(guān)系是_______________________.(3)對(duì)應(yīng)角的關(guān)系是_______.全等相等相等C'ABCA'B'O平行或在同一直線上（4）對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線AA',BB',CC'與對(duì)稱中心的關(guān)系是__________________________________.經(jīng)過對(duì)稱中心，并被對(duì)稱中心平分知識(shí)講解

如果兩個(gè)圖形關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱，那么，這兩個(gè)圖形是全等形，它們的對(duì)應(yīng)線段相等，且互相平行或在同一直線上，對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分.結(jié)論：知識(shí)講解1.如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連成的線段都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被該點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形一定關(guān)于這點(diǎn)成____________.中心對(duì)稱2.已知A,B,O三點(diǎn)不共線，AA'關(guān)于O對(duì)稱，BB'關(guān)于O對(duì)稱，那么線段AB與A'B'的關(guān)系是____________.相等且平行練一練知識(shí)講解AOA'（1）連接AO，（2）延長(zhǎng)AO至點(diǎn)A'，使OA'=OA，問題1.

已知點(diǎn)A和點(diǎn)O，畫出點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A'.點(diǎn)A'即為所求.三、作成中心對(duì)稱的圖形知識(shí)講解問題2.

已知線段AB和點(diǎn)O，畫出線段AB關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱線段A'B'

.B'A'ABO只需做出兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)A,B的對(duì)稱點(diǎn)，連接即可.知識(shí)講解問題3.

如圖，選擇點(diǎn)O為對(duì)稱中心,畫出與△ABC關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的△A'B'C'.A′C′B′BACO只需做出三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)A

,B,C的對(duì)稱點(diǎn)，順次連接即可.知識(shí)講解應(yīng)用這種方法，只要給出對(duì)稱中心，我們可以畫任意多邊形的成中心對(duì)稱的圖形.對(duì)稱中心點(diǎn)的常見位置：OOOO在圖形外在圖形頂點(diǎn)在圖形邊上在圖形內(nèi)總結(jié)知識(shí)講解隨堂訓(xùn)