第頁28.5弧長和扇形面積的計算一、選擇題1．扇形的半徑為30cm，圓心角為120°，那么此扇形的弧長是()A．20πcmB．10πcmC．10cmD．20cm一個扇形的圓心角是120°，面積是3πcm2，那么這個扇形的半徑是()A．1cmB．3cmC．6cmD．9cm3．如圖43－K－1，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O的半徑為2，∠ABC＝135°，那么eq\o(AC,\s\up8(︵))的長為()A．2πB．πC.eq\f(π,2)D.eq\f(π,3)圖43－K－1圖43－K－24．如圖43－K－2，圓錐側(cè)面展開圖的扇形面積為65πcm2，扇形的弧長為10πcm，那么圓錐母線長是()A．5cmB．10cmC．12cmD．13cm5．假設(shè)一個圓錐的底面圓的半徑為1，母線長為3，那么該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是()A．90°B．120°C．150°D．180°6．如圖43－K－3，半圓O的直徑AB＝4，P，Q是半圓O上的點，弦PQ的長為2，那么eq\o(AP,\s\up8(︵))與eq\o(QB,\s\up8(︵))的長度之和為()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(4π,3)C.eq\f(5π,3)D．π圖43－K－3圖43－K－47．如圖43－K－4，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，將矩形ABCD按如下圖的方式在直線l上進行兩次旋轉(zhuǎn)，那么點B在兩次旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑的長是()A.eq\f(25,2)πB．13πC．25πD．25eq\r(2)8．如圖43－K－5，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，以AB為直徑的半圓O交斜邊BC于點D，那么陰影局部的面積為(結(jié)果保存π)()A．16B．24－4πC．32－4πD．32－8π圖43－K－5二、填空題9．假設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為24πcm，那么此圓錐的底面半徑為________cm.10．扇形的半徑為6cm，面積為10πcm2，那么該扇形的弧長等于________．11．[2023·無錫]假設(shè)圓錐的底面半徑為3cm，母線長是5cm，那么它的側(cè)面展開圖的面積為________cm2.12．[2023·保定二模]如圖43－K－6，現(xiàn)有一張圓心角為108°，半徑為40cm的扇形紙片，小紅剪去圓心角為θ的局部扇形紙片后，將剩下的紙片制作成一個底面半徑為10cm的圓錐形紙帽(接縫處不重疊)，那么剪去的扇形紙片的圓心角θ的度數(shù)為________．圖43－K－613．如圖43－K－7，圓錐的底面圓的半徑為3cm，母線長為9cm，C為母線PB的中點，一只螞蟻欲從點A處沿圓錐的側(cè)面爬到點C處，那么它爬行的最短距離為________．圖43－K－7圖43－K－8如圖43－K－8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到△ADE.假設(shè)AC＝1，那么線段BC在上述旋轉(zhuǎn)過程中所掃過局部(陰影局部)的面積是________(結(jié)果保存π).三、解答題15．如圖43－K－9，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(－1，1)，B(－3，1)，C(－1，4)．(1)畫出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1；(2)將△ABC繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2BC2，請在圖中畫出△A2BC2，并求出線段BC在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積(結(jié)果保存π)．圖43－K－9如圖43－K－10，在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于點F，∠A＝30°.(1)求⊙O的半徑；(2)假設(shè)用陰影扇形BOD圍成一個圓錐側(cè)面，請求出這個圓錐底面圓的半徑.圖43－K－1017．如圖43－K－11，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，經(jīng)過A，B，E三點的⊙O交BC于點D，且eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵)).(1)求證：AB為⊙O的直徑；(2)假設(shè)AB＝8，∠BAC＝45°，求陰影局部的面積．圖43－K－111．A2．B[解析]∵扇形的圓心角是120°，面積是3πcm2，∴3π＝eq\f(120πR2,360)，R2＝9.∵R>0，∴R＝3.3．B[解析]如圖，連接OA，OC.∵∠ABC＝135°，∴∠ADC＝45°，∴∠AOC＝90°，那么eq\o(AC,\s\up8(︵))的長為eq\f(90π×2,180)＝π.應(yīng)選B.4．D[解析]設(shè)母線長為R，由題意，得65π＝eq\f(10πR,2)，解得R＝13.應(yīng)選D.5．B[解析]圓錐側(cè)面展開圖的弧長是2π×1＝2π(cm)．設(shè)圓心角的度數(shù)是n°.那么eq\f(nπ×3,180)＝2π，解得n＝120.應(yīng)選B.6．B[解析]如圖，連接OP，OQ，那么OP＝OQ＝2.∵OP＝OQ＝PQ＝2，∴△OPQ為等邊三角形，∴∠POQ＝60°，∴∠AOP＋∠BOQ＝120°，那么eq\o(AP,\s\up8(︵))與eq\o(QB,\s\up8(︵))的長度之和為eq\f(120·π·2,180)＝eq\f(4π,3).應(yīng)選B.7．A8．B[解析]連接AD，OD.在等腰直角三角形ABC中，有∠ABD＝45°.∵AB是半圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴△ABD也是等腰直角三角形，∴AD＝BD.∵AB＝8，∴AD＝BD＝4eq\r(2)，∴S陰影＝S△ABC－S△ABD－S弓形AD＝S△ABC－S△ABD－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S扇形AOD－\f(1,2)S△ABD))＝eq\f(1,2)×8×8－eq\f(1,2)×4eq\r(2)×4eq\r(2)－eq\f(90π×42,360)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×4eq\r(2)×4eq\r(2)＝16－4π＋8＝24－4π.應(yīng)選B.9．1210.eq\f(10π,3)cm[解析]∵eq\f(1,2)lr＝10π，∴l(xiāng)＝eq\f(20π,r)＝eq\f(20π,6)＝eq\f(10π,3)(cm)．11．15π[解析]由圓錐的底面半徑為3cm，得其底面周長為6πcm，所以其側(cè)面面積為eq\f(1,2)×6π×5＝15π(cm2)．12．18°[解析]由2×10π＝eq\f(nπ×40,180)，得n＝90.∵原扇形紙片的圓心角是108°，∴剪去的扇形紙片的圓心角θ的度數(shù)為108°－90°＝18°.故答案為18°.13.eq\f(9\r(3),2)cm[解析]圓錐的底面周長是6πcm，由6π＝eq\f(nπ×9,180)，得n＝120°，即圓錐側(cè)面展開扇形的圓心角是120°，∴圓錐側(cè)面展開后∠APC＝60°.∵在圓錐側(cè)面展開扇形中，AP＝9cm，PC＝4.5cm，∴∠ACP＝90°，∴在圓錐側(cè)面展開扇形中，AC＝eq\r(AP2－PC2)＝eq\f(9,2)eq\r(3)cm.故答案為eq\f(9,2)eq\r(3)cm.14．eq\f(π,2)[解析]∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∴∠ABC＝30°，AB＝2，∴扇形DAB的面積是eq\f(60×π×22,360)＝eq\f(2π,3).在Rt△ABC中，AC＝1，∴扇形CAE的面積是eq\f(60π×12,360)＝eq\f(π,6)，∴陰影局部的面積是S扇形DAB＋S△ABC－S△ADE－S扇形CAE＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2).15．解：(1)△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1如下圖．(2)△ABC繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2BC2如下圖，線段BC在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積S＝eq\f(90π×13,360)＝eq\f(13π,4).16．解：(1)∵AC⊥BD于點F，∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∠OBF＝30°.∵AB＝4，∴BF＝2，∴OB＝eq\f(BF,cos30°)＝eq\f(4,3)eq\r(3)，即⊙O的半徑為eq\f(4,3)eq\r(3).(2)設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，那么周長為2πr，由(1)，知∠BOD＝120°，∴2πr＝eq\f(120π×\f(4\r(3),3),180)，∴r＝eq\f(4\r(3),9)，∴這個圓錐底面圓的半徑為eq\f(4\r(3),9).17．解：(1)證明：連接AD.∵eq\o(