復(fù)變函數(shù)留數(shù)習(xí)題概要第一頁，共44頁。2一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：難點(diǎn)：留數(shù)的計算與留數(shù)定理留數(shù)定理在定積分計算上的應(yīng)用第一頁第二頁，共44頁。3二、內(nèi)容提要留數(shù)計算方法可去奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系對數(shù)留數(shù)留數(shù)定理留數(shù)在定積分上的應(yīng)用輻角原理路西原理第二頁第三頁，共44頁。41）定義

如果函數(shù)在

不解析,但在的某一去心鄰域內(nèi)處處解析,則稱為的孤立奇點(diǎn).1.孤立奇點(diǎn)的概念與分類孤立奇點(diǎn)奇點(diǎn)2）孤立奇點(diǎn)的分類依據(jù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類:i)可去奇點(diǎn);ii)極點(diǎn);iii)本性奇點(diǎn).第三頁第四頁，共44頁。5定義

如果洛朗級數(shù)中不含

的負(fù)冪項,那末孤立奇點(diǎn)

稱為

的可去奇點(diǎn).i)

可去奇點(diǎn)第四頁第五頁，共44頁。6ii)極點(diǎn)

定義

如果洛朗級數(shù)中只有有限多個的負(fù)冪項,其中關(guān)于的最高冪為即級極點(diǎn).那末孤立奇點(diǎn)稱為函數(shù)的或?qū)懗傻谖屙摰诹摚?4頁。7極點(diǎn)的判定方法在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)其中在的鄰域內(nèi)解析,且的負(fù)冪項為有的洛朗展開式中含有限項.(a)由定義判別(b)由定義的等價形式判別(c)利用極限判斷

.第六頁第七頁，共44頁。8如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個那末孤立奇點(diǎn)稱為的本性奇點(diǎn).的負(fù)冪項,注意:

在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)不存在且不為iii)本性奇點(diǎn)第七頁第八頁，共44頁。9i)零點(diǎn)的定義不恒等于零的解析函數(shù)如果能表示成其中在解析且m為某一正整數(shù),那末稱為的

m級零點(diǎn).3)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系ii)零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系如果是的m級極點(diǎn),那末就是的

m級零點(diǎn).反過來也成立.第八頁第九頁，共44頁。102.留數(shù)記作定義

如果的一個孤立奇點(diǎn),則沿內(nèi)包含的任意一條簡單閉曲線

C的積分的值除后所得的數(shù)稱為以第九頁第十頁，共44頁。111)留數(shù)定理

設(shè)函數(shù)在區(qū)域

D內(nèi)除有限個孤外處處解析,C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線,那末立奇點(diǎn)留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).第十頁第十一頁，共44頁。12(1)如果為的可去奇點(diǎn),則如果為的一級極點(diǎn),那末a)(2)如果為的本性奇點(diǎn),則需將成洛朗級數(shù)求展開(3)如果為的極點(diǎn),則有如下計算規(guī)則2)留數(shù)的計算方法第十一頁第十二頁，共44頁。13c)設(shè)及在如果那末為一級極點(diǎn),且有都解析，如果為的級極點(diǎn),那末b)第十二頁第十三頁，共44頁。14也可定義為記作1.定義設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡單閉曲線那末積分值為在的留數(shù).的值與C無關(guān)

,則稱此定3)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)第十三頁第十四頁，共44頁。15如果函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立奇點(diǎn),那末在所有各奇點(diǎn)

(包括

點(diǎn))的留數(shù)的總和必等于零.

定理第十四頁第十五頁，共44頁。163.留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用1）三角函數(shù)有理式的積分當(dāng)歷經(jīng)變程時,z沿單位圓周的正方向繞行一周.第十五頁第十六頁，共44頁。17第十六頁第十七頁，共44頁。182）無窮積分第十七頁第十八頁，共44頁。193）混合型無窮積分第十八頁第十九頁，共44頁。20特別地第十九頁第二十頁，共44頁。21

4.對數(shù)留數(shù)定義具有下列形式的積分:內(nèi)零點(diǎn)的總個數(shù),P為

f(z)在C內(nèi)極點(diǎn)的總個數(shù).其中,N為

f(z)在C且C取正向.第二十頁第二十一頁，共44頁。22如果

f(z)在簡單閉曲線C上與C內(nèi)解析,且在C上不等于零,那么

f(z)在C內(nèi)零點(diǎn)的個數(shù)等于乘以當(dāng)z沿C的正向繞行一周f(z)的輻角的改變量.輻角原理

路西定理第二十一頁第二十二頁，共44頁。23三、典型例題解第二十二頁第二十三頁，共44頁。24解第二十三頁第二十四頁，共44頁。25第二十四頁第二十五頁，共44頁。26例2

求函數(shù)的奇點(diǎn)，并確定類型.解是奇點(diǎn).是二級極點(diǎn);是三級極點(diǎn).第二十五頁第二十六頁，共44頁。27例3

證明是的六級極點(diǎn).證第二十六頁第二十七頁，共44頁。28例4

求下列各函數(shù)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù).解(1)在內(nèi),第二十七頁第二十八頁，共44頁。29解第二十八頁第二十九頁，共44頁。30解為奇點(diǎn),當(dāng)時為一級極點(diǎn)，第二十九頁第三十頁，共44頁。31第三十頁第三十一頁，共44頁。32解的一級極點(diǎn)為第三十一頁第三十二頁，共44頁。33例5

計算積分

為一級極點(diǎn)，為七級極點(diǎn).解第三十二頁第三十三頁，共44頁。34由留數(shù)定理得第三十三頁第三十四頁，共44頁。35例6

解在內(nèi),第三十四頁第三十五頁，共44頁。36第三十五頁第三十六頁，共44頁。37解例7

計算第三十六頁第三十七頁，共44頁。38第三十七頁第三十八頁，共44頁。39例8

計算解令第三十八頁第三十九頁，共44頁。40極點(diǎn)為：第三十九頁