第20講取值范圍問題的解法這一節(jié)主要講解解析幾何的范圍問題,相對于前一講最值問題來說難度加大,但和最值問題的解題思路很像,解題的核心思路是:構(gòu)建所求幾何量的含參一元函數(shù),形如,并且進一步找到自變量范圍,進而求出值域,即所求幾何量的范圍,常見的函數(shù)有:①二次函數(shù);②"對勾函數(shù)";③反比例函數(shù);④分式函數(shù).若出現(xiàn)非常規(guī)函數(shù),則可考慮通過換元“化歸”為常規(guī)函數(shù),或者利用導數(shù)進行解決.這里找自變量的取值范圍在或者換元的過程中產(chǎn)生.除此之外,在找自變量取值范圍時,還可以從以下幾個方面考慮:①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍.②利用已知參數(shù)的范圍,求出新參數(shù)的范圍,解題的關(guān)鍵是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系.③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍.④利用函數(shù)值域的求法,確定參數(shù)的取值范圍.弦長的取值范圍【例1】若為圓的任意一條切線,與橢圓交于兩點,,求的取值范圍.【解析】設直線方程為:.直線為圓的切線,聯(lián)立直線與橢圓方程得.,由韋達定理得弦長.令,【例2】過點的直線交橢圓于兩點,為橢圓上一點,為坐標原點,且滿足,其中,求的取值范圍.【解析】設直線的方程為:,,將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立得,設,設.,有,,把點坐標代入橢圓方程中得簡得,而,,.令.. ,當?shù)淖畲笾禐?當時,.,的取值范圍為.【例3】已知是橢圓的兩個焦點,為坐標原點,點,在橢圓上,且是以為直徑的圓,直線與相切,并且與橢圓交于不同的兩點.(1)求橢圓的標準方程.(2)當,且滿足時,求弦長的取值范圍?！窘馕觥?1)由得,可得,將點代入橢圓方程得又,與上式聯(lián)立解得,故橢圓標準方程為.(2)直線與相切,則由得直線與橢圓交于不同的兩,點.設,..設,則.在上單調(diào)遞增,.弦長的取值范圍為.三角形面積的取值范圍【例1】如下圖所示,已知橢圓左、右焦點分別為為橢圓上任意一點,過的直線與橢圓交于兩點,點在線段上,且,點關(guān)于原點對稱的點為點,求面積的取值范圍.【解析】由題意,,設,,則,由題意可知,,聯(lián)立,整理得.由根與系數(shù)的關(guān)系得,..令,則,在上是增函數(shù),.面積的取值范圍為.【例2】設直線與橢圓相交于不同的兩點為線段的中點,為坐標原點,射線與橢圓相交于點,且點在以為直徑的圓上.記的面積分別為,求的取值范圍.【解析】為線段的中點,.(1)當直線的斜率不存在時,由及橢圓的對稱性,不妨設所在直線的方程為,得.則.(2)當直線的斜率存在時,設直線:.聯(lián)立,消去,得.,即.化簡得經(jīng)檢驗滿足成立..時,射線所在的直線方程為.聯(lián)立,消去得..,.綜上,的取值范圍為.四邊形面積的取值范圍【例1】已知橢圓的離心率為是橢圓的左、右焦點,是橢圓上一點,的最小值為2.(1)求橢圓的方程.(2)過點且與軸不重合的直線交橢圓于兩點,圓是以為圓心橢圓的長軸長為半徑的圓,過且與垂直的直線與圓交于兩點,求四邊形面積的取值范圍.【解析】(1)已知的最小值為,又,解得粗圓方程為.(2)①當與軸不垂直時,設的方程為,.聯(lián)立得,由韋達定理得,設過點且與垂直的直線:到的距離為,四邊形的面積.可得當與軸不垂直時,四邊形面積的取值范圍為②當與軸垂直時,其方程為,,四邊形的面積為12.綜上,四邊形面積的取值范圍為.【例2】已知橢圓0)的焦距為4,左、右焦點分別為,且與拋物線的交點所在的直線經(jīng)過.(1)求粗圓的方程.(2)分別過作平行直線,若直線與交于兩點,與拋物線無公共點,直線與交于兩點,其中點在軸上方,求四邊形的面積的取值范圍.【解析】(1)依題意得,則,.橢圓與拋物線的一個交點為.于是,從而.又,解得.橢圓的方程為.(2)依題意,直線的斜率不為0,設直線,聯(lián)立,消去得,由得.聯(lián)立,消去得則與間的距離(即點到m的距離),由橢圓的對稱性知,四邊形ABCD為平行四邊形,四邊形的面積的取值范圍為.向量點積的取值范圍【例1】設直線與橢圓:交于兩點,為坐標原點,若,求的取值范圍.【解析】設.聯(lián)立得,,即 【例2】直線與橢圓交于不同的兩點若存在點，使得四邊形為平行四邊形(為坐標原點),求的取值范圍. 【解析】聯(lián)立得.與交于不同的兩點,解得.存在點,使得四邊形為平行四邊形,設,則參數(shù)的取值范圍【例1】過點的直線交橢圓于不同的兩點(在之間),且滿足,求的取值范圍.【解析】(1)當直線的斜率不存在時,即直線,此時,由解得.(2)當直線的斜率存在時,設直線:. 遞增,即,解得.綜上所述,的取值范圍是.【例2】設橢圓的左頂點為,右頂點為,設過點的直線與橢圓交于點,且點在第一象限,點關(guān)于軸對稱點為點,直線與直線交于點,若直線斜率大于,求直線的斜率的取值范圍.【解析】設其中,則.由題意得.則直線為:,直線為:.聯(lián)立得,即.【例3】若過點的直線與橢圓:交于不同的兩點,且與圓沒有公共點,設為橢圓上一點,滿足(為坐標原點),求實數(shù)的取值范圍.【解析】由題意可知直線斜率不為0,設直線.聯(lián)立得.由得.設,由韋達定理得...點在橢圓上,,得.①直線與圓沒有公共點,則,②.