空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系一、上節(jié)課回顧如圖，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b(a>0,bHO)，且交拋物線y2=2px(p〉0)于M(xry)N(x2,y2)兩點(diǎn)寫出直線l的截距式方程；111證明：一+—=—；yyb12當(dāng)a=2p時(shí)，求ZMON的大小2.如圖，矩形ABCD中，|AB|=2a,|BC|=2b,以AB邊所在的直線為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，P是x軸上方一點(diǎn)，使PC、PD與線段AB分別交于C、D兩點(diǎn)，且AD2,DC2,CB2成等比111111數(shù)列，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程到兩定點(diǎn)A(0，0)，B(3,4)距離之和為5的點(diǎn)的軌跡是A橢圓 BAB所在直線 C線段ABD無軌跡4?若點(diǎn)(x，y)在橢圓4x2+y2=4上，則注的最小值為A1 A1 B―1 C-3<3D以上都不對(duì)5.若直線mx+ny—3=0與圓X2+y2=3沒有公共點(diǎn)，則m、n滿足的關(guān)系式為 ；以(皿，n)為點(diǎn)P的坐標(biāo)，過點(diǎn)P的一條直線與橢圓穿+牛1的公共點(diǎn)有——個(gè)

二、本節(jié)課內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)歸納、空間向量及其有關(guān)概念語言描述共線向量(平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合.共面向量平行于同一平面的向量.共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(bHO),a〃bo存在人WR,使a=Ab.共面向量定理若兩個(gè)向量a,b不共線，則向量p與向量a,b共面o存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa+yb.空間向量基本定理定理：如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組｛x,y,z｝使得p=xa+yb+zc.推論：設(shè)0、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間一點(diǎn)P都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x、y、z使OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1.二、數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算兩個(gè)向量的數(shù)量積a?b=|a||b|cos〈a,b〉；a丄boa?b=0(a,b為非零向量);|a|2=a2,|a|=\：X2+y2+z2.向量的坐標(biāo)運(yùn)算a=(a,a,a),b=(b,b,b)1 2 3 1 2 3向量和a+b=(a+b,a+b,a+b)1 1 2 2 3 3向量差a—b=(a—b,a—b,a—b)1 1 2 2 3 3數(shù)量積a?b=ab+ab+ab1 1 22 33共線a〃bna=Ab,a=Ab,a=Ab(AWR)1 1 2 2 3 3垂直a1boab+ab+ab=01 1 22 33夾角公式, … ab+ab+abcos〈a,b〉 一—~22—v~Tva^+a^+a^b^+b^+b^1 2 3 1 2 3三、平面的法向量所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量，顯然一個(gè)平面的法向量有無數(shù)多個(gè),它們是共線向量.在空間中，給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a,那么以向量a為法向量且經(jīng)過點(diǎn)A的平面是唯一的.練習(xí)回顧1?已知a=(—2,—3,l),b=(2,0,4),c=(—4,一6,2)則下列結(jié)論正確的是( )A.allc,b〃c B.a〃b,a丄c C.a〃c,a丄b D.以上都不對(duì)2?若{a,b，c}為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的一組向量是()A.{a，a+b,a—b} B.{b,a+b,a—b}C.{c,a+b,a—b} D.{a+b,a—b,a+2b}3?下列命題：若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有AB+BC+CD+DA=0；若MB=xMA+yMB，則M、P、A、B共面；TOC\o"1-5"\h\z ? ? ? ?若p=xa+yb,則p與a,b共面.其中正確的個(gè)數(shù)為(~A.0 B.1 C.2 D.3在四面體0—ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則OE= (用a,b,c表示).5.已知ABCD—ABCD為正方體，①(AA+AD+AB)2=3AB2；②AC?(AB—AA)1111 1 11 11 11 1 11 1=0；③向量AD與向量AB的夾角是60°；④正方體ABCD—ABCD的體積為|AB?AA?AD|.11 ? ? ?1111? ? —1_??其中正確命題的序號(hào)是 ?用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題一般用向量共線定理；求兩點(diǎn)間距離或某一線段的長度，一般用向量的模來解決；解決垂直問題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零；求異面直線所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.2?直線的方向向量與平面的法向量的確定：直線的方向向量：l是空間一直線，A,B是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱AB為直線l的方向向量，與AB平行的任意非零向量也是直線l的方向向量. 一平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a,b是平面a內(nèi)兩不共線向量，n為平面a的法向量，則求'n?a=0,法向量的方程組為］廠n?b=0.

（三）例題講解1、空間向量的線性運(yùn)算［例1］如圖，在平行六面體ABCD-ABCD中GABD的重心,設(shè)AB=a,AD=b,AA=c，試用a,b,c表示AC,AG.11變式:本例條件不變，設(shè)A1C1與B1D1交點(diǎn)為M,試用a,b,c表示MG.總結(jié)：用已知向量表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，靈活運(yùn)用三角形法則及四邊形法則.練習(xí)：如圖所示，已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB、AC,M、N分別為OA、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且MG=2GN，若OG=xOA+yOB+z0C，則x,y,z的值分別為 .2、共線、共面向量定理的應(yīng)用DrF［例2］如右圖，已知平行六面體ABCD-AZBzCD‘，E、F、G、H分別是棱AzD'、D‘C'、CC和AB的中點(diǎn)，求證E、F、G、H四點(diǎn)共面.

DrF總結(jié)：應(yīng)用共線向量定理、共面向量定理證明點(diǎn)共線、點(diǎn)共面的方法比較:三點(diǎn)(P,A,B)共線空間四點(diǎn)(M,P,A,B)共面PA=久PB且同過點(diǎn)PMP=xMA+yMB對(duì)空間任一點(diǎn)0,PP=OA-+tAB對(duì)空間任一點(diǎn)0,OP=OM+xMA+yMB對(duì)空間任一點(diǎn)0,OP=xOA+(1—x)OB對(duì)空間任一點(diǎn)0,OP=xOM+yOA+(1—x—y)OB練習(xí)：已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),用向量方法，求證：(1)E、F、G、H四點(diǎn)共面；⑵BD〃平面EFGH3、利用空間向量證明平行或垂直EF[例3] 已知AB丄平面ACD,DE丄平面ACD,^ACD為等邊三角形，邊EF長為2a,AD=DE=2AB,F為CD的中點(diǎn).求證:AF〃平面BCE；求證：平面BCE丄平面CDE.總結(jié)：利用直線的方向向量與平面的法向量，可以判定直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直.設(shè)直線l的方向向量v=(a,b,c),l的方向向量v=(a,b,c).1111122222貝9l〃lov〃vo(a,b,c)=k(a,b,c)(kwR).1212111222l丄lov丄voaa+bb+cc=0.1212121212設(shè)直線l的方向向量為v=(a,b,c),平面a的法向量為n=(a,b,c),則l〃aov丄noaa11122212+bb+cc=0.1212l丄aov〃no(a,b,c)=k(a,b,c).111222設(shè)平面a的法向量n=(a,b,c),0的法向量為n=(a,b,c),則a〃0on〃n,a丄01111’22221121on丄n.12練習(xí)：如圖所示的長方體ABCD—ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方Di1111Di形,0為AC與BD的交點(diǎn),BB1=/2,M是線段B』』勺中點(diǎn).⑴求證：BM〃平面DAC；(2)求證：DO丄平面ABC.練習(xí)題若直線l的方向向量為a,平面a的法向量為n,能使l〃a的是()A.a=(1,0,0),n=(—2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)C.a=(0,2,1),n=(—1,0,—1) D.a=(1,—1,3),n=(0,3,1)已知a=(2,—1,3),b=(—1,4,—2),c=(7,5,k),若a,b,c三向量共面，則實(shí)數(shù)Z等于()62A62A?N636065c.〒如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M為A￡與BR的交點(diǎn).若AB=a, =b,AAi=c，則下列向量中與BM相等的向量是()A.-^|b+cD.|a—^b+c4?如圖所示，已知空間四邊形OABC,OB=OC,且ZAOB=ZAOC=n則4?如圖所示，已知空間四邊形OABC,OB=OC,且ZAOB=ZAOC=n則cos<OA，BC〉的值為（）c半A.05.平行六面體ABCD-ABCD中,向量AB、AD、AA兩兩的夾角均為60°,且|AB|=1,|AD|11111=2，|AA|=3,貝川AC|等于（）1一A.51B.6C.4D.86.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為正方形四邊上的動(dòng)點(diǎn)，O為底面正方形ABCD的中心，M,N分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，線段D1Q與OP互相平分，則滿足MQ=AMN的實(shí)數(shù)人的值有（）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)7.在下列條件中，使M與A、B、C一定共面的是.①OM=2OA-OB-OC；?OM=-OA+1OB+1OC‘③MA+MB+MC=0；④OM5 3 2+OAOB+OC=0.&如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E、F分別是棱BC、D”上的點(diǎn)，如果B-E丄平面ABF，則CE與DF的和的值為 .CyBEDJ--如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2,E為PB的中點(diǎn)，cosDP,AE〉=￥，若以DA、DC,DP所在直線分別為x,y,z軸建立空間CyBEDJ--直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，PA丄底面ABCD,AB丄AD,AC丄CD,ZABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).證明:AE丄CD；PD丄平面ABE.已知矩形ABCD中，AB=6,BC=6p2,E為AD的中點(diǎn)(圖甲).沿BE將AABE折起，使二面角A-BE-C為直二面角(圖乙)，且F為AC的中點(diǎn).求證：FD〃平面ABE；A圖乙求證：AC丄BE.A圖乙如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,PD丄平面ABCD,AD=1,AB=-?j3,BC=4.(1)求證:BD丄PC；⑵設(shè)點(diǎn)E在棱PC上,PE=XPC，若DE〃平面PAB,求人的值.

作業(yè)：1.已知AB=(1,5,—2),BC=(3,1,z),若AB丄BC,BP=(x—1,y,—3)，且BP丄平面ABC,則實(shí)數(shù)x,y,z分別為()A.33,-175,4BA.33,-175,4B?￥，—號(hào),440C.〒,—2,4D.4,40—152.設(shè)空間四點(diǎn)O,A,B,P滿足OP=OA+tAB，其中0〈t〈1,則有()A.點(diǎn)P在線段AB上 B.點(diǎn)P在線段AB的延長線上C.點(diǎn)P在線段BA的延長線匸D飛P不二定在直線AB上已知正方體ABCD-ABCD的棱長為2,E、F分別是BB、DD的中點(diǎn).求證:11111