二絕對值不等式1.絕對值三角不等式第1頁【自主預(yù)習(xí)】1.絕對值幾何意義原點距離長度a第2頁2.絕對值三角不等式(1)定理1:假如a,b∈R,則|a+b|≤________,當(dāng)且僅當(dāng)______時,等號成立.(2)定理1推廣:假如a,b是實數(shù),則||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.|a|+|b|ab≥0第3頁(3)定理2:假如a,b,c∈R,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)______________時,等號成立.(a-b)(b-c)≥0第4頁【即時小測】1.已知a,b∈R,則使不等式|a+b|<|a|+|b|一定成立條件是()A.a+b>0 B.a+b<0 C.ab>0 D.ab<0【解析】選D.依據(jù)絕對值意義,可知只有當(dāng)ab<0時,不等式|a+b|<|a|+|b|成立.第5頁2.對任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|最小值為()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.對任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=|x-1|+|-x|+|1-y|+|y+1|≥|x-1-x|+|1-y+y+1|=3,當(dāng)且僅當(dāng)x∈[0,1],y∈[-1,1]時,等號成立.第6頁3.不等式|x+1|+|x-1|≥a恒成立,則實數(shù)a取值范圍為_________.【解析】因為|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2,當(dāng)且僅當(dāng)-1≤x≤1時等號成立,所以,使不等式|x+1|+|x-1|≥a恒成立實數(shù)a取值范圍為a≤2.答案:a≤2第7頁【知識探究】

探究點絕對值三角不等式1.用向量a,b分別替換a,b,當(dāng)a與b不共線時,有|a+b|<|a|+|b|,其幾何意義是什么?提醒:其幾何意義是:三角形兩邊之和大于第三邊.第8頁2.不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|中“=”成立條件分別是什么?提醒:右側(cè)“=”成立條件是ab≥0,左側(cè)“=”成立條件是ab≤0且|a|≥|b|.第9頁【歸納總結(jié)】1.對定理1兩點說明(1)因為定理1與三角形邊之間聯(lián)絡(luò),故稱此不等式為絕對值三角不等式.(2)定理1可推廣到n個實數(shù)情況即:|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.第10頁2.定理2幾何解釋在數(shù)軸上,a,b,c所對應(yīng)點分別為A,B,C,當(dāng)點B在點A,C之間時,|a-c|=|a-b|+|b-c|.當(dāng)點B不在點A,C之間時,(1)點B在A或C上時,|a-c|=|a-b|+|b-c|.(2)點B不在A,C上時,|a-c|<|a-b|+|b-c|.第11頁類型一利用絕對值三角不等式證實不等式【典例】設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x,實數(shù)|x-a|<1.求證:|f(x)-f(a)|<2|a|+3.【解題探究】典例中對于|f(x)-f(a)|怎樣結(jié)構(gòu),使其滿足絕對值不等式形式?提醒:|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a||x+a-2|.第12頁【證實】因為函數(shù)f(x)=x2-2x,實數(shù)|x-a|<1,所以|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a|=|x-a||x+a-2|<|x+a-2|=|(x-a)+2a-2|≤|x-a|+|2a-2|<1+|2a|+2=2|a|+3,所以|f(x)-f(a)|<2|a|+3.第13頁【方法技巧】兩類含絕對值不等式證實技巧一類是比較簡單不等式,往往可經(jīng)過平方法、換元法去掉絕對值轉(zhuǎn)化為常見不等式證實,或利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,經(jīng)過適當(dāng)添、拆項證實.第14頁另一類是綜合性較強函數(shù)型含絕對值不等式,往往可考慮利用普通情況成立,則特殊情況也成立思想,或利用一元二次方程根分布等方法來證實.第15頁【變式訓(xùn)練】1.設(shè)m是|a|,|b|和1中最大一個,當(dāng)|x|>m時,求證:<2.【解題指南】利用m≥|a|,m≥|b|,m≥1求解.第16頁【證實】因為|x|>m≥|b|且|x|>m≥1,所以|x2|>|b|.又因為|x|>m≥|a|,所以故原不等式成立.第17頁2.若f(x)=x2-x+c(c為常數(shù)),|x-a|<1,求證:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).【解題指南】將|f(x)-f(a)|分解成含|x-a|形式,再利用|x-a|<1證實.第18頁【證實】|f(x)-f(a)|=|x2-x+c-(a2-a+c)|=|x2-x-a2+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|=|(x-a)+(2a-1)|≤|x-a|+|2a-1|≤|x-a|+|2a|+1<1+2|a|+1=2(|a|+1).第19頁類型二利用絕對值三角不等式求最值或取值范圍【典例】求函數(shù)y=|x-3|-|x+1|最大值和最小值.【解題探究】典例中求|x-3|-|x+1|最值可利用哪個絕對值不等式?提醒:依據(jù)||a|-|b||≤|a-b|求最值.第20頁【解析】因為||x-3|-|x+1||≤|(x-3)-(x+1)|=4,所以-4≤|x-3|-|x+1|≤4.所以ymax=4,ymin=-4.第21頁【延伸探究】1.典例中函數(shù)y取到最大值時,需滿足什么條件?【解析】函數(shù)y取到最大值,需要滿足解得x≤-1.第22頁2.若將典例條件改為|x-3|+|x+1|>a解集不是R,求a取值范圍.【解析】只要a大于|x-3|+|x+1|最小值,則|x-3|+|x+1|>a解集不是R,而|x-3|+|x+1|=|3-x|+|x+1|≥|3-x+x+1|=4,第23頁當(dāng)且僅當(dāng)(3-x)(x+1)≥0,即-1≤x≤3時取最小值4,所以a取值范圍是[4,+∞).第24頁【方法技巧】求f(x)=|x+a|+|x+b|和f(x)=|x+a|-|x+b|最值三種方法(1)轉(zhuǎn)化法:轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)進而利用分段函數(shù)性質(zhì)求解.第25頁(2)利用絕對值三角不等式進行“放縮”求解,但要注意兩數(shù)“差”還是“和”絕對值為定值.(3)利用絕對值幾何意義.第26頁【變式訓(xùn)練】已知x∈R,求函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|最大值.【解析】依據(jù)絕對值三角不等式,有|x+1|-|x-2|≤|(x+1)-(x-2)|=3.當(dāng)且僅當(dāng)x≥2時等號成立.故函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|≤3,所以最大值為3.第27頁類型三絕對值三角不等式綜合應(yīng)用【典例】(·全國卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)=+|x-a|(a>0).(1)證實:f(x)≥2.(2)若f(3)<5,求a取值范圍.第28頁【解題探究】1.典例(1)中可利用什么來證實f(x)≥2?提醒:利用絕對值不等式去掉x,再利用平均不等式證實.2.典例(2)中含絕對值不等式怎樣轉(zhuǎn)化為不含絕對值?提醒:可經(jīng)過對a討論,去掉絕對值,解不等式.第29頁【解析】(1)由a>0,有f(x)=所以f(x)≥2.(2)f(3)=+|3-a|.當(dāng)a>3時,f(3)=a+,由f(3)<5,得3<a<第30頁當(dāng)0<a≤3時,f(3)=6-a+,由f(3)<5,得<a≤3.綜上,a取值范圍是第31頁【方法技巧】絕對值不等式綜合應(yīng)用解題策略含絕對值綜合問題,綜合性強,所用到知識多,在解題時,要注意應(yīng)用絕對值不等式性質(zhì)、推論及已知條件,還要注意配方等等價變形,同時在應(yīng)用絕對值不等式放縮性質(zhì)求最值時,還要注意等號成立條件.第32頁【變式訓(xùn)練】1.設(shè)f(x)=ax2+bx+c,當(dāng)|x|≤1時,恒有|f(x)|≤1,求證:|f(2)|≤7.【證實】因為|x|≤1時,有|f(x)|≤1,所以|f(0)|=|c|≤1,|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,又f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c第33頁所以|f(2)|=|4a+2b+c|=|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7.所以|f(2)|≤7.第34頁2.已知函數(shù)f(x)=lg(1)判斷f(x)在[-1,1]上單調(diào)性,并給出證實.(2)若t∈R,求證:第35頁【解析】(1)f(x)在[-1,1]上是減函數(shù).證實:令取-1≤x1<x2≤1,則u1-u2=第36頁因為|x1|≤1,|x2|≤1,x1<x2,所以u1-u2>0,即u1>u2.又在[-1,1]上u>0,故lgu1>lgu2,得f(x1)>f(x2),所以f(x)在[-1,1]上是減函數(shù).第37頁(2)因為所以第38頁由(1)結(jié)論,有第39