第2講求前項和經(jīng)過前面的學習,我們基本上可以求出數(shù)列的通項公式了,接下來就要講解數(shù)列前項和的求解方法.數(shù)列求和的方法相對來說比較固定,能夠總結出題型然后運用相應的解法即可,重點需要掌握的是錯位相減、裂項相消和分組求和,大家也一定要注意適用的題型結構.錯位相減法通項公式特征:數(shù)列通項公式是“”的形式,具備“等差等比”的特點,考慮利用錯位相減法求出,具體方法步驟如下.【例】已知,求前項和.(1)先將寫成前項和的形式:.(2)等式兩邊同時乘以等比部分的公比,得到一個新的等式,與原等式上下排列.,乘完公比后,對比原式項的次數(shù),新等式的每項向后挪了一位.(3)然后兩式相減:,除了首項與末項,中間部分呈等比數(shù)列求和特點,代人公式求和,再解出即可.設為數(shù)列的前項和,求.【解析】所以(1)式一(2)式得【例2】已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)求數(shù)列的前項和.【解析】(1)當時,,解得.當時,①,②①式-②式得,解得,易知也符合前式.綜上所述,.(2)依題意得.下面先求數(shù)列的前項和.,(1)式－(2)式得,即,化簡可得..裂項相消法通項公式特征:的表達式能夠拆成形如的形式,在求和時可以進行相鄰項(或相隔幾項)的相消,從而結果只存在有限幾項,最終達到求和目的,其中通項公式為分式和根式的情況居多.裂項相消法求數(shù)列和的常見類型:(1)等差型:,其中數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.(2)無理型:.（3）指數(shù)型:.(4)對數(shù)型:.如以為例,求前項和.(1)裂項:考慮這里.(2)求和:設的前項和為.,求和的關鍵在于確定剩下的項,通過觀察可發(fā)現(xiàn)正項中沒有消去,負項中沒有消去..一般來說,裂開的項中有個正項,個負項,且由于消項的過程中是成對消掉,所以剩余項中正負的個數(shù)應該相同.設,求數(shù)列的前項和.【解析】 【例2】設,求數(shù)列的前項和.【解析】∴數(shù)列的前項和為【例3】若數(shù)列求數(shù)列的前項和.【解析】 【例4】已知，求數(shù)列的前n項和.【解析】 分組求和法分組求和:如果通項公式是前幾種可求和形式相加或者相減,那么在求和時可將通項公式的項分成這幾部分分別求和,然后再將結果相加.令,求數(shù)列的前項和.【解析】【例2】已知:正項數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)令,求數(shù)列的前項和.【解析】(1)當時,,,(1)式加(2)式得,化簡得,即數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.令,數(shù)列為正項數(shù)列,得,.(2),設為數(shù)列的前項和, 倒序相加法題型結構:已知函數(shù),求與函數(shù)相關的數(shù)列的和,其中.一般解題步驟:第一步:倒序.把的順序倒過來,即 第二步:找到前后對應項之和,通常為常數(shù),即.第三步:把上述兩式相加求和,再除以2即可.函數(shù)對任意的都有,數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式.【解析】(1)式加(