#?陳強,《高級計量經(jīng)濟學及Stata應用》課件，第二版，2014年，高等教育出版社。第24章聯(lián)立方程模型聯(lián)立方程模型的結構式與簡化式經(jīng)濟理論常常推導出一組相互聯(lián)系的方程，其中一個方程的解釋變量是另一方程的被解釋變量，這就是聯(lián)立方程組。例農(nóng)產(chǎn)品市場均衡模型，由需求函數(shù)、供給函數(shù)及市場均衡條件組成，參見第10章。例簡單的宏觀經(jīng)濟模型，參見第10章。

即使我們只關心單個方程，但如果該方程包含內(nèi)生解釋變量則完整的模型仍然是聯(lián)立方程組。由M個方程構成的聯(lián)立方程模型的“結構式”(structuralform)：/11J1/11J1321J2+；-+yM1■12t12212M2tM+BXH(3X=￡+卩11Xt1+…+爐X=St112t1K2tKt2Yy+Yy+丫y+卩x+■…+卩x=&1Mt12Mt2MMtM1Mt1KMtKtM｛y｝為內(nèi)生變量，(x｝為外生變量，第一個下標表示第t個觀測值titj(t=1,…,T)第二個下標表示第i個內(nèi)生變量(i=1,…,M)，或第j個外生變量(j=1,…,K)。內(nèi)生變量的系數(shù)為｛丫｝，其第一個下標表示它是第i個內(nèi)生變量的ik系數(shù)，而第二個下標表示它在第k個方程中(k=1,…,M)。外生變量的系數(shù)為｛卩｝，其第一個下標表示它是第?個外生變量jk的系數(shù)，而第二個下標表示它在第k個方程中。結構方程的擾動項為｛￡｝，其第一個下標表示第t個觀測值tk(t=1,…,T)，而第二個下標表示它在第k個方程中?！巴暾姆匠滔到y(tǒng)”(completesystemofequations)要求，內(nèi)生變量個數(shù)等于方程個數(shù)M。將上述方程組寫成更簡潔的“橫排”矩陣形式MM212Mpp111MP卩2y用矩陣來表示即yT+xB=￡，ttt其中，系數(shù)矩陣T與B的每一列對應于一個方程。MxMKxM比如，第一個方程為11121(yyt1t2y)tM+(xxt1t2x)tK11p21=&t1擾動項￡由第t期各方程的擾動項所構成。t假設擾動項￡滿足E(￡Ix)=0(x外生)，記其協(xié)方差矩陣為，tttt刀三E(￡￡‘Ix)ttt由于存在內(nèi)生變量，如果直接用OLS估計每一方程，將導致內(nèi)生性偏差或聯(lián)立方程偏差，得不到一致估計。求解聯(lián)立方程組：yT=-xB+￡'ttt假設t非退化，兩邊同時右乘r-i,y'=-xBr-i+￡—ttty'=x‘口+vvttt此方程稱為“簡化式"(reducedform)。其系數(shù)矩陣為口三-br-i,擾動項為v'三￡‘r-1,故v三r-i‘￡。77ttttKxMKxMMxM簡化式擾動項e仍與外生變量兀不相關，因為ttE(eIx)=E(r—i￡丨x)=F—1E(￡Ix)=0tttttte的協(xié)方差矩陣為t。三E(eeIx)=E(r-1，￡￡T—1]x)=F-rE(￡￡'Ix)r—1=r—iZT—ittttttttt簡化式方程的解釋變量全部為外生變量x,故可用OLS得到簡化式參數(shù)口與Q的一致估計。t但通常我們最終關心的是結構式參數(shù)。在什么情況下，才能從簡化式參數(shù)(口,。)反推出結構式參數(shù)(r,b,e)呢？這涉及聯(lián)立方程模型的“識別問題”(problemofidentification)。聯(lián)立方程模型的識別在對模型的總體參數(shù)進行估計之前，其參數(shù)必須“可識別”(identified)。如果一個總體參數(shù)可識別，則該參數(shù)的任意兩個不同取值，都會在隨機樣本中顯示出系統(tǒng)差異，即如果樣本容量足夠大，則應該能夠在統(tǒng)計意義上區(qū)分這兩個不同的參數(shù)值。反之，如果無論多大的樣本都區(qū)分不開，即由不同參數(shù)值的總體產(chǎn)生的觀測數(shù)據(jù)在統(tǒng)計意義上是一樣的，則該參數(shù)“不可識別”(unidentified)。例考慮以下回歸模型：y=a+a+Px+si12ii僅通過樣本數(shù)據(jù)｛y,xb是無法對a與a分別進行識別的，但可iii=112以識別二者之和(a+a)。12回到聯(lián)立方程模型的情形，“可識別”意味著，可以從簡化式參數(shù)(口,Q)求出結構式參數(shù)(「,B,E)的唯一解(uniquesolution)。這兩組參數(shù)之間的關系如下：n三—BTto=r-isr-1如果r已知，則可通過口與o求得b與s。但r一般是由未知參數(shù)組成的矩陣。事實上，結構式的參數(shù)個數(shù)比簡化式的參數(shù)個數(shù)多出M2個。簡化式參數(shù)口,o)的總個數(shù)為［KXM+M(M+1)/2〕(其中，口…含KxM個參數(shù)，而對稱矩陣O含M(M+1)/2個參數(shù))；MxM

M(M+1)j含M2個參數(shù)，B含KxM個參數(shù)，對稱矩陣土含MxMM(M+1)/2個參數(shù))。KxMM(M+1)j含M2個參數(shù)，B含KxM個參數(shù)，對稱矩陣土含MxMM(M+1)/2個參數(shù))。KxM一般地，不可能從口,Q)求出(F,B,2)的唯一解。如不對結構式參數(shù)進行約束，將不可能從簡化式參數(shù)得到結構式參數(shù)的唯一解。為識別結構方程，常對結構參數(shù)施加如下約束。(1)標準化(normalization)：在每個結構方程中，可以將一個內(nèi)生變量視為被解釋變量，并將其系數(shù)標準化為1。恒等式(identity)比如，供需相等的均衡條件、會計恒等式、

定義式。恒等式中每個變量的系數(shù)均為已知，不需要識別或估計。排斥約束(exclusionrestrictions)：在結構方程中排斥某些內(nèi)生或外生變量，這相當于對結構矩陣(「,B)施以“零約束”(zerorestrictions)，即讓(『,B)中的某些元素為0。線性約束(linearrestriction):比如，在理論上可以假設生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報酬不變(constantreturnstoscale)，則資本的產(chǎn)出彈性與勞動力的產(chǎn)出彈性之和為1。對擾動項協(xié)方差矩陣的約束(restrictionsonthedisturbancecovariancematrix)：比如，在某些情況下，可以假設不同方程的擾動項之間不相關。

實踐中最重要的約束方法是“排斥變量”（即零約束）。對于線性約束，可通過重新定義變量轉化為“排斥變量”約束究竟需要多少零約束才可以保證結構方程可識別呢？不失一般性，考慮第一個結構方程。假設在第一個方包程假設在第一個方包程括中在，內(nèi)生M假個設在第一也包括在此方程中量而系M已內(nèi)生變?yōu)楸慌懦饪勺R別的必要條件為K*>M11稱為“階條件"(ordercondition)即結構方程所排斥的外生變量的個數(shù)(K*)應大于或等于該方程所包含的內(nèi)生解釋變量的個數(shù)(M)。11從工具變量法的角度，被第一個結構方程排斥的所有外生變量都是有效工具變量，因為根據(jù)外生變量的定義，它們與擾動項不相關(外生性)；而根據(jù)簡化式，內(nèi)生變量可以表示為外生變量的函數(shù)，故它們與內(nèi)生解釋變量相關(相關性)。在可識別(即秩條件滿足)的情況下，如果恰好K*=M，則稱該11結構方程“恰好識別"(justidentified)，即工具變量個數(shù)正好相等內(nèi)生解釋變量的個數(shù)。如果K*M，則稱該結構方程“過度識別"(overidentified)即11工具變量個數(shù)大于內(nèi)生解釋變量的個數(shù)。單一方程估計法估計聯(lián)立方程組的方法可以分為兩類：“單一方程估計法"(singleequationestimation)也稱“有限信息估計法"(limitedinformationestimation)；“系統(tǒng)估計法"，也稱“全信息估計法"(fullinformationestimation)。普通最小二乘法對于一種特殊的遞歸模型(recursivemodel),即r為下三角矩陣(lowertriangularmatrix)而協(xié)方差矩陣刀為對角矩陣(不同方程之間的擾動項不相關)的情形，OLS依然是一致的。以一個三方程的系統(tǒng)為例：TOC\o"1-5"\h\z||y=XU+￡'y1=x?+Yy+S1Iy2=x出2+Y12y1+Yy+S2I331312323第一個方程不含內(nèi)生解釋變量，可用OLS得到一致估計在第二個方程中，唯一的內(nèi)生解釋變量為yi,且與擾動項不相關：Cov(y,&)=Cov(x'P+&,&)=Cov(x'P,&)+Cov(￡,&)=012112<12<1>277=0=0故可用OLS來估計第二個方程。在第三個方程中，內(nèi)生解釋變量為(y,y)，而且Cov(y,￡)=Cov(y,￡)=0,故也可用OLS來估計。1323間接最小二乘法在恰好識別的情況下,可先用OLS來一致地估計簡化式參數(shù),然后通過結構式參數(shù)與簡化式參數(shù)的關系來求解結構式參數(shù),稱為“間接最小二乘法”(IndirectLeastSquare，簡記ILS)。在恰好識別的情況下，ILS是一致的，但卻不是最有效率的。在過度識別的情況下，無法使用ILS。二階段最小二乘法在結構方程可識別的情況下，其排斥的外生變量個數(shù)大于或等于包含的內(nèi)生解釋變量個數(shù)，而所有排斥的外生變量都是有效工具變量，故可以用工具變量法來估計。如果結構方程的擾動項滿足同方差、無自相關的古典假定，則(2SLS)是最有效率的工具變量法，也是最常見的單一方程估計法。4.廣義矩估計法在過度識別的情況下，如果結構方程的擾動項存在異方差或自相關，則GMM比2SLS更有效率。5.有限信息最大似然估計法假定結構方程的擾動項服從正態(tài)分布，可使用MLE對單一方程進行估計，稱為“有限信息最大似然估計法”(LimitedInformationMaximumLikelihoodEstimation，簡記LIML)。LIML與2SLS在大樣本下是漸近等價的。如果存在弱工具變量，LIML比2SLS更穩(wěn)健。三階段最小二乘法最常見的系統(tǒng)估計法為“三階段最小二乘法”(ThreeStageLeastSquare，簡記3SLS)。在某種意義上，3SLS將2SLS與SUR相結合。3SLS的基本步驟如下。前兩步：對每個方程進行2SLS估計。第三步：根據(jù)前兩步的估計，得到對整個系統(tǒng)的擾動項之協(xié)方差矩陣的估計。然后，據(jù)此對整個系統(tǒng)進行GLS估計(類似于SUR的做法)。具體操作如下。

聯(lián)立方程模型的第j個方程可寫為(忽略不在方程中的內(nèi)生變量其中，Z其中，Z三(YX)，jjjy=YY+XP+￡三ZS+￡jjjjJjjjjTx1TxMjMjx1TxKjKjx1Tx1Tx(Mj+Kj)(Mj+Kj)x1Tx1(j=1,…，M)廠Y、將所有M個方程疊放在一起可得5)rz0…0)(0)（叮y三1yi0Z2?■…0102+1￡2三Z0+￡??■??■:…Z??0???■MMMTx1MTx1JM亠M假設E（￡丨X）=0,E（須IX）I，其中X包含整個方程系統(tǒng)中所有的外生變量（都可作為工具變量）。記Z三X（XX）-1XZ為第j個方程解釋變量Z）對所有外生變量（工具變量）X進行回歸的擬合值（第一階段回歸）,，則第j個方程的2SLS估計量為0三（Z'Z）-1Z'yj,2SLSjjjj

TOC\o"1-5"\h\z(Z0?…0)定義Z^'|0Z0*????,????00?…Z'M丿可將所有方程的單一方程2SLS估計量寫在一起62SLS2SLS&2SLS、=62SLS2SLS&2SLS、=（zz）-izM,2SLS為進行3SLS估計，須先得到對協(xié)方差矩陣S的估計值￡。記矩陣￡的(i,j)元素為6，利用單一方程2SLS估計的殘差可得ij16=(y-Zd)(y-Zd)ijTiii，2SLSjjj,2SLS63SLS類比SUR，可定義3SLS63SLS=-zd-i?I)Z]-1Zd-i?I)y對于3SLS，也可進行迭代，即用3SLS的殘差重新估計協(xié)方差矩陣￡，然后再使用GLS，如此反復，直至收斂。24.5三階段最小二乘法的Stata實例24.6結構VARSims(1980)提出VAR模型，但簡化式VAR的脈沖響應函數(shù)依賴于變量次序，而且無法揭示經(jīng)濟結構(變量之間沒有當期影響)。經(jīng)濟學家又試圖將結構重新納入VAR模型中，允許變量之間存在當期影響，形成“結構VAR”的方法。

考慮如下二元動態(tài)聯(lián)立方程組（忽略常數(shù)項）：!y1t=-a12y2t+Y11y1,t-1+Y12y2,t-1+￡1t

y=-a12y2t+Yy+yy+&2t2iit212t2iit211,t-1222,t-12t其中，擾動項的分布滿足此方程組的顯著特征是在方程右邊的解釋變量中包含了當期變量，即yit的解釋變量包括A?,，而y“的解釋變量也包括yit。一般認為，方程組來自于經(jīng)濟理論對于經(jīng)濟結構的建模，故稱為“結構VAR”(StructuralVAR,簡記SVAR)。假設結構方程的擾動項￡與￡相互獨立，稱為“結構新息”TOC\o"1-5"\h\z1t2t(structuralinnovation)。例y為去勢(detrended)的實際GDP對數(shù)，y為去勢的名義貨1t2t幣供給對數(shù)；則結構新息的假設意味著，對產(chǎn)出的意外沖擊(unexpectedshockstooutput)與對貨幣供給的意外沖擊不相關。例y為實際GDP增長率，y為失業(yè)率；則￡與￡可分別解釋1t2t1t2t為需求沖擊(demandshock)與供給沖擊(supplyshock)而需求沖擊(例如消費者偏好變化)與供給沖擊(例如石油價格波動)不相關(BlanchardandQuah,1989)。

將方程組寫為矩陣形式：21V*Ay21V*Ay」y丿丿—21i21ytri=1y1112yI22丿\上式可寫為A^t=r1yt-1+S其中’矩陣A反映了A"與A?,的當期互動’即內(nèi)生性。假設矩陣A非退化，在方程兩邊同時左乘A-i，可得簡化式VAR(reduced-formVAR)：y=A-iry+A-i￡

tit—it其中，簡化式VAR的擾動項u三A-^s的協(xié)方差矩陣為ttVar(u)=Var(A-1s)=A-1Var(?)a—\ttt其中，Var(s)為對角矩陣；Var(u)不是對角矩陣，包含3個參數(shù)。tt方程可識別的必要條件(階條件)是，結構VAR的待估參數(shù)個數(shù)小于或等于簡化VAR的待估參數(shù)個數(shù)。在本例中，SVAR的待估參數(shù)為8個（6個系數(shù)，2個方差）而VAR的待估參數(shù)為7個（4個系數(shù)，3個協(xié)方差）。為了識別此SVAR,至少需要對方程施加一個約束，比如a=0（意味著y對y無直接影響）。122t1t考慮一般形式的SVAR。從p階簡化VAR出發(fā)：y=r1y1++ryt+utt1t—1pt—pt其中，y為Mxl向量；u為簡化式擾動項，允許存在同期相關tt（contemporaneouscorrelation）。在方程兩邊同時左乘某非退化矩陣4:Ay=Ary+…+Ary+AuTOC\o"1-5"\h\zt1t—1pt—pt經(jīng)移項整理可得：A(Z—rLrLp)y=Au1ptt我們希望SVAR的擾動項正交。一種簡單的作法為令Au=￡，其中￡為SVAR的結構擾動項,ttt不存在同期相關。但此假定可能過強(矩陣4來自經(jīng)濟理論對經(jīng)濟結構的建模，未必能使A%同期不相關)。t一般地，假設4%=尿，其中B為MxM矩陣；則方程可寫為ttA(I—rL——rL)y=Au=Be1pttt結構擾動項e的協(xié)方差矩陣被標準化為單位矩陣I。tM此方程稱為SVAR的“AB模型”(AB-Model)(AmisanoandGiannini,1997)。

對于傳統(tǒng)的聯(lián)立方程模型，分析的重點在于解釋變量的邊際效應，故一般不要求結構擾動項正交。對于AB模型，分析的重點在于正交化沖擊的效應，故一般假設結構擾動項￡正交。t如果令A=I，則為B模型。如果令〃=I，則為A模型。AMM模型與B模型都是AB模型的特例。在方程兩邊同時左乘A-1,可得簡化VAR：y=y=r兒i+…+rpy一p+A-iBs由于u=A-iBs，故簡化式擾動項u的協(xié)方差矩陣為tttVar(u)=A-iBBA-1t結構VAR模型的待估參數(shù)總數(shù)為M2(A的參數(shù)個數(shù))+M2(B的參數(shù)個數(shù))+pM2(r,???,「的參數(shù)個數(shù))”，即2M2+pM2。1p簡化VAR模型的待估參數(shù)總數(shù)為'M(M+1)p(Var(u)的參數(shù)個數(shù))+pM2(r］，…,r的參數(shù)個數(shù))”,即［M(M+1)2］+pM2。一般地，SVAR的參數(shù)比VAR的參數(shù)多［2M2-M(M+1)2］個。為識別AB模型，需對矩陣A與B施加［2M2-M(M+1)/2］個約束。即使將矩陣A的主對角線元素都標準化為1，還需附加[2M2—M-M(M+1)p]個約束條件。如果正好施加如此多約束，為恰好識別；如施加更多約束，為過度識別。此階條件(ordercondition)為識別AB模型的必要條件。為估計SVAR模型，一般假設結構擾動項￡服從多維正態(tài)分布，t即￡~N(0,I)，然后進行帶約束條件的MLE。tM雖然此MLE估計量在多維正態(tài)的假設下導出，但在更弱的條件下，QMLE估計量依然一致。一般來說，應從經(jīng)濟理論或對簡化式VAR的估計結果出發(fā)，來設置約束條件。較常用的方法沿用喬利斯基分解的思路，將矩陣A設為下三角矩陣且主對角線元素全部為1,并將矩附設為對角矩陣，稱為“喬利斯基約束”(Choleskyrestrict