楚天文化藝術(shù)中心矩形中線段長(zhǎng)的計(jì)算1.如圖，矩形ABCD中，E是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，EFL⊥EC交AD于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥BD于點(diǎn)G，若AB＝3，AD＝4.則EG的長(zhǎng)為.AFDGEBC解：過點(diǎn)E作MN⊥AD于M，交BC于N，則△MED∽△ABDFEEMMEAB∵EF⊥EC，∴△MEF∽△NCE，ECNCMDADCHAD（2）作CH⊥BD于點(diǎn)H，則△HDC∽△ABD，∴DCABCH4BD＝3245，，CH＝2.4，235GEEFMEMEAB3∵AB＝3，AD＝4，∴易證△EFG∽△CEH，∴HCECNCDMAD434CH3129455∴EGAMFDHGEBNC2.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），若點(diǎn)C關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)C'在矩形的內(nèi)部，則的取值范圍是.ABCDBEADC'BEC解：當(dāng)點(diǎn)C'落在AD上時(shí)，∠DCE＝∠DCE＝90°，∠DEC＝∠C'DE＝∠CDE＝45°，∴EC＝DC＝AB＝4∴BE＝BC－EC＝AD－EC＝5－4＝1，∵點(diǎn)C'在矩形ABCD的內(nèi)部，∴1＜BE＜5青山區(qū)建設(shè)一路121街坊40門楚天文化藝術(shù)中心3.如圖，在矩形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，AE＝AD，∠BAE的平分線交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，若DE：EP＝4：3，AB＝4，則BP的長(zhǎng)為.ADEBCFP解：作AG⊥DE于G，PH⊥BC于H，∵AE＝AD，∴DG＝EG由DE：EP＝4：3，設(shè)DE＝4k，則EP＝3k，DG＝EG＝2k設(shè)∠BAP＝∠EAP＝a，則∠DAE＝90°－2a，∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝45°＋a，∴∠29，S1ADAB1EDAG，可得ABAPD＝∠AED－∠EAP＝45°，∴AG＝PG＝5k，∴AD＝kADE2220＝29k，29202952929k5429∵AB＝4，∴29k4，∴k29，∴AE＝AD＝，DE＝4k＝，EC＝5DE2DC28，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵∠PEF＝∠AED＝∠ADE，5EFPFPE3∴∠PEF＝∠DEC，又∵∠F＝∠C＝90°，∴△PEF∽△DEC，∴，ECDCDE4∴EF34EC，6PFDC3，∵∠PEH＝∠DEC＝∠PEF，∠PHE＝∠F＝90°，PE＝PE354614∴△PEH∽△PEF，∴PH＝PF＝3，EH＝EF＝：HC＝EH＋EC＝，：BH＝BC－HC＝＝329145555∴BH＝PH，∴BP＝2BH＝32ADGHPEBCF青山區(qū)建設(shè)一路121街坊40門楚天文化藝術(shù)中心4.如圖，矩形ABCD中,AB=3,AD=4,點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)F在DC邊上，∠EAF=30°,過點(diǎn)E作EG⊥AF于點(diǎn)G，連接CG,則線段CG長(zhǎng)的最小值為________.ADGFBCE解:連接BG∵∠ABE=∠AGE=90°，∴∠GBE=∠EAF=30°1當(dāng)CG⊥BG時(shí)CG最小，此時(shí)CG=BC=22ADFGB5.如圖，在矩形ABCD中，CEAB=3，AD=4，E為AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，以CE為邊向右作正方形CEFG，連接BF，則BF的最小值為________.FAEDGBC解:延長(zhǎng)AD至H,使DH=DC,連接CH、FC、FH作AP⊥AC交HF的延長(zhǎng)線于P,連接PC,則△ECF和△DCH都是等腰直角三角形∴∠ECF=∠DCH=45°,FC=2EC,HC=2DC∴∠ECD=∠FCH,.△FCH△ECD,∴∠FHC=∠EDC=90°，:.∠FHD=45°∴點(diǎn)F在一條線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)BF⊥FH時(shí)BF最小設(shè)BF交AD于O，則AO=AB=3,OD=43=1OH=1+3=4,OB=2OH=22,2AB=32,OF=2∴BF=32+22=52青山區(qū)建設(shè)一路121街坊40門楚天文化藝術(shù)中心FAEDHGBC6.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，BF⊥CE于F,點(diǎn)G是AB邊上另一動(dòng)點(diǎn)，連接、DGGF,則DG+GF的最小值為________.ADGFEBC解:作△BFC關(guān)于AB的對(duì)稱圖形△BHP,取BP的中點(diǎn)M連接MH、DH、DM、GH,則∠BHP=∠BFC=90°，BP=BC=AD=41∴MH=BP=BM=2,∴MC=6,DM=32+62=352∴DG+GF=DG+GH≥DH≥DMMH=352ADGHEFCPMB7.如圖，在矩形ABCD中,點(diǎn)E、F分別為邊AD和AB上的點(diǎn)，連接BE、DE相交于點(diǎn)G,且G為BE的中點(diǎn)，3A'到CG的距離為，則DE的長(zhǎng)為________.24BG×GE=DG×GF,連接CG,若AE=1,點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)青山區(qū)建設(shè)一路121街坊40門楚天文化藝術(shù)中心CBFGDAE.解:連接AG、AA',AA'交BE于點(diǎn)O，作A'M⊥CG于M∵點(diǎn)小A、A'關(guān)于BE對(duì)稱，∴∠AOG=∠A'OG=90°1∵G為BE中點(diǎn)，∴AG=BE=BG,.∠ABG=∠BAG2∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，∴∠CBG=∠DAG又∵AD=BC,∴△ADG≌△BCG,.CG=DG,∠ADF=∠BCG∵∠ABE=∠ADF,∴∠BCG=∠ABE,∠BCG+∠CBG=∠ABE+∠CBG=∠ABC=90°32∴∠DGA=∠CGB=90°，∠CGE=90°，∴四邊形A'OGM是矩形，OG=A'M=4作EN⊥DG于N,則EN//AG,∴∠GEN=∠AGO又:∠GNE=∠AOG=90°,GE=AG,32△GEN≌△AGO,EN=OG=4∵∠ABE=∠ADF，∠BAE=∠DNE=90°，BEAEDEEN4∴△BAE△DNE,32設(shè)BE=4x,則AG=2x,DE=32x,DA=32x+1,∵EN//AG，△DEN△DAG,32DEEN,32xDAAG,解得x2，DE=32x=3432x12x2CBMNGFA'AED8.如圖，在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG,連接BE、GE，若直線AE經(jīng)過線段BG的中點(diǎn)P，則△BEG的面積為________.青山區(qū)建設(shè)一路121街坊40門楚天文化藝術(shù)中心DCBA解:有兩種情況P在線段AE上時(shí)，作BH⊥AE于H,則∠GAP=∠BHP=90°又:GP=BP，∠APG=∠HPB，∴△AGP≌△HBP(AAS):①當(dāng)點(diǎn)AB2BH2826272∴AP=PH，BH=GA=6,∴AH=2S21GPE6874867∴AP=7,EP=87,S2BEG②當(dāng)點(diǎn)P在線段AE的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可求AH=27,AP=7,EP=8+7S2S2168748672BEGGPE△BEG的面積為4867或48+67綜上所述，F(xiàn)DCEEDCHGFPBABPAHG青山區(qū)建設(shè)一路121街坊40門楚天文化藝術(shù)中心9.如圖，在矩形ABCD中，DH⊥AC于H,交BC于G,點(diǎn)E為線段HG上一點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)交AC于P,交CD于F,且BE=EF=DF,若AC=12,則CF的長(zhǎng)為________.ADFHEPBCG解:連接BD交AC于O,連接OE,則BO=OD∵BE=EF,∴OE是△BDF的中位線，∴OE//CD，DF=2OE設(shè)OE=x，則BE=EF=DF=2x,BF=4x,∵EF=DF,∴∠DEF=∠EDF∵DH⊥AC，∴∴∠CPF=∠HPE=∠ACD=∠POE,PE=OE=x，CF=PF=x.BC2CD226x∠HPE=∠ACD，∵∠HPE=∠CPF,BF2CF∵BD=AC=12，∴26=12，∴215x,BD=∴DC=3x,BC=xx=6,∴CF=x=6ADFOEHPBCG10.如圖，在矩形ABCD中，AB=12，BC=25,P是線段AB上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，將△PBC沿直線PC折疊，E,BE交PC于點(diǎn)BFF,若BE⊥CG,AE=9，則的值為________.PC點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,CG交AD邊于點(diǎn)GAPDEFBC解:∵BE⊥CE，∴∵∠PGC=90°，∴∠PGC=∠BEC,∴BE//PG,∴∠GPF=∠BFP∠GPF=∠BPF，∴∠BPF=∠BFP，BP=BF∵BP=PG,∴BF=PG,又∵BF//PG,∴四邊形BFGP是平行四邊形∵PB=PG，:.平行四邊形BFGP是菱形，設(shè)菱形BFGP的邊長(zhǎng)為x，即BP=BF=FG=x在Rt△ABE中，AB=12,AE=9，∴BE=15∠BEC=90