第八章平面解析幾何高考難點(diǎn)突破系列(二)圓錐曲線中的綜合問題第一課時(shí)定點(diǎn)問題內(nèi)容索引分層精練鞏固提升題型一直線過定點(diǎn)問題得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)＞0，即4k2－m2＋1＞0，

故x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0.

即5m2－16km＋12k2＝0，當(dāng)m＝2k時(shí)，直線l的方程為y＝k(x＋2)，恒過點(diǎn)A，不滿足題意；圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)．(2)特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)．感悟提升

(2)設(shè)Q(1，0)，直線x＝t不經(jīng)過P點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)，若直線BQ與C交于另一點(diǎn)D，求證：直線AD過x軸上的一定點(diǎn)．證明顯然直線BQ的斜率不為零，設(shè)直線BQ的方程為x＝my＋1，B(x1，y1)，D(x2，y2)，A(x1，－y1)，依題意得m2－3≠0且Δ＝4m2＋8(m2－3)＞0，

所以直線AD過x軸上的定點(diǎn)(3，0)．題型二其它曲線過定點(diǎn)問題

當(dāng)AB⊥y軸時(shí)，以線段AB為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1.可得兩圓交點(diǎn)為Q(－1，0)．由此可知，

若以線段AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)為Q(－1，0)．下證Q(－1，0)符合題意．設(shè)直線l的斜率存在，且不為0，

即Q(－1，0)在以線段AB為直徑的圓上．綜上，以線段AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)(－1，0)．(1)定點(diǎn)問題，先猜后證，可先考慮運(yùn)動(dòng)圖形是否有對稱性及特殊(或極端)位置猜想，如直線的水平或豎直位置，即k＝0或k不存在．(2)以曲線上的點(diǎn)為參數(shù)，設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，利用點(diǎn)在曲線f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消參．感悟提升

(2)過點(diǎn)(4，0)作斜率不為0的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，直線x＝4分別交直線AM，AN于點(diǎn)E，F(xiàn).試判斷以EF為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)，若經(jīng)過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；反之，請說明理由．解①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，Δ＞0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由對稱性可知，若以EF為直徑的圓過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)一定在x軸上．將y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)代入上式，

解得x＝1或x＝7.即以EF為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)(1，0)和(7，0)．②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(4，3)，(4，－3)，以EF為直徑的圓的方程為(x－4)(x－4)＋(y－3)(y＋3)＝0，該圓經(jīng)過點(diǎn)(7，0)和(1，0)．綜上可得，以EF為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)(1，0)和(7，0)．齊次化處理策略拓展視野“齊次”從詞面上解釋是“次數(shù)相等”的意思．在代數(shù)里也有“齊次”的叫法，例如f＝ax2＋bxy＋cy2稱為二次齊次式，f中每一項(xiàng)都是關(guān)于x，y的二次項(xiàng)．下面研究齊次化在圓錐曲線中的應(yīng)用．例

已知拋物線y2＝2px(p＞0)，過原點(diǎn)且互相垂直的兩直線OA，OB交拋物線于A，B.求證：直線AB過定點(diǎn)．所以直線AB方程為x＝my＋2p，所以直線AB恒過定點(diǎn)(2p，0)．

證明設(shè)P，Q坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，

FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升【A級

基礎(chǔ)鞏固】(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P點(diǎn)且與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線PA與直線PB的斜率之和為1，問：直線l是否過定點(diǎn)？證明你的結(jié)論．解設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A(x1，y1)，B(x1，－y1)，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝48(4k2－m2＋3)>0.當(dāng)m＝4k時(shí)，Δ＝4k2－m2＋3>0有解，此時(shí)直線l：y＝k(x＋4)過定點(diǎn)(－4，0)．解由題意可得c＝1，b＝1，a2＝b2＋c2＝2.證明由題意可知直線l的斜率存在，將直線l代入橢圓方程，得(4k2＋2)x2＋4kx－3＝0，(2)過點(diǎn)(3，0)的直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線x＝1的垂線，垂足為A.證明：直線AQ過定點(diǎn).證明①當(dāng)l與x軸不重合時(shí)，設(shè)l：x＝ty＋3，所以直線AQ過定點(diǎn)(2，0).②當(dāng)l與x軸重合時(shí)，直線AQ過定點(diǎn)(2，0).綜上，直線AQ過定點(diǎn)(2，0).【B級

能力提升】解設(shè)橢圓E的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，證明當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，lMN：x＝