淺析動(dòng)態(tài)規(guī)劃及其應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種重要的算法設(shè)計(jì)策略，在計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用。本文將對(duì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的概念、基本思路以及典型應(yīng)用做一個(gè)簡(jiǎn)要介紹。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的概念動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種通過(guò)刻畫(huà)問(wèn)題的階段性結(jié)構(gòu)，并分階段進(jìn)行求解的數(shù)學(xué)方法。通俗地講，就是將問(wèn)題分解成一系列子問(wèn)題，然后針對(duì)每個(gè)子問(wèn)題分別設(shè)計(jì)一個(gè)解決方案，最后整合這些子問(wèn)題的解決方案得到原問(wèn)題的解決方案。定義一個(gè)問(wèn)題可以用一個(gè)狀態(tài)表示。動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想中的“動(dòng)態(tài)”，是指狀態(tài)的變化，所以說(shuō)動(dòng)態(tài)規(guī)劃依賴(lài)于狀態(tài)的定義，而狀態(tài)的設(shè)計(jì)是動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題中最為關(guān)鍵的一步。做好了狀態(tài)的設(shè)計(jì)，就可以根據(jù)問(wèn)題的特征，找到動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)移方程，然后用迭代的方式來(lái)求解問(wèn)題的最優(yōu)解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思路動(dòng)態(tài)規(guī)劃一般遵循以下幾個(gè)步驟：1.定義狀態(tài)：針對(duì)問(wèn)題，定義狀態(tài)表示問(wèn)題的最優(yōu)解。2.設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)移方程：根據(jù)狀態(tài)設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)移方程，表示由前一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到后一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移條件。3.確定初始狀態(tài)：一般情況下，問(wèn)題的初始狀態(tài)是已知的，如在求解斐波那契數(shù)列的問(wèn)題中，初始狀態(tài)是F(0)和F(1)。4.確定邊界條件：邊界條件表示問(wèn)題的邊界情況，也就是問(wèn)題無(wú)法再分解的情況，如在求解斐波那契數(shù)列的問(wèn)題中，邊界條件是F(0)=0和F(1)=1。5.迭代求解：根據(jù)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移方程，利用前一個(gè)狀態(tài)得到后一個(gè)狀態(tài)，在迭代的過(guò)程中求解問(wèn)題的最優(yōu)解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的典型應(yīng)用1.背包問(wèn)題在背包問(wèn)題中，給定一個(gè)背包容量C和一組物品，每個(gè)物品有一個(gè)重量w和一個(gè)價(jià)值v。問(wèn)如何在不超過(guò)背包容量的情況下，選擇一些物品放入背包中，使得這些物品的總價(jià)值最大。在這個(gè)問(wèn)題中，可以定義狀態(tài)dp[i][j]表示前i個(gè)物品總重量不超過(guò)j時(shí)的最大價(jià)值。轉(zhuǎn)移方程是：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])其中，dp[i-1][j]表示不選第i個(gè)物品，dp[i-1][j-w[i]]+v[i]表示選了第i個(gè)物品。根據(jù)轉(zhuǎn)移方程，最終得到dp[n][C]為問(wèn)題的最優(yōu)解。2.最長(zhǎng)公共子序列問(wèn)題在字符串處理中，最長(zhǎng)公共子序列問(wèn)題指的是求解兩個(gè)字符串中的最長(zhǎng)公共子序列長(zhǎng)度。在這個(gè)問(wèn)題中，可以定義狀態(tài)dp[i][j]表示第一個(gè)字符串前i個(gè)字符和第二個(gè)字符串前j個(gè)字符的最長(zhǎng)公共子序列長(zhǎng)度。轉(zhuǎn)移方程是：dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1(當(dāng)i>j且第i個(gè)字符等于第j個(gè)字符)dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])(其他情況)其中，dp[i-1][j-1]+1表示兩個(gè)字符串的第i個(gè)和第j個(gè)字符匹配，此時(shí)需要在i-1和j-1的基礎(chǔ)上加上一個(gè)匹配字符。dp[i-1][j]和dp[i][j-1]表示兩個(gè)字符串的第i個(gè)和第j個(gè)字符不匹配，此時(shí)需要從第一個(gè)字符串或者第二個(gè)字符串中去掉一個(gè)字符。最終得到dp[m][n]為問(wèn)題的最優(yōu)解，其中m和n分別為兩個(gè)字符串的長(zhǎng)度。3.最小編輯距離問(wèn)題在字符串處理中，最小編輯距離問(wèn)題指的是求解把一個(gè)字符串變成另一個(gè)字符串的最少編輯次數(shù)。編輯操作包括插入、刪除、替換三種方式。在這個(gè)問(wèn)題中，可以定義狀態(tài)dp[i][j]表示將第一個(gè)字符串前i個(gè)字符變成第二個(gè)字符串前j個(gè)字符的最少編輯次數(shù)。轉(zhuǎn)移方程是：dp[i][j]=dp[i-1][j-1](當(dāng)?shù)趇個(gè)字符等于第j個(gè)字符)dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i][j-1])+1(其他情況)其中，dp[i-1][j-1]表示替換第i個(gè)字符為第j個(gè)字符，dp[i-1][j]表示在第一個(gè)字符串中刪除第i個(gè)字符，dp[i][j-1]表示在第一個(gè)字符串中插入第j個(gè)字符。最終得到dp[m][n]為問(wèn)題的最優(yōu)解，其中m和n分別為兩個(gè)字符串的長(zhǎng)度。結(jié)論動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法特別適用于具有重疊子問(wèn)題和最優(yōu)子結(jié)構(gòu)