數(shù)字濾波器“電氣工程、自動化專業(yè)系列教材信號分析與處理第五章01數(shù)字濾波器的基市概念數(shù)字濾波器的基市概念數(shù)字信號處理(DigitalSignalProcessing，DSP)是一門涉及許多學(xué)科而又廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域的新興學(xué)科。數(shù)字信號處理是圍繞數(shù)字信號處理的理論、實現(xiàn)和應(yīng)用等方面發(fā)展起來的。數(shù)字信號處理是以眾多學(xué)科為理論基礎(chǔ)的，它所涉及的范圍極其廣泛。例如，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，微積分、概率統(tǒng)計、隨機過程、數(shù)值分析等都是數(shù)字信號處理的基本工具。數(shù)字信號處理與網(wǎng)絡(luò)理論、信號與系統(tǒng)、控制論、通信理論、故障診斷信號處理等也密切相關(guān)。一些新興的學(xué)科，如人工智能、模式識別、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，都與數(shù)字信號處理密不可分?？梢哉f，數(shù)字信號處理把許多經(jīng)典的理論體系作為自己的理論基礎(chǔ)，同時使自已成為一系列新興學(xué)科的基礎(chǔ)工具。數(shù)字濾波器的基市概念語音處理領(lǐng)域：語音編碼、語音合成、語音識別、語音增強、語音郵件、語音存儲等。圖像/圖形領(lǐng)域：二維和三維圖形的處理、圖像壓縮與傳輸、圖像識別、動畫、機器人視覺、多媒體、電子地圖、圖像增強等。軍事領(lǐng)域：保密通信、雷達(dá)處理、聲吶處理、衛(wèi)星導(dǎo)航、全球衛(wèi)星定位、跳頻電臺、搜索和反搜索等。儀器儀表領(lǐng)域:頻譜分析、函數(shù)發(fā)生、數(shù)據(jù)采集、地震處理等。數(shù)字濾波器的基市概念語音處理領(lǐng)域：語音編碼、語音合成、語音識別、語音增強、語音郵件、語音存儲等。自動控制領(lǐng)域:控制、深空作業(yè)、自動駕駛、機器人控制、磁盤控制等。醫(yī)療領(lǐng)域:助聽、超聲設(shè)備、診斷工具、病人監(jiān)護(hù)、心電圖等。家用電器領(lǐng)域:數(shù)字音響、數(shù)字電視、可視電話、音樂合成、音調(diào)控制、玩具與游戲等。數(shù)字濾波器的基市概念生物醫(yī)學(xué)信號處理舉例:CT:計算機X射線斷層攝影裝置。其中，發(fā)明頭顱CT英國EMI公司的豪斯?fàn)柕芦@諾貝爾獎。心電圖分析:心電圖(ECG)是心臟在每個心動周期中，由起搏點、心房、心室相繼興奮，伴隨著生物電的變化，通過心電描記器從體表引出多種形式的電位變化的圖形。心電圖分析可以用來診斷是否有心臟疾病。數(shù)字濾波器的基市概念長期以來，信號處理技術(shù)一直用于轉(zhuǎn)換或產(chǎn)生模擬信號或數(shù)字信號。其中，應(yīng)用得最頻繁的領(lǐng)域就是信號的濾波。此外，從數(shù)字通信、語音、音頻和生物醫(yī)學(xué)信號處理到檢測儀器儀表和機器人技術(shù)等許多領(lǐng)域，都廣泛地應(yīng)用了數(shù)字信號處理技術(shù)。數(shù)字信號處理已經(jīng)發(fā)展成為一項成熟的技術(shù)，并且在許多應(yīng)用領(lǐng)域，數(shù)字信號處理系統(tǒng)逐步代替了傳統(tǒng)的模擬信號處理系統(tǒng)。數(shù)字濾波器的基市概念信號處理最廣泛的應(yīng)用是濾波。數(shù)字濾波是指輸入信號、輸出信號均為離散時間信號利用離散系統(tǒng)特性對輸入信號進(jìn)行加工和變換，改變輸入序列的頻譜或信號波形，使有用頻率的信號分量通過，抑制無用頻率的信號分量輸入的方法?；蛘哒f是，通過一定的運算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的算法。因此，從概念上說，數(shù)字濾波與模擬濾波相似，只是信號的類型和實現(xiàn)方法不同。數(shù)字濾波器相對模擬濾波器而言，在體積、質(zhì)量、精度、穩(wěn)定性、可靠性、存儲功能、靈活性及性能價格比等方面都具有明顯的優(yōu)點，而且數(shù)字濾波器除利用專用的數(shù)字硬件、專用的數(shù)字信號處理器，或采用通用的數(shù)字信號處理器實現(xiàn)外，還可借助計算機以軟件編程方式實現(xiàn)。正因為這些特點，在許多情況下，可利用圖5-1所示的間接方式處理模擬信號，舍棄傳統(tǒng)的模擬電路處理方法。數(shù)字濾波器的基市概念數(shù)字濾波器是一類重要的離散時間系統(tǒng)，離散時間系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖5-2所示?？梢詮臅r域、復(fù)數(shù)域和頻域的角度來描述。一般離散時間系統(tǒng)可表示為N階差分方程，即數(shù)字濾波器的基市概念其系統(tǒng)函數(shù)可表示為若離散系統(tǒng)的輸入x(n)=δ(n)，則X(z)=1，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)記為h(n)，此時這表明:系統(tǒng)函數(shù)H(z)與單位抽樣響應(yīng)序列h(n)是一對z變換。數(shù)字濾波器的基市概念如果x(n)y(n)和h(n)滿足絕對可積條件，則相應(yīng)地，X(z)Y(z)和H(z)均在單位圓上收斂，離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為數(shù)字濾波器的基市概念01若1≤r≤M，br=0，則只有在bo≠0時，才有系統(tǒng)只含有N個極點，無有限零點，記作AR模型。這種系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為無限長序列，習(xí)慣上稱之為無限沖激響應(yīng)(IR)離散系統(tǒng)。在系統(tǒng)辨識中，通常也稱之為自回歸模型。數(shù)字濾波器的基市概念02若1≤K≤M，ak=0，則有系統(tǒng)只含有M個零點，無有限極點，記作MA模型。這種系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為有限長序列，習(xí)慣上稱之為有限沖激響應(yīng)(FIR)離散系統(tǒng)。在系統(tǒng)辨識中，通常也稱之為滑動平均模型。03系統(tǒng)同時具有零點和極點，記作ARMA模型，也稱之為自回歸滑動平均模型。02IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計1.引言IIR數(shù)字濾波器的特點是h(n)為無限長序列，其系統(tǒng)函數(shù)為一般M≤N。IIR數(shù)字濾波器的逼近問題就是求出濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)br，和ak，使得在規(guī)定的意義上，滿足通帶起伏及阻帶衰減的要求或采用最優(yōu)化準(zhǔn)則(最小均方差或最大誤差最小要求)逼近所要求的特性。1.引言設(shè)計方法一般有以下兩種:01計算機輔助設(shè)計法這是一種最優(yōu)設(shè)計法。先確定一種最優(yōu)化準(zhǔn)則，如設(shè)計出的實際頻率響應(yīng)幅度|H(ejω)|與所要求的理想頻率響應(yīng)幅度|Hd(ejω)|的均方誤差最小準(zhǔn)則等，然后求出在此最優(yōu)化準(zhǔn)則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)br和ak。這種設(shè)計一般得不到濾波器系數(shù)和理想頻率響應(yīng)的閉合形式的函數(shù)表達(dá)式，而是需要進(jìn)行大量的迭代運算，因此離不開計算機。1.引言設(shè)計方法一般有以下兩種:02借助模擬原型濾波器導(dǎo)出所需數(shù)字濾波器此方法由于模擬濾波器有簡便的設(shè)計公式，有大量的設(shè)計圖表可資利用，設(shè)計起來既方便又準(zhǔn)確。這種設(shè)計方法的流程如圖5-6所示。1.引言由圖5-6可以看出，此方法實際上是，s域與z域之間的映射轉(zhuǎn)換。為使數(shù)字濾波器保持模擬濾波器的特性，這種映射關(guān)系應(yīng)滿足下列條件:01H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)，即s平面的虛軸jΩ必須映射到z平面的單位圓ejω上，也就是頻率軸要對應(yīng)。02因果穩(wěn)定的Ha(s)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的H(z)。也就是說，s平面的左半平面(Re[s]<0)必須映射到z平面的單位圓內(nèi)部(|z|<1)。我們知道，“模擬原型”有多種設(shè)計方法，如Butterworth濾波器、Chebyshev濾波器等。從模擬濾波器映射成數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器，有以下幾種映射方法:沖激響應(yīng)不變法、雙線性變換法等。2.沖激響應(yīng)不變法01基本原理沖激響應(yīng)不變法是模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)進(jìn)行等間隔抽樣，其樣值作為數(shù)字濾波器的單位樣值響應(yīng)h(n)，即式中，T為抽樣間隔。還需注意，若ha(t)在零點有跳變則h(n)在n=0點取此跳變值，如圖5-7所示。對h(n)取z變換，求得H(z)=Z[h(n)]作為該濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。2.沖激響應(yīng)不變法01基本原理設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)具有單極點，其表達(dá)式為式中，Ak為對應(yīng)單極點sk的留數(shù)，且對式(5-6)取逆變換，可得2.沖激響應(yīng)不變法01基本原理根據(jù)式(5-5)的規(guī)定，對ha(t)抽樣并取z變換，即對比式(5-6)與式(5-10)可知，沖激響應(yīng)不變法的原理就是，將2.沖激響應(yīng)不變法02穩(wěn)定性與逼近程度如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，那么經(jīng)變換所得的數(shù)字濾波器也應(yīng)是穩(wěn)定的。因為當(dāng)模擬濾波器穩(wěn)定時，其Ha(s)的所有極點sk:均在s左半平面，即Re[sk]<0。極點sk映射到z平面上就是位于zk=eskT處的極點，則有說明zk位于單位圓內(nèi)，因而數(shù)字濾波器必然是穩(wěn)定的。前面已經(jīng)知道2.沖激響應(yīng)不變法02穩(wěn)定性與逼近程度如果將沖激序列∑δ(t-nT)用傅里葉級數(shù)展開，取抽樣信號的拉普拉斯變換，并借助s域頻移定理，可得由式(5-12)和式(5-13)的結(jié)果可得出2.沖激響應(yīng)不變法02穩(wěn)定性與逼近程度將s=jΩ,z=esT=ejΩT，ω=ΩT代入式(5-14)，可得式(5-15)說明:數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器的頻率響應(yīng)的周期延拓，頻率變量存在ω=ΩT的線性映射關(guān)系。因而，正如抽樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，也就是在限帶折疊頻率以外滿足式(5-16)的條件，即2.沖激響應(yīng)不變法02穩(wěn)定性與逼近程度才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即但是，任何一個實際的模擬濾波器的頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真，如圖5-8所示。因而，模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上時衰減越大、越快，變換后頻率響應(yīng)的混疊失真就越小。2.沖激響應(yīng)不變法02穩(wěn)定性與逼近程度由式(5-17)可以看出，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與抽樣間隔T成反比，如果抽樣頻率很高，即T很小，則濾波器增益會很高，這很不好，因而希望數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)不隨抽樣頻率而變化，于是做出以下修正，令則有及2.沖激響應(yīng)不變法02穩(wěn)定性與逼近程度綜上所述，對于沖激響應(yīng)不變法，可得出以下結(jié)論:01可以把穩(wěn)定的模擬濾波器變換成穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。02在變換時，頻率間呈線性關(guān)系，即ω=ΩT。2.沖激響應(yīng)不變法02穩(wěn)定性與逼近程度綜上所述，對于沖激響應(yīng)不變法，可得出以下結(jié)論:03頻率特性的形狀基本上與模擬濾波器相同(如果混疊不嚴(yán)重)，在時域上，兩者沖激響應(yīng)的形狀一致。04由于混疊，頻率很高時，濾波響應(yīng)嚴(yán)重失真，因而沖激響應(yīng)不變法只適用于帶限的模擬濾波器，并且高通濾波器和帶阻濾波器不宜采用沖激響應(yīng)不變法。對于低通濾波器和帶通濾波器，需充分限帶，阻帶衰減越大，混疊效應(yīng)就越小。3.雙線性變換法01基本原理雙線性變換法的基本原理:使模擬濾波器與數(shù)字濾波器的輸入、輸出互相模仿，從而達(dá)到頻率響應(yīng)的相互模仿，也就是使數(shù)字濾波器的差分方程是模擬濾波器的微分方程的近似解，如圖5-12所示。3.雙線性變換法01基本原理若模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為考慮其中每個一階微分方程對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)寫作微分方程形式:3.雙線性變換法01基本原理將y(t)用y’(t)的積分表示:令數(shù)值抽樣的步長為T，t=nT，t0=(n-1)T，則用梯形法逼近積分項，整理式(5-25)可以得到3.雙線性變換法01基本原理將式(5-26)等號右邊各項分別用式(5-23)代入，在代入時分別取t=nT及t=(n-1)T，然后進(jìn)行z變換，得到對照式(5-27)與式(5-22)，求出s與z的對應(yīng)關(guān)系，即按此規(guī)律，將模擬濾波器Ha(s)中的變量s替換為式(5-28)的右半邊式子，即可得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。式(5-28)中的分子與分母都是變量的線性函數(shù)，這就是“雙線性變換”這一名稱的由來。3.雙線性變換法02穩(wěn)定性與逼近程度求解式(5-28)，還可得到設(shè)s=σ+jΩ，σ<0，則3.雙線性變換法02穩(wěn)定性與逼近程度這表明，s域的左半平面映射到了z平面單位圓內(nèi)，也就是定的Ha(S)可以變換成穩(wěn)定的H(z)。對s平面的虛軸s=jΩ，σ=0，有|z|=1，且或3.雙線性變換法02穩(wěn)定性與逼近程度這說明，s平面的虛軸映射到了z平面單位圓上，而且Ω=±∞映射為ω=±π，Ω與π呈單值映射，可以避免混疊。但式(5-30)或式(5-31)表明，雙線性變換是非線性變換如圖5-13所示，數(shù)字濾波器的頻率特性會引起非線性失真。雙線性變換頻率軸的這一非線性畸變問題，對大量常見的一定頻段內(nèi)為常數(shù)幅頻特性的濾波器來說，問題并不嚴(yán)重，如一般的低通、高通、帶通、帶阻濾波器等，它們都被要求在通帶內(nèi)具有逼近一個衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶內(nèi)具有逼近衰減趨向無窮大的特性。由圖5-13可見經(jīng)過雙線性變換，雖然頻率發(fā)生了非線性畸變，但頻率響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)仍接近常數(shù)幅頻特性，只是通帶邊界頻率、阻帶始點頻率發(fā)生了非線性變化。3.雙線性變換法02穩(wěn)定性與逼近程度綜上所述，對雙線性變換法可得如下結(jié)論:01把穩(wěn)定的模擬濾波器變換成穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。02變換時，頻率間呈非線性關(guān)系，即3.雙線性變換法02穩(wěn)定性與逼近程度綜上所述，對雙線性變換法可得如下結(jié)論:03頻率間是單值映射，不會出現(xiàn)混疊。04適用于低通、高通、帶通和帶阻濾波器。05雙線性變換是非線性變換，頻率特性會引起非線性失真。4.其他類型(高通、帶通、帶阻)

IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計前面只討論了低通數(shù)字濾波器的設(shè)計實例，對于其他類型的濾波器，一種方法是，先設(shè)計一個低通原型濾波器，然后通過模擬濾波器的頻率轉(zhuǎn)換，將其轉(zhuǎn)換成模擬高通、帶通、帶阻等模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成相應(yīng)類型的數(shù)字濾波器。還有一種方法是，先設(shè)計一個低通原型濾波器，然后通過代換得到低通數(shù)字濾波器，再經(jīng)過頻率轉(zhuǎn)換，將其轉(zhuǎn)換成其他類型的數(shù)字濾波器。這里不再詳細(xì)討論。在MATLAB中，把第一種方法中由低通原型濾波器轉(zhuǎn)換成相應(yīng)類型的數(shù)字濾波器這三步綜合起來，構(gòu)成butter、cheby1等函數(shù)，在知道濾波器的階次后，可以直接設(shè)計高通、帶通帶阻數(shù)字濾波器。模擬到數(shù)字的轉(zhuǎn)換用的是雙線性變換。4.其他類型(高通、帶通、帶阻)

IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計這里仍以butter函數(shù)為例說明其使用方法。[b,a]-butter(N,wc,’high’)，設(shè)計N階高通數(shù)字濾波器，wc為它的3dB邊緣頻率，以π為單位，故0≤w≤1。[b,a]=butter(N,wc)，當(dāng)wc=[wcl,wc2]時，設(shè)計2N階帶通數(shù)字濾波器，w的單位為π。[b,a]=butter(N,wc,’stop’)，當(dāng)wc=[wc1,wc2]時，設(shè)計2N階帶阻數(shù)字濾波器，w的單位π。如果已知濾波器的性能指標(biāo)wp、ws、Rp、As，則調(diào)用函數(shù)4.其他類型(高通、帶通、帶阻)

IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計這里仍以butter函數(shù)為例說明其使用方法。[b,a]-butter(N,wc,’high’)，設(shè)計N階高通數(shù)字濾波器，wc為它的3dB邊緣頻率，以π為單位，故0≤w≤1。[b,a]=butter(N,wc)，當(dāng)wc=[wcl,wc2]時，設(shè)計2N階帶通數(shù)字濾波器，w的單位為π。[b,a]=butter(N,wc,’stop’)，當(dāng)wc=[wc1,wc2]時，設(shè)計2N階帶阻數(shù)字濾波器，w的單位π。4.其他類型(高通、帶通、帶阻)

IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計如果已知濾波器的性能指標(biāo)wp、ws、Rp、As，則調(diào)用函數(shù)可以求出相應(yīng)濾波器的階次N和截止頻率wc、wp、ws、wc的單位為π。03FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計1.線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點01FIR數(shù)字濾波器的特點FIR數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(n)是有限長的(O≤n≤N-1)，即其系統(tǒng)函數(shù)為1.線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點01FIR數(shù)字濾波器的特點式(5-33)是z-1的(N-1)階多項式，可見，系統(tǒng)函數(shù)H(z)有(N-1)個零點，而原點處有(N-1)階極點，因此系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。并且，由式(5-33)可以寫出，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的差分方程為式(5-34)又可表示為式(5-35)說明:FIR數(shù)字濾波器的輸出y(n)是輸入x(n)和單位抽樣響應(yīng)h(n)的卷積和，只取決于當(dāng)前時刻的輸入與有限個過去的輸入，與過去的輸出值無關(guān)。因此，又把FIR數(shù)字濾波器稱為卷積濾波器，并日可以利用FFT算法進(jìn)行快速卷積來加速運算，并實現(xiàn)濾波器功能。1.線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點02數(shù)字濾波器無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件離散濾波器的框圖如圖5-16所示，與模擬濾波器類似，在理想情況下，對于所傳輸?shù)男盘柸魺o失真，則輸入、輸出之間應(yīng)滿足下面兩點:01y(n)是x(n)按比例放大(k倍)的結(jié)果。02時間上有一定延遲τ，如圖5-17所示。1.線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點02數(shù)字濾波器無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件可歸納為對式(5-36)進(jìn)行z變換，可得其頻率特性為幅頻特性和相頻特性分別為這表明:信號通過數(shù)字濾波器無失真?zhèn)鬏數(shù)念l域條件是，數(shù)字濾波器在有用信號的頻帶內(nèi)具有恒定的幅頻響應(yīng)和線性相位特征。1.線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點03FIR數(shù)字濾波器的線性相位條件FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejω)為當(dāng)h(n)為實序列時，可將H(ejω)表示成其中，|H(ejω)|是真正的幅度響應(yīng)，而H(ω)是可正可負(fù)的實函數(shù)，有兩類準(zhǔn)確的線性相位，分別要求滿足1.線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點03FIR數(shù)字濾波器的線性相位條件式中，τ、β都是常數(shù)，表示相位是通過坐標(biāo)原點ω=0或通過Φ(0)=β的斜直線，二者的群時延都是常數(shù)τ=-dΦ(ω)/dω。FIR數(shù)字濾波器具有線性相位的充要條件是，有限長的實序列h(n)滿足偶對稱條件或奇對稱條件即要求沖激響應(yīng)序列以n=(N-1)/2為偶對稱中心或奇對稱中心。1.線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點04線性相位FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的特點當(dāng)有限長的實序列h(n)滿足偶對稱或奇對稱條件時，即可獲得線性相位。若再考慮N為偶數(shù)和奇數(shù)時的不同情況，可以得到4種不同的頻率響應(yīng)，表5-1所示為4種線性相位FIR濾波特性，下面分別予以說明。1.線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點04線性相位FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的特點01h(n)滿足偶對稱條件，N為奇數(shù)。對其第三項進(jìn)行變量代換，令m=N-l-n，則有1.線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點04線性相位FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的特點01h(n)滿足偶對稱條件，N為奇數(shù)。設(shè)m=(N-1)/2-n，且令則H(ejω)可以寫成1.線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點04線性相位FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的特點01h(n)滿足偶對稱條件，N為奇數(shù)。故頻率響應(yīng)特性為這表明:當(dāng)h(n)滿足偶對稱條件時，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器具有線性相位，而且相位常數(shù)τ=(N-1)/2。由式(5-50)可以看出，h(ω)是ω的實函數(shù)，且在ω=0,π,2π處具有偶對稱特性，隨著a(n)或h(n)取值的不同，可以逼近各種類型的幅頻特性，如表5-1所示。1.線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點04線性相位FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的特點02h(n)滿足偶對稱條件，N為偶數(shù)。該情況與N為奇數(shù)時的區(qū)別是沒有h[(N-1)/2]這一項，而且式(5-47)的頻率特性可簡化為設(shè)m=N/2-n，且令1.線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點04線性相位FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的特點02h(n)滿足偶對稱條件，N為偶數(shù)。則H(ejω)可以寫成故頻率響應(yīng)特性為1.線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點04線性相位FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的特點02h(n)滿足偶對稱條件，N為偶數(shù)。這種情況的相位常數(shù)τ=(N-)/2，但已不是整數(shù)。H(ω)仍是ω的實函數(shù)，在ω=0,π,2π處具有奇對稱特性，H(π)=0。這表明:不能由這種特性的FIR數(shù)字濾波器得到在處不為零的高通、帶阻等類型的數(shù)字濾波器。1.線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點04線性相位FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的特點03h(n)滿足奇對稱條件，N為奇數(shù)。頻率特性與偶對稱相類似，只不過，此時h[(N-1)/2]=0，h(n)序列的前后部分相差一個負(fù)號，所以有設(shè)m=(N-1)/2-n，且令1.線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點04線性相位FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的特點03h(n)滿足奇對稱條件，N為奇數(shù)。則H(ejω)可以寫成故頻率響應(yīng)特性為1.線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點04線性相位FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的特點03h(n)滿足奇對稱條件，N為奇數(shù)。這表明:Φ(ω)有π/2的起始相移，輸入信號的所有頻率分量在通過該濾波器時，都將產(chǎn)生π/2的相移，然后進(jìn)行濾波。此時，延時常數(shù)τ=(N-1)/2。H(ω)分別在ω=0,π,2π處具有奇對稱特性，且在這些點處，H(ω)=0。因而，具有這種特性的FIR數(shù)字波器無法具備低通、高通、帶阻濾波特性。1.線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點04線性相位FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的特點04h(n)滿足奇對稱條件，N為偶數(shù)。把情況(3)的H(ejω)求和上限改為N/2-1，可得設(shè)m=N/2-n，且令1.線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點04線性相位FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的特點04h(n)滿足奇對稱條件，N為偶數(shù)。則H(ejω)可以寫成故H(ω)和Φ(ω)分別為1.線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點04線性相位FIR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的特點04h(n)滿足奇對稱條件，N為偶數(shù)。與情況(3)一樣，情況(4)的濾波器具有固定的90°相移，延時常數(shù)τ=(N-1)/2。H(ω)分別在ω=0,2π處具有奇對稱特性，且H(0)=0，因而這種濾波特性無法實現(xiàn)低通、帶阻濾波器。綜上所述，h(n)只要滿足偶對稱或奇對稱條件，它的相頻特性就是線性的，而且延時常數(shù)τ=(N-1)/2。在h(n)滿足奇對稱條件時，濾波器有固定的90°相移，這在微分器、Hibert(希爾伯特)變換器(90°移相器)及信號正交處理中特別有用。線性相位FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計任務(wù)就是在保證線性相位的條件下，即Φ(ω)=-τω或Φ(ω)=π/2-τω，設(shè)計H(ω)，使其與要求的頻域容差圖在選定的逼近準(zhǔn)則下具有最小誤差。2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器01設(shè)計方法如果要求設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性為Hd(ejω)，則它的單位樣值響應(yīng)為它有可能是無限長的，而且是非因果的。為此，要尋找一個因果序列h(n)，在相應(yīng)的誤差準(zhǔn)則下，最佳逼近hd(n)。函數(shù)法設(shè)計的初衷是，使設(shè)計的濾波器的頻率特性H(ejω)與要求的頻率特性Hd(ejω)在頻域均方誤差最小的意義下逼近，即2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器01設(shè)計方法則有對式(5-69)進(jìn)行化簡，可以證明:只要將無限長的hd(n)截斷并取其有限項h(n)，即可使ε2達(dá)到最小。若以RN(n)表示矩形序列，則所需h(n)表示為2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器01設(shè)計方法式中，RN(n)也稱為矩形窗函數(shù)。下面以一個截止頻率為ωc的線性相位理想低通濾波器為例加以討論。設(shè)理想低通濾波器頻率特性為式中，Hd(ω)為頻域可正可負(fù)的幅度特性;a為相移常數(shù)。對應(yīng)的單位樣值響應(yīng)為2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器01設(shè)計方法按式(5-70)設(shè)計的長度為的線性相位低通濾波器的單位樣值響應(yīng)為矩形窗對理想低通濾波器的hd(n)的截斷過程如圖5-22所示。2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器01設(shè)計方法hd(n)是無限長的，而且是非因果的。h(n)是長度為N且滿足偶對稱條件的線性相位低通濾波器的單位樣值響應(yīng)。由于h(n)是對hd(n)的截斷，所以頻率特性是Hd(ejω)對矩形序列RN(n)的頻率特性的卷積結(jié)果。RN(n)的傅里葉變換為式中2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器01設(shè)計方法低通濾波器的頻率特性為其中，H(ω)是Hd(@)與RN(@)卷積的結(jié)果，且有2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器01設(shè)計方法這一卷積過程及結(jié)果反映了矩形窗對理想低通濾波器的幅度特性的影響，如圖5-23所示。2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器01設(shè)計方法01當(dāng)ω=0時，H(0)是Hd(θ)和RN(θ)兩函數(shù)乘積的積分，也就是RN(θ)在θ=-ωc到θ=ωc一段內(nèi)的積分面積。由于一般情況下ωc都滿足ωc>>2π/N，所以積分面積可以近似為0從-π到π的RN(θ)全部積分面積。02當(dāng)ω=ωc-2π/N時，RN(ω-θ)的全部主瓣在Hd(θ)的通帶|ω|≤ωc內(nèi)，所以卷積結(jié)果有最大值，即H(ωc-2π/N)，頻率響應(yīng)出現(xiàn)正肩峰。03當(dāng)ω=ωc時，Hd(θ)正好與RN(ω-θ)的一半重疊，因此H(ωc)/H(0)=0.5。2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器01設(shè)計方法04當(dāng)ω=ωc+2π/N時，RN(ω-θ)的全部主瓣都在Hd(θ)的通帶外，因此在該點形成最大的負(fù)肩峰。05當(dāng)ω＞ωc+2π/N時，隨著ω的增大，RN(ω-θ)左邊旁瓣的起伏部分將掃過通帶，卷積值也將隨RN(ω-θ)的旁瓣在通帶內(nèi)面積的變化而變化，故H(ω)將圍繞著零值波動。當(dāng)ω由ωc-2π/N向通帶內(nèi)減小時，RN(ω-θ)的旁瓣將進(jìn)入Ha(ω)的通帶，右旁瓣的起伏導(dǎo)致H(ω)值將圍繞H(0)值擺動。2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器01設(shè)計方法01在ω=ωc附近形成過渡帶，過渡帶的寬度與兩肩峰的間距4π/N成正比，且小于此值。02在截止頻率的兩邊ωc=ωc±2π/N處，H(ω)出現(xiàn)最大的肩峰值，在肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振蕩的多少取決于旁瓣的多少。綜上所述，加窗處理會對理想矩形頻率響應(yīng)產(chǎn)生以下幾點影響:2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器01設(shè)計方法03綜上所述，加窗處理會對理想矩形頻率響應(yīng)產(chǎn)生以下幾點影響:可見，改變N，只能改變窗函數(shù)的主瓣寬度和主瓣幅度，不能改變主瓣與旁瓣的相對比例，這個相對比例是由(sinx)/x決定的，或者說，只是由窗函數(shù)的形狀決定的。因而，當(dāng)截取長度N增大時，只會減小過渡帶的寬度，起伏振蕩變密，而不會改變肩峰的相對值(8.95%，四舍五入為9%)。這就是曾指出的吉布斯(Gibbs現(xiàn)象增大截取長度V，則在主瓣附近的窗函數(shù)的頻率響應(yīng)為2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器01設(shè)計方法04綜上所述，加窗處理會對理想矩形頻率響應(yīng)產(chǎn)生以下幾點影響:進(jìn)入阻帶的負(fù)峰值將影響阻帶的衰減特性，對于矩形窗，9%的負(fù)峰值相當(dāng)于21dB的阻帶衰減，一般情況下，此數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足阻帶內(nèi)衰減的要求。2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器02各種窗函數(shù)01窗譜主瓣盡可能地窄，以獲得較陡的過渡帶。02盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對幅度，也就是能量盡量集中于主瓣，這樣使肩峰和波紋減小，就可增大阻帶的衰減。由以上討論可以看出，一般希望窗函數(shù)滿足以下兩項要求:但是以上兩項要求往往不能同時得到滿足。若窗函數(shù)時域波形的兩端平緩下降(而非突變，如三角形、升余弦形)，則其頻域特性的旁瓣電平減小，從而增大阻帶的衰減，但其代價是增大了主瓣和過渡帶的寬度。對于同一種窗函數(shù)，增大N值可使過渡帶減小。2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器02各種窗函數(shù)MATLAB中常用的窗函數(shù)w(n)有以下幾種[時域?qū)挾?簡稱時寬)都取0≤n≤N1]:01矩形窗函數(shù)(boxcar)它的主瓣寬度為4π/N，第一旁瓣的幅值比主瓣低13dB。2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器02各種窗函數(shù)02三角窗函數(shù)(triang)其窗譜為2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器02各種窗函數(shù)03漢寧窗(升余弦窗)函數(shù)(hanning)2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器02各種窗函數(shù)04漢明窗(改進(jìn)升余弦窗)函數(shù)(hamming)2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器02各種窗函數(shù)05布萊克曼窗(二階升余弦窗)函數(shù)(blackman)2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器02各種窗函數(shù)06凱澤窗函數(shù)(kaiser)2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器02各種窗函數(shù)式中，I0(·)為第一類變形零階貝塞爾函數(shù);β為一個可自由選擇的參數(shù)，它可以同時調(diào)整主瓣寬度和旁瓣電平，一般取4<β<9，此時旁瓣電平在-3dB和-67dB之間。給定要求的過渡帶寬度傘Δω和阻帶衰減δs，要求的濾波器階次N和參數(shù)β可按下列近似公式求出:2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器02各種窗函數(shù)表5-2所示為窗函數(shù)特性及加窗后相應(yīng)濾波器達(dá)到的指標(biāo)，可供設(shè)計人員參考。五種窗函數(shù)的時域波形和對數(shù)幅頻特性如圖5-24所示。2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器03窗函數(shù)法的設(shè)計步驟02根據(jù)對過渡帶寬度及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形狀及長度N。03按所得窗函數(shù)求得h(n)=hd(n)w(n)。01給定要求的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω），求出相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)hd(n)。04計算H(ejω)=DTFT[h(n)]=

[Hd(ejω）*W(ejω)]，檢驗各項指標(biāo)，如不滿足要求，則重新設(shè)計。2.窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器03窗函數(shù)法的設(shè)計步驟有時，給出的Hd(ejω)比較復(fù)雜，難以用式(5-67)計算出hd(n)，在這種情況下，可以對Hd(ejω)進(jìn)行M點頻域抽樣，用離散傅里葉逆變換計算出h’d(n):由離散傅里葉變換的性質(zhì)可知，h’d(n)與hd(n)的關(guān)系為由于hd(n)有可能是無限長的序列，因而嚴(yán)格來說，必須在M→∞時，h’d(n)=hd(n)，才不產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。實際上，由于hd(n)隨著n的增大衰減很快，一般只要M足夠大，即M>>N,就足夠了。窗函數(shù)法設(shè)計簡單實用，但缺點是過渡帶及邊界頻率不易控制，通常需要反復(fù)計算。3.頻率抽樣法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器01設(shè)計原理頻率抽樣法基于頻率抽樣理論，從頻域出發(fā)，對給定的理想頻率響應(yīng)Hd(ejω)進(jìn)行等間隔抽樣，即然后，以此Hd(k)作為實際FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)的樣值H(K)，即令3.頻率抽樣法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器01設(shè)計原理在得到H(k)后，由離散傅里葉逆變換得到點的有限長序列h(n)，由h(n)求得的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejω)或由3.5.2節(jié)中X(z)的內(nèi)插公式知道，利用這N個頻域樣值H(k)同樣可求得FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)X(z)及頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejω)，這個X(z)或H(ejω)將近Hd(z)或Hd(ejω)。H(z)和H(ejω)的內(nèi)插公式為3.頻率抽樣法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器01設(shè)計原理式中，Φ(ω)是內(nèi)插函數(shù)，其表達(dá)式為由式(5-93)可見，在各頻率樣點上，濾波器的實際頻率響應(yīng)是嚴(yán)格地和理想頻率響應(yīng)數(shù)值相等的，即

。但是，樣點之間的頻率響應(yīng)是由各樣點的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加而形成的，因而有一定的逼近誤差，誤差大小取決于理想頻率響應(yīng)的曲線形狀，理想頻率響應(yīng)特性的變化越平緩，則內(nèi)插值越接近理想值，逼近誤差也越小。反之，如果樣點之間的理想頻率響應(yīng)特性的變化越陡，則內(nèi)插值與理想值之間的差距越大。因而，在不連續(xù)點附近，將會出現(xiàn)肩峰與起伏。3.頻率抽樣法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器02線性相位的約束如果我們設(shè)計的是線性相位數(shù)字濾波器，則其樣值H(k)的幅度和相位一定要滿足5.3.1節(jié)所討論過的約束條件。當(dāng)h(n)為實數(shù)且具有偶對稱特性時，H(ejω)=H(ω)ejΦ(ω)，必須滿足下列條件:當(dāng)N為奇數(shù)時，H(ω)具有偶對稱特性，有如果樣值3.頻率抽樣法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器02線性相位的約束由式(5-95)可知，θk必須為由式(5-96)可以得到當(dāng)N為偶數(shù)時，H(ω)滿足奇對稱條件，即3.頻率抽樣法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器02線性相位的約束所以，這時的Hk也應(yīng)滿足奇對稱條件，即而θk的表達(dá)式與式(5-97)完全一樣。3.頻率抽樣法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器03過渡帶抽樣的優(yōu)化設(shè)計為了提高逼近質(zhì)量，使逼近誤差更小，也就是減小在通帶邊緣由于樣點的陡然變化而引起的起伏振蕩。和窗函數(shù)法的平滑截斷一樣，這里是為理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點的邊緣加上一些過渡的樣點(在這些點上抽樣的最佳值由計算機算出)，從而增加過渡帶，減小頻帶邊緣的突變，這樣也減小了起伏振蕩，增大了阻帶最小衰減。這些樣點上的取值不同，效果就不同，由式(5-93)可以看出，因為每個頻率樣值都要產(chǎn)生一個與常數(shù)sin(ωN/2)/sin(ω/2)成正比且在頻率上位移為2πk/N的頻率響應(yīng)，而FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)就是各H(k)與相應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)Φ(ω-2πk/N)相乘后的線性組合。3.頻率抽樣法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器03過渡帶抽樣的優(yōu)化設(shè)計如果精心設(shè)計過渡帶的樣值，就有可能使它的有用頻帶(通帶、阻帶)的波紋減小，從而設(shè)計出較好的濾波器。一般過渡帶取一、二、三點樣值即可得到令人滿意的結(jié)果。在低通設(shè)計中，不加過渡樣點時，阻帶的最小衰減為-20dB;采用一點過渡抽樣的最優(yōu)設(shè)計，阻帶的最小衰減可提高到-40~-50dB采用二點過渡抽樣的最優(yōu)設(shè)計，阻帶的最小衰減可達(dá)-60~-75dB，而加三點過渡抽樣的最優(yōu)設(shè)計則可達(dá)-80~-95dB。加過渡樣點的示意圖如圖5-30所。3.頻率抽樣法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器一般由過渡帶寬度Δω估算N值。Δω≈(m+1)2π/N，m為過渡樣點的數(shù)目。這一點從根據(jù)H(ejω)的頻域內(nèi)插公式畫出的H(ejω)的幅度曲線就很容易解釋。所以，N的估算公式為顯然，Δω越小或m越大都會使N值越大。頻率抽樣法的優(yōu)點是，可以在頻域直接設(shè)計，并且適用于最優(yōu)設(shè)計;缺點是，抽樣頻率只能等于2π/N的整數(shù)倍，因而不能確保截止頻率ωc的自由取值。要想自由地選擇截止頻率，必須增大樣點數(shù)N，但這又使計算量加大。03過渡帶抽樣的優(yōu)化設(shè)計3.頻率抽樣法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器04IIR數(shù)字濾波器與FIR數(shù)字濾波器的比較IIR數(shù)字波器與FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計原理不同，可以從多個方面進(jìn)行比較。01IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的極點可位于單位圓內(nèi)的任何地方，所以可用較低的階次獲得高選擇性。IR數(shù)字濾波器的存儲單元少，但其效率高，這是以相位的非線性為代價的。由FIR數(shù)字濾波器可以得到嚴(yán)格的線性相位:因為極點固定在原點，所以只能用較高的階次獲得高選擇性。對于同樣的濾波器設(shè)計指標(biāo)，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器所要求的階次比IR數(shù)字濾波器高5~10倍。然而，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的成本較高，信號延時也較大。如果對IIR數(shù)字濾波器提出相同的選擇性和相同的線性相位要求，則必須對IR數(shù)字濾波器加全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，同樣要大大增加階次和復(fù)雜性。3.頻率抽樣法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器04IIR數(shù)字濾波器與FIR數(shù)字濾波器的比較IIR數(shù)字波器與FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計原理不同，可以從多個方面進(jìn)行比較。02FIR數(shù)字濾波器可以用非遞歸方法實現(xiàn)，有限精度的計算不會產(chǎn)生振蕩。IR數(shù)字濾波器必須采用遞歸結(jié)構(gòu)來配置極點，因此要留心穩(wěn)定性，注意極點是否位于單位圓外。另外，有限字長效應(yīng)有時會引發(fā)寄生振蕩。FIR數(shù)字濾波器可采用快速傅里葉變換算法，在相同的階次下，運算速度可以快得多。3.頻率抽樣法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器04IIR數(shù)字濾波器與FIR數(shù)字濾波器的比較IIR數(shù)字波器與FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計原理不同，可以從多個方面進(jìn)行比較。03IIR數(shù)字濾波器可借助模擬濾波器的結(jié)果，一般都有有效的封閉形式設(shè)計公式可供準(zhǔn)確計算，計算工作量比較小，對計算工具的要求不高。FIR數(shù)字濾波器沒有現(xiàn)成的設(shè)計公式。窗函數(shù)法僅僅可以給出窗函數(shù)的計算公式，但計算通帶、阻帶的衰減無公式可以利用。其他大多數(shù)設(shè)計方法都需要借助計算機輔助設(shè)計。3.頻率抽樣法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器04IIR數(shù)字濾波器與FIR數(shù)字濾波器的比較IIR數(shù)字波器與FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計原理不同，可以從多個方面進(jìn)行比較。04IIR數(shù)字濾波器設(shè)計法，主要是設(shè)計規(guī)格化的，頻率特性為分段常數(shù)的濾波器。而FIR數(shù)字濾波器易于適應(yīng)某些特殊應(yīng)用(如構(gòu)成微分器或積分器)，或用于Butterworth、Chebyshev等逼近不可能達(dá)到的預(yù)定指標(biāo)的情況(如由于某些原因，要求三角形振幅響應(yīng)等)。3.頻率抽樣法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器因此，IIR數(shù)字濾波器被用于允許一定相位失真的應(yīng)用中，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器被用于需要線性相位的應(yīng)用中。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計除了建立在將模擬濾波器變換到數(shù)字域中的方法上,還可以直接在數(shù)字域中進(jìn)行設(shè)計，如采用幅度平方函數(shù)設(shè)計法、帕德逼近法、波形形成濾波器法等。此外，還有IIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化方法最小均方差設(shè)計法、最小p誤差設(shè)計法、線性規(guī)劃設(shè)計法等。FIR數(shù)字濾波器除了窗函數(shù)法、頻率抽樣法，還有FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化方法一最大誤差最小化準(zhǔn)則、最優(yōu)等波紋設(shè)計等。此外,還有FIR微分器設(shè)計,Hilbert變換的設(shè)計等。與數(shù)字濾波器設(shè)計相關(guān)的文獻(xiàn)非常多，有關(guān)討論在“數(shù)字信號處理”教材中都能找到。04數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)1.數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法前面已經(jīng)討論過，一個數(shù)字濾波器可以用系統(tǒng)函數(shù)表示為直接由式(5-102)可得出表示輸入、輸出關(guān)系的常系數(shù)線性差分方程，即1.數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法數(shù)字濾波器的功能就是把輸入序列通過一定的運算變換成輸出序列可以用以下兩種方法來實現(xiàn)數(shù)字濾波器:一種方法是把濾波器所要完成的運算過程編成程序，并由計算機執(zhí)行，也就是采用計算機軟件來實現(xiàn)；另一種方法是設(shè)計專用的數(shù)字硬件、數(shù)字信號處理器或采用通用的數(shù)字信號處理器來實現(xiàn)。1.數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法這需要考慮許多問題，如以下幾種:02需要的存儲量。03濾波器系數(shù)的量化影響。01計算的效率，即完成整個濾波過程所需要的乘法和加法次數(shù)。04運算中的舍入、截斷誤差、飽和及溢出等。1.數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法不同的濾波器結(jié)構(gòu)可以實現(xiàn)同樣的系統(tǒng)函數(shù)，但不同的算法在滿足上述要求方面是有差別的，有的差別還很大。由式(5-103)可以看出，實現(xiàn)一個數(shù)字濾波器需要幾種基本的運算單元一加法器、延時和乘法器。這些基本的運算單元可以用結(jié)構(gòu)圖或信號流圖表示，后者更簡單方便。圖5-34所示為信號流圖中基本運算單元的表示符號。已知一個二階數(shù)字濾波器的表達(dá)式為2.IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)IIR數(shù)字濾波器有以下幾個特點:02系統(tǒng)函數(shù)H(z)在z平面上有極點。03結(jié)構(gòu)上存在輸出到輸入的反饋，也就是結(jié)構(gòu)上是遞歸型的。01系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)是無限長的。實現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器有直接I型、直接Ⅱ型、級聯(lián)型和并聯(lián)型。2.IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)01直接Ⅰ型一個ⅡR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為表示這一系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系的N階差分方程為2.IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)01直接Ⅰ型這就表示了一種計算方法。∑bkx(n-k)表示由輸入及延時后的輸入組成的M節(jié)的延時網(wǎng)絡(luò)，把每節(jié)延時抽頭后加權(quán)(加權(quán)系數(shù)是bk)，然后把結(jié)果相加，這就是一個橫向網(wǎng)絡(luò)。∑ary(n-r)表示由輸出加以延時組成的N節(jié)的延時網(wǎng)絡(luò)，再將每節(jié)延時抽頭后加權(quán)(加權(quán)系數(shù)是ax)，然后把結(jié)果相加。最后的輸出y(n)是由這兩個和式相加而成。由于該網(wǎng)絡(luò)包含了輸出的延時部分，因此它是個有反饋的網(wǎng)絡(luò)。2.IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)01直接Ⅰ型這種結(jié)構(gòu)稱為直接I型結(jié)構(gòu)，其信號流圖如圖5-36所示。由該圖可以看出，總的網(wǎng)絡(luò)是由上面討論的兩部分網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)組成，第一個網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)零點，第二個網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)極點，共需要(N+M個延時單元。2.IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)02直接Ⅱ型我們知道，一個線性時不變系統(tǒng)，若交換其級聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)是不變的。這樣，我們可以得到另一種結(jié)構(gòu)，如圖5-37所示，它有兩個級聯(lián)子網(wǎng)絡(luò)，第一個用于實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)的極點，第二個用于實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)的零點?？梢钥闯?，兩行串行延時支路有相同的輸入，因而可以把它們合并，從而得到圖5-38所示的結(jié)構(gòu)，稱為直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)。2.IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)02直接Ⅱ型直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)，對于N階差分方程，只需N個延時單元，比直接I型結(jié)構(gòu)所需的延時單元少。直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)可以節(jié)省存儲單元(軟件實現(xiàn))或節(jié)省存器(硬件實現(xiàn))。但是，直接型的實現(xiàn)方法有共同的缺點，就是系數(shù)ak、bk;對濾器的性能控制作用不明顯，即ak、bk;的變化將使系統(tǒng)所有零、極點同時變動，因而勢必引起濾波器頻率響應(yīng)的改變，調(diào)整起來也困難。此外，這種結(jié)構(gòu)的極點對系數(shù)的變化過于靈敏，從而使系統(tǒng)頻率響應(yīng)對系數(shù)的變化過于靈敏，也就是對有限精度(有限字長)的運算過于靈敏，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象或產(chǎn)生較大誤差。所以，直接II型結(jié)構(gòu)多用于一階、二階濾波器。2.IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)03級聯(lián)型對濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)進(jìn)行因式分解，整理后可用實系數(shù)二階因子形式表示H(z)，即這樣，濾波器可由k個二階網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)構(gòu)成，這些二階網(wǎng)絡(luò)也稱為二階基本節(jié)。若每個二階基本節(jié)用直接II型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，則其整個結(jié)構(gòu)如圖5-39所示。2.IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)03級聯(lián)型級聯(lián)的特點:調(diào)整系數(shù)β1i、β2i，就能單獨調(diào)整濾波器的第i對零點，而不影響其他零、極點;調(diào)整系數(shù)a1i、a2i，就能單獨調(diào)整濾波器的第對極點，而不影響其他零、極點。由此這種結(jié)構(gòu)便于準(zhǔn)確得到濾波器的零、極點，從而便于調(diào)整濾波器的頻率響應(yīng)特性。在這種結(jié)構(gòu)中，分子、分母的任一因子均可配成一個二階基本節(jié)，其級聯(lián)次序可以任意改變，對有限字長的運算來說，有可能通過改變級聯(lián)次序，獲得較為理想的最后運算的精度。2.IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)04并聯(lián)型將因式分解的H(z)展成部分分式的形式，就得到并聯(lián)型的IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)。式中，N=N1+2N2;系數(shù)Y0k、Y1k、a1k、a2k、G均為實數(shù)。當(dāng)M<