22:03:14人工智能與模糊控制1/1502.1清晰向模糊的轉(zhuǎn)換一、模糊控制的提出以往的各種傳統(tǒng)控制方法均是建立在被控對象精確數(shù)學模型基礎(chǔ)上的，然而，隨著系統(tǒng)復(fù)雜程度的提高，將難以建立系統(tǒng)的精確數(shù)學模型。在工程實踐中，人們發(fā)現(xiàn)，一個復(fù)雜的控制系統(tǒng)可由一個操作人員憑著豐富的實踐經(jīng)驗得到滿意的控制效果。這說明，如果通過模擬人腦的思維方法設(shè)計控制器，可實現(xiàn)復(fù)雜系統(tǒng)的控制，由此產(chǎn)生了模糊控制。22:03:14人工智能與模糊控制2/1502.1清晰向模糊的轉(zhuǎn)換二、模糊控制的特點（1）模糊控制不需要被控對象的數(shù)學模型。模糊控制是以人對被控對象的控制經(jīng)驗為依據(jù)而設(shè)計的控制器，故無需知道被控對象的數(shù)學模型。（2）模糊控制是一種反映人類智慧的智能控制方法。模糊控制采用人類思維中的模糊量，如“高”、“中”、“低”、“大”、“小”等，控制量由模糊推理導出。這些模糊量和模糊推理是人類智能活動的體現(xiàn)。22:03:14人工智能與模糊控制3/1502.1清晰向模糊的轉(zhuǎn)換（3）模糊控制易于被人們接受。模糊控制的核心是控制規(guī)則，模糊規(guī)則是用語言來表示的，如“今天氣溫高，則今天天氣暖和”，易于被一般人所接受。（4）構(gòu)造容易。模糊控制規(guī)則易于軟件實現(xiàn)。（5）魯棒性和適應(yīng)性好。通過專家經(jīng)驗設(shè)計的模糊規(guī)則可以對復(fù)雜的對象進行有效的控制。22:03:14人工智能與模糊控制4/1502.1清晰向模糊的轉(zhuǎn)換為了對事物進行識別，必須對事物按不同的要求進行分類。許多事物可以依據(jù)一定的標準進行分類。用于這種分類的數(shù)學工具就是集合論。解決精確性的集合問題可以用經(jīng)典集合論。世界上大多數(shù)事物具有模糊性。為了描述具有模糊性的事物，引入模糊集合的概念。22:03:14人工智能與模糊控制5/1502.1清晰向模糊的轉(zhuǎn)換經(jīng)典集合：具有某種特性的所有元素的總和。

模糊集合：在不同程度上具有某種特性的所有元素的總和。22:03:14人工智能與模糊控制6/150模糊集合論的誕生，解決了數(shù)值和模糊概念間的相互映射問題。以模糊集合論為基礎(chǔ)的模糊數(shù)學，在經(jīng)典數(shù)學和充滿模糊性的現(xiàn)實世界之間，架起了一座橋梁，使得模糊性事物有了定量表述的方法，從而可以用數(shù)學方法揭示模糊性問題的本質(zhì)和規(guī)律。2.1清晰向模糊的轉(zhuǎn)換22:03:14人工智能與模糊控制7/1502.1清晰向模糊的轉(zhuǎn)換三類數(shù)學模型第一類是確定性數(shù)學模型確定性數(shù)學模型往往用于描述具有清晰的確定性、歸屬界線分明、相互間關(guān)系明確的事物。對這類事物可以用精確的數(shù)學函數(shù)予以描述，典型的代表學科就是“數(shù)學分析”、“微分方程”、“矩陣分析”等常用的重要數(shù)學分支。第二類是隨機性數(shù)學模型隨機性數(shù)學模型常用于描述具有或然性或者隨機性的事物，這類事物本身是確定的，但是它的發(fā)生與否卻不是確定的。概率論、隨機過程第三類是模糊性數(shù)學模型模糊性數(shù)學模型適用于描述含義不清晰、概念界線不分明的事物，它的外延不分明，在概念的歸屬上不明確。模糊數(shù)學、模糊邏輯、粗糙集、熵空間等22:03:14人工智能與模糊控制8/1502.1清晰向模糊的轉(zhuǎn)換模糊數(shù)學(模糊集）是模糊控制的數(shù)學基礎(chǔ)，它是由美國加利福尼亞大學Zadeh教授最先提出的。他將模糊性和集合論統(tǒng)一起來，在不放棄集合的數(shù)學嚴格性的同時，使其吸取人腦思維中對于模糊現(xiàn)象認識和推理的優(yōu)點?！澳：?，是指客觀事物彼此間的差異在中間過渡時，界限不明顯，呈現(xiàn)出的“亦此亦彼”性?！澳：笔窍鄬τ凇熬_”而言的。

“精確”：“老師”、“學生”、“工人”

“模糊”：“高個子”、“熱天氣”、“年輕人”模糊數(shù)學并不是讓數(shù)學變成模模糊糊的東西，而是用數(shù)學工具對模糊現(xiàn)象進行描述和分析。模糊數(shù)學是對經(jīng)典數(shù)學的擴展，它在經(jīng)典集合理論的基礎(chǔ)上引入了“隸屬函數(shù)”的概念，來描述事物對模糊概念的從屬程度。22:03:14人工智能與模糊控制9/1502.1.1普通集合集合是數(shù)學中最基本的概念之一。任何一個概念都有它的內(nèi)涵和外沿。

概念的內(nèi)涵指這一概念的本質(zhì)屬性；

概念的外沿指這一概念的全體對象，即一個集合。討論某一概念的外沿時總離不開一定的范圍。這個討論的范圍，稱為“論域”，論域中的每個對象稱為“元素”。22:03:14人工智能與模糊控制10/1501）集合的概念*集合具有特定屬性的對象的全體，稱為集合。例如：“湖南大學的學生”可以作為一個集合。集合通常用大寫字母A，B，……，Z來表示。*元素組成集合的各個對象，稱為元素，也稱為個體。通常用小寫字母a，b，……，z來表示。*論域所研究的全部對象的總和，叫做論域，也叫全集合。*空集不包含任何元素的集合，稱為空集，記做Φ。*子集集合中的一部分元素組成的集合，稱為集合的子集。若元素a

是集合A的元素，則稱元素a

屬于集合A，記為a∈A；反之，稱a不屬于集合A，記做。*屬于*包含若集合A是集合B的子集，則稱集合A包含于集合B，記為；或者集合B包含集合A，記為。對于兩個集合A和B，如果和同時成立，則稱A和B相等，記做A=B。此時A和B有相同的元素，互為子集。*相等*有限集如果一個集合包含的元素為有限個，就叫做有限集；否則，叫做無限集。2.1.1普通集合22:03:14人工智能與模糊控制11/1502）集合的表示法將集合中的所有元素都列在大括號中表示出來，該方法只能用于有限集的表示。例如10-20之間的偶數(shù)組成集合A，則A可表示為

A={10，12，14，16，18，20}*表征法

表征法將集合中所有元素的共同特征列在大括號中表征出來。上例中的集合A也可用表征法表示為A={a|a為偶數(shù)，10≤a≤20}*特征函數(shù)法：設(shè)A是論域X上的一個集合，定義論域X上的函數(shù)稱μA（x）為集合A的特征函數(shù)?？珊営洖锳（x）。*列舉法2.1.1普通集合22:03:14人工智能與模糊控制12/150*集合交設(shè)X，Y為兩個集合，由既屬于X又屬于Y的元素組成的集合P稱為X，Y的交集，記作P=X∩Y

*集合并設(shè)X，Y為兩個集合，由屬于X或者屬于Y的元素組成的集合Q稱為X，Y的并集，記作Q=X∪Y*集合補在論域Y上有集合X，則X的補集為3）集合的運算

2.2普通集合22:03:14人工智能與模糊控制13/150具體算法是：在X，Y中各取一個元素組成序偶（x，y），所有序偶組成的集合，就是X，Y的直積。*集合的直積設(shè)X，Y為兩集合，定義X，Y的直積為4）集合的特征函數(shù)設(shè)x為論域X中的元素，A為論域X中定義的一個集合，則x和A的關(guān)系可以用集合A的特征函數(shù)來表示。它的值域是{0，1}，它表示元素x是否屬于集合A。如果x屬于集合A，那么的值為1；如果x不屬于集合A，那么的值為0。即2.2普通集合*冪集：對于給定集合A，以它的全體子集為元素組成的集合，T（A）

22:03:14人工智能與模糊控制14/150經(jīng)典集合：清晰確定，彼此可以區(qū)分，邊界周延明確，非此即彼。自然界：亦此亦彼，模糊性沙堆悖論：·問題：計算機如何識別、刻畫模糊現(xiàn)象1965年L.A.ZadehFuzzySet特征函數(shù)取值{0,1}擴充到閉區(qū)間[0,1]，描述亦此亦彼現(xiàn)象。2.1.2模糊集合

22:03:14人工智能與模糊控制15/150(1)模糊集合的定義：

2.1.2模糊集合

例2.1.1論域為15到35歲之間的人，模糊集表示“年輕人”，則模糊集的隸屬函數(shù)可定義為則年齡為30歲的人屬于“年輕人”的程度為：給定論域E中的一個模糊集，是指任意元素x∈E，都不同程度地屬于這個集合，元素屬于這個集合的程度可以用隸屬函數(shù)∈[0，1]來表示。22:03:14人工智能與模糊控制16/150

經(jīng)典集合和模糊集合在數(shù)軸上的映射，即它們的特征函數(shù)或隸屬函數(shù)取值可以形象地畫在圖2-2中，左側(cè)圖中的A為模糊集合，右側(cè)圖中的A為經(jīng)典集合。

22:03:14人工智能與模糊控制17/15022:03:14人工智能與模糊控制18/150(2)模糊數(shù)1）F集合的支集、核和正規(guī)F集設(shè),記集合SuppA={x,x∈U,A(x)>0},稱SuppA為F集合A的支集(Supporter);KerA={x,x∈U,A(x)=1},稱KerA為F集合A的核(Kernel）正規(guī)F集：KerA≠的F集合。F集合A的支集和核，都是經(jīng)典集合2）數(shù)與集合A的數(shù)積設(shè)，稱22:03:14人工智能與模糊控制19/15022:03:14人工智能與模糊控制20/1503）凸F集：

凸F集的實際意義在于它是實數(shù)域上滿足下述條件的F集合：任何中間元素的隸屬度，都大于兩邊元素隸屬度中的小者。如圖2-5所示。

為什么這樣規(guī)定？22:03:14人工智能與模糊控制21/1504)F數(shù)22:03:14人工智能與模糊控制22/15022:03:14人工智能與模糊控制23/150(3)模糊集合的表示法：1）Zadeh表示法 當論域上的元素為有限個時，定義在該論域上的模糊集可表示為：注意：式中的“＋”和“/”，僅僅是分隔符號，并不代表“加”和“除”。例2.3.2假設(shè)論域為5個人的身高，分別為172cm、165cm、175cm、180cm、178cm，他們的身高對于“高個子”的模糊概念的隸屬度分別為0.8、0.78、0.85、0.90、0.88。則模糊集“高個子”可以表示為高個子

2.3模糊集合

22:03:14人工智能與模糊控制24/1502）序偶表示法當論域上的元素為有限個時，定義在該論域上的模糊集還可用序偶的形式表示為：或簡化為：

對于上例的模糊集“高個子”可以用序偶法表示為

高個子或高個子2.3模糊集合

22:03:14人工智能與模糊控制25/1504）隸屬函數(shù)描述法論域U上的模糊子集可以完全由其隸屬函數(shù)表示。假設(shè)年齡的論域為U=[15，35]，則模糊集“年輕”可用隸屬函數(shù)表征為：

該隸屬函數(shù)的形狀如圖

2.3模糊集合

22:03:14人工智能與模糊控制26/1503）向量法22:03:14人工智能與模糊控制27/15022:03:14人工智能與模糊控制28/15022:03:14人工智能與模糊控制29/1502.2隸屬函數(shù)22:03:14人工智能與模糊控制30/1502.2.1確定隸屬函數(shù)的基本方法凸F集，單峰，單調(diào)22:03:14人工智能與模糊控制31/1502.2.1確定隸屬函數(shù)的基本方法22:03:14人工智能與模糊控制32/1502.2.1確定隸屬函數(shù)的基本方法22:03:14人工智能與模糊控制33/1502.2.2常用隸屬函數(shù)在Matlab中已經(jīng)開發(fā)出了11種隸屬函數(shù)，即雙S形隸屬函數(shù)（dsigmf）、聯(lián)合高斯型隸屬函數(shù)（gauss2mf）、高斯型隸屬函數(shù)（gaussmf）、廣義鐘形隸屬函數(shù)（gbellmf）、II型隸屬函數(shù)(pimf)、雙S形乘積隸屬函數(shù)（psigmf）、S狀隸屬函數(shù)（smf）、S形隸屬函數(shù)（sigmf）、梯形隸屬函數(shù)（trapmf）、三角形隸屬函數(shù)（trimf）、Z形隸屬函數(shù)（zmf）。22:03:14人工智能與模糊控制34/1502.2.2常用隸屬函數(shù)在模糊控制中應(yīng)用較多的隸屬函數(shù)有以下6種隸屬函數(shù)。（1）高斯型隸屬函數(shù)高斯型隸屬函數(shù)由兩個參數(shù)和c確定：其中參數(shù)b通常為正，參數(shù)c用于確定曲線的中心。Matlab表示為22:03:14人工智能與模糊控制35/150圖高斯型隸屬函數(shù)（M=1）22:03:14人工智能與模糊控制36/150fisMat=newfis('tipper');fisMat=addvar(fisMat,'input','service',[010]);fisMat=addmf(fisMat,'input',1,'poor','gaussmf',[1.50]);fisMat=addmf(fisMat,'input',1,'good','gaussmf',[1.55]);fisMat=addmf(fisMat,'input',1,'excellent','gaussmf',[1.510]);plotmf(fisMat,'input',1);22:03:14人工智能與模糊控制37/150(2)廣義鐘型隸屬函數(shù)廣義鐘型隸屬函數(shù)由三個參數(shù)a，b，c確定：其中參數(shù)b通常為正，參數(shù)c用于確定曲線的中心。Matlab表示為22:03:14人工智能與模糊控制38/150圖廣義鐘形隸屬函數(shù)（M=2）22:03:14人工智能與模糊控制39/150(3)S形隸屬函數(shù)盡管Gauss隸屬函數(shù)和鐘型隸屬函數(shù)具有平滑性，但它們不能規(guī)定非對稱的隸屬函數(shù)，因此模糊邏輯工具箱中內(nèi)置了sigmoidal隸屬函數(shù)，它是左開或右開的。非對稱的隸屬函數(shù)可以由兩個S形函數(shù)結(jié)合構(gòu)成。S形函數(shù)sigmf(x,[ac])由參數(shù)a和c決定：其中參數(shù)a的正負符號決定了S形隸屬函數(shù)的開口朝左或朝右，用來表示“正大”或“負大”的概念。Matlab表示為sigmf(x,[ac])22:03:14人工智能與模糊控制40/150圖S形隸屬函數(shù)（M=3）22:03:14人工智能與模糊控制41/150（4）梯形隸屬函數(shù)梯形曲線可由四個參數(shù)a，b，c，d確定：其中參數(shù)a和d確定梯形的“腳”，而參數(shù)b和c確定梯形的“肩膀”。Matlab表示為：trapezoid

22:03:14人工智能與模糊控制42/150(5)三角形隸屬函數(shù)三角形曲線的形狀由三個參數(shù)a，b，c確定：其中參數(shù)a和c確定三角形的“腳”，而參數(shù)b確定三角形的“峰”。Matlab表示為triangle

22:03:14人工智能與模糊控制43/150圖三角形隸屬函數(shù)（M=5）22:03:14人工智能與模糊控制44/150（6）Z形隸屬函數(shù)這是基于樣條函數(shù)的曲線，因其呈現(xiàn)Z形狀而得名。參數(shù)a和b確定了曲線的形狀。Matlab表示為有關(guān)隸屬函數(shù)的MATLAB設(shè)計，見著作：樓順天，胡昌華，張偉，基于MATLAB的系統(tǒng)分析與設(shè)計-模糊系統(tǒng)，西安：西安電子科技大學出版社，200122:03:14人工智能與模糊控制45/150圖Z形隸屬函數(shù)（M=6）22:03:14人工智能與模糊控制46/15022:03:14人工智能與模糊控制47/15022:03:14人工智能與模糊控制48/15022:03:14人工智能與模糊控制49/150模糊集合與普通集合一樣也有交、并、補的運算。假設(shè)和為論域U上的兩個模糊集，它們的隸屬函數(shù)分別為和模糊集交模糊集并模糊集補相等若，總有成立，則稱和相等，記作。

包含若，總有成立，則稱包含，記作。

2.3模糊集合的運算

22:03:14人工智能與模糊控制50/150例2.3.1：設(shè)論域U={a,b,c,d,e}上有兩個模糊集分別為：

求2.3模糊集合

22:03:14人工智能與模糊控制51/15022:03:14人工智能與模糊控制52/15022:03:14人工智能與模糊控制53/15022:03:14人工智能與模糊控制54/150交換率，結(jié)合率，分配率傳遞率，，則，冪等率摩根率，復(fù)原率2.3.2模糊集合的運算規(guī)律冪等率同一率22:03:14人工智能與模糊控制55/15022:03:14人工智能與模糊控制56/1502.3.3模糊集合運算的其它定義22:03:14人工智能與模糊控制57/15022:03:14人工智能與模糊控制58/1502.4模糊關(guān)系及其運算“關(guān)系”是集合論中的一個重要概念，它反映了不同集合的元素之間的關(guān)聯(lián)。普通關(guān)系是用數(shù)學方法描述不同普通集合中的元素之間有無關(guān)聯(lián)。例2.4.1舉行一次東西亞足球?qū)官?，分兩個小組A={中國，日本，韓國}，B={伊朗，沙特，阿聯(lián)酋}。抽簽決定的對陣形勢為：中國-伊朗，日本-阿聯(lián)酋，韓國-沙特。用R表示兩組的對陣關(guān)系，則R可用序偶的形式表示為：

R={（中國，伊朗），（日本，阿聯(lián)酋），（韓國，沙特）}

2.4.1經(jīng)典關(guān)系22:03:14人工智能與模糊控制59/150可見關(guān)系R是A，B的直積A×B的子集。也可將R表示為矩陣形式，假設(shè)R中的元素r(i,j)表示A組第i個球隊與B組第j個球隊的對應(yīng)關(guān)系，如有對陣關(guān)系，則r(i,j)為1，否則為0，則R可表示為：該矩陣稱為A和B的關(guān)系矩陣。

2.5模糊關(guān)系由普通關(guān)系的定義可以看出：在定義了某種關(guān)系之后，兩個集合的元素對于這種關(guān)系要么有關(guān)聯(lián)，r(i,j)＝1；要么沒有關(guān)聯(lián)，r(i,j)＝0。這種關(guān)系是很明確的。

直積：設(shè)任意兩個集合AB，從A、B中各取一個元素x，y，按先A后B的順序搭配成元素對（x，y），稱它們?yōu)樾蚺肌Ｋ幸孕蚺迹▁，y）為元素組成的集合，稱為集合A到B的直積

1集合的直積22:03:14人工智能與模糊控制60/1502.經(jīng)典二元關(guān)系及其表示方式22:03:14人工智能與模糊控制61/15022:03:14人工智能與模糊控制62/15022:03:14人工智能與模糊控制63/15022:03:14人工智能與模糊控制64/150人和人之間關(guān)系的“親密”與否？兒子和父親之間長相的“相像”與否？家庭是否“和睦”？這些關(guān)系就無法簡單的用“是”或“否”來描述，而只能描述為“在多大程度上是”或“在多大程度上否“。這些關(guān)系就是模糊關(guān)系。我們可以將普通關(guān)系的概念進行擴展，從而得出模糊關(guān)系的定義。2.4.2模糊關(guān)系22:03:14人工智能與模糊控制65/1501模糊關(guān)系的定義假設(shè)x是論域U中的元素，y是論域V中的元素，則U到V的一個模糊關(guān)系是指定義在上的一個模糊子集，其隸屬度代表x和y對于該模糊關(guān)系的關(guān)聯(lián)程度。

例2.4.2我們用模糊關(guān)系來描述子女與父母長相的“相像”的關(guān)系，假設(shè)兒子與父親的相像程度為0.8，與母親的相像程度為0.3；女兒與與父親的相像程度為0.3，與母親的相像程度為0.6。則可描述為：

2.5模糊關(guān)系22:03:14人工智能與模糊控制66/150模糊關(guān)系常常用矩陣的形式來描述。假設(shè)x∈U，y∈V，則U到V的模糊關(guān)系可以用矩陣描述為則上例中的模糊關(guān)系又可以用矩陣描述為：

2.5模糊關(guān)系22:03:14人工智能與模糊控制67/1502模糊關(guān)系的表示方法

22:03:14人工智能與模糊控制68/15022:03:14人工智能與模糊控制69/15022:03:14人工智能與模糊控制70/15022:03:14人工智能與模糊控制71/15022:03:14人工智能與模糊控制72/150假設(shè)R和S是論域上U×V的兩個模糊關(guān)系，分別描述為：

那么，模糊關(guān)系的運算規(guī)則可描述如下：模糊關(guān)系的相等：

模糊關(guān)系的包含：

模糊關(guān)系的并：

2.4.3模糊關(guān)系的運算1F矩陣的運算22:03:14人工智能與模糊控制73/150模糊關(guān)系的交：

模糊關(guān)系的補：

2.5模糊關(guān)系22:03:14人工智能與模糊控制74/150例2.4.3已知

求：

解：根據(jù)模糊關(guān)系的運算規(guī)則得：

2.5模糊關(guān)系22:03:14人工智能與模糊控制75/1502F矩陣的運算的性質(zhì)22:03:14人工智能與模糊控制76/15022:03:14人工智能與模糊控制77/15022:03:14人工智能與模糊控制78/1502.4.4模糊關(guān)系的合成1經(jīng)典關(guān)系的合成關(guān)系的合成本質(zhì)上是建立一個新的映射22:03:14人工智能與模糊控制79/15022:03:14人工智能與模糊控制80/15022:03:14人工智能與模糊控制81/1502F關(guān)系合成定義22:03:14人工智能與模糊控制82/15022:03:14人工智能與模糊控制83/15022:03:14人工智能與模糊控制84/15022:03:14人工智能與模糊控制85/15022:03:14人工智能與模糊控制86/15022:03:14人工智能與模糊控制87/15022:03:14人工智能與模糊控制88/150x1=-20:0.2:0;x2=0.01:0.2:100;plot(x1,x1-x1,x2,(1+100./x2.^2)^-1)holdplot(x1,x1-x1,x2,(1+100./(0.5*x2).^2)^-1);gridx1=-20:0.2:0;x2=0.001:0.2:100;plot(x1,x1-x1,x2,(1+100./x2.^2).^-1);hold;plot(x1,x1-x1,x2,(1+100./(0.5*x2).^2).^-1);grid22:03:14人工智能與模糊控制89/1502.5模糊關(guān)系向清晰的轉(zhuǎn)換自然語言量化模糊的執(zhí)行機構(gòu)清晰化22:03:14人工智能與模糊控制90/1502.5.1模糊集合的截集1.模糊集合與經(jīng)典集合間的轉(zhuǎn)換考試成績：正態(tài)分布，及格與不及格22:03:14人工智能與模糊控制91/15022:03:14人工智能與模糊控制92/1502.模糊集合的截集22:03:14人工智能與模糊控制93/15022:03:14人工智能與模糊控制94/15022:03:14人工智能與模糊控制95/15022:03:14人工智能與模糊控制96/1502.5.2模糊關(guān)系矩陣的截矩陣22:03:14人工智能與模糊控制97/15022:03:14人工智能與模糊控制98/1502.5.3模糊集合轉(zhuǎn)化為數(shù)值的常用方法由v（包含于R）上的模糊集B（模糊推理機的輸出）向清晰點y（屬于V）的一種映射。三條準則：言之有據(jù)：點y可直觀地代表B；例如，它可能位于B的支撐集的中心附近或在B中有很大的隸屬度值計算簡便連續(xù)性：B的微小變化不會造成y的大幅度波動代表性22:03:14人工智能與模糊控制99/1501.面積中心（重心）法（centroid）22:03:14人工智能與模糊控制100/1502.面積平分法（bisector）22:03:14人工智能與模糊控制101/1503.最大隸屬度法（maximum）22:03:14人工智能與模糊控制102/15022:03:14人工智能與模糊控制103/15022:03:14人工智能與模糊控制104/15022:03:14人工智能與模糊控制105/15022:03:14人工智能與模糊控制106/15022:03:14人工智能與模糊控制107/15022:03:14人工智能與模糊控制108/15022:03:14人工智能與模糊控制109/15022:03:14人工智能與模糊控制110/15022:03:14人工智能與模糊控制111/150本章結(jié)束22:03:14人工智能與模糊控制112/150例2.5.6藝術(shù)學院招生，對考生所需考察的素質(zhì)有：{歌舞，表演，外在}。對各種素質(zhì)的評語分為四個等級{好，較好，一般，差}。

某學生表演完畢后，評委對其評價為：好較好一般差歌舞30％30％20％20％表演10％20％50％20％外在40％40％10％10％如果考察學生培養(yǎng)為電影演員的潛質(zhì)，則對表演的要求較高，其它較低。定義加權(quán)模糊集為：A＝{0.250.50.25}試根據(jù)模糊變換來得到評委對該學生培養(yǎng)為電影演員的最終結(jié)論。2.5模糊關(guān)系22:03:14人工智能與模糊控制113/150解：根據(jù)模糊變換可以得到評委對該學生培養(yǎng)為電影演員的決策集：綜合評判：選取隸屬度最大的元素作為最終的評語，評委的評語為“一般”2.5模糊關(guān)系22:03:14人工智能與模糊控制114/1502.6語言規(guī)則中蘊涵的模糊關(guān)系

“天氣很冷，快要下雪了”

氣溫----

下雪概率(1)語言變量

語言變量是自然語言中的詞或句，它的取值不是通常的數(shù)，而是用模糊語言表示的模糊集合。例如“年齡”就可以是一個模糊語言變量，其取值為“年幼”，“年輕”，“年老”等模糊集合。22:03:14人工智能與模糊控制115/1502.4λ水平截集水平截集的定義

在論域U中，給定一個模糊集合A，由對于A的隸屬度大于某一水平值λ（閾值）的元素組成的集合，叫做該模糊集合的λ水平截集。用公式可以描述如下：

其中x∈U，λ∈[0,1]。顯然，Aλ是一個普通集合。

例2.4.1已知，求A0.1、A0.2、A0.7

22:03:14人工智能與模糊控制116/1502.4λ水平截集水平截集的性質(zhì)

1）A∪B的λ水平截集是Aλ和Bλ的并集：2）A∩B的λ水平截集是Aλ和Bλ的交集：3）如果λ∈[0,1],α∈[0,1] 且λ≤α，則22:03:14人工智能與模糊控制117/150定義一個語言變量需要定義以下4個方面的內(nèi)容：

定義變量名稱定義變量的論域定義變量的語言值（每個語言值是定義在變量論域上的一個模糊集合）定義每個模糊集合的隸屬函數(shù)。例2.6.1：試根據(jù)定義語言變量的4要素來定義語言變量“速度”。

首先，定義變量名稱為“速度”，記做x；其次，定義變量“速度”的論域為[0，200]km/h；再次，在論域[0，200]上定義變量的語言值為{慢，中，快}；最后，在論域上分別定義各語言值的隸屬函數(shù)為

2.6語言規(guī)則中蘊涵的模糊關(guān)系22:03:14人工智能與模糊控制118/150定義的隸屬函數(shù)形狀如圖(2)模糊蘊含關(guān)系

人類在生產(chǎn)實踐和生活中的操作經(jīng)驗和控制規(guī)則往往可以用自然語言來描述。譬如，在汽車駕駛速度的控制過程中，控制規(guī)則可以描述為“如果速度快了，那么減小油門；如果速度慢了，那么加大油門。”下面就來介紹如何利用模糊數(shù)學從語言規(guī)則中提取其蘊涵的模糊關(guān)系。2.6語言規(guī)則中蘊涵的模糊關(guān)系22:03:14人工智能與模糊控制119/1501）簡單條件語句的蘊涵關(guān)系

2.6語言規(guī)則中蘊涵的模糊關(guān)系“如果……那么……”或“如果……那么……，否則……”假設(shè)u，v

是已定義在論域U和V的兩個語言變量，人類的語言控制規(guī)則為“如果u是A，則v是B”，其蘊涵的模糊關(guān)系R為：式中，A×B稱作A和B的笛卡兒乘積，其隸屬度運算法則為：所以，R的運算法則為：22:03:14人工智能與模糊控制120/15022:03:14人工智能與模糊控制121/15022:03:14人工智能與模糊控制122/15022:03:14人工智能與模糊控制123/15022:03:14人工智能與模糊控制124/15022:03:14人工智能與模糊控制125/1502.6語言規(guī)則中蘊涵的模糊關(guān)系假設(shè)u，v是已定義的兩個語言變量，人類的語言控制規(guī)則為“如果u是A，則v是B；否則，v是C”

則該規(guī)則蘊涵的模糊關(guān)系R為：22:03:14人工智能與模糊控制126/1502.6語言規(guī)則中蘊涵的模糊關(guān)系例2.6.2：

定義兩語言變量“誤差u”和“控制量v”；兩者的論域：U=V={1,2,3,4,5}；定義在論域上的語言值為：{小，大，很大，不很大}={A，B，G，C}；定義各語言值的隸屬函數(shù)為：分別求出控制規(guī)則“如果u

是小，那么v是大”蘊涵的模糊關(guān)系R1和規(guī)則“如果u

是小，那么v是大；否則，v

是不很大”蘊涵的模糊關(guān)系R2。22:03:14人工智能與模糊控制127/1502.6語言規(guī)則中蘊涵的模糊關(guān)系解：（1）求解R1

（2）求解R2

22:03:14人工智能與模糊控制128/1502）多重條件語句的蘊涵關(guān)系由多個簡單條件語句并列構(gòu)成的語句叫做多重條件語句，其句型為：如果u是A1，則v是B1；否則，如果u是A2，則v是B2

；……否則，如果u是An，則v是Bn。

該語句蘊涵的模糊關(guān)系為：

其隸屬函數(shù)為：2.6語言規(guī)則中蘊涵的模糊關(guān)系22:03:14人工智能與模糊控制129/1503）多維條件語句的蘊涵關(guān)系具有多輸入量的簡單條件語句，我們稱之為多維條件語句。其句型為：如果u1是A1，且u2是A2，…，且um是Am，則v是B該語句蘊涵的模糊關(guān)系為：

其隸屬函數(shù)為：2.6語言規(guī)則中蘊涵的模糊關(guān)系22:03:14人工智能與模糊控制130/1502.6語言規(guī)則中蘊涵的模糊關(guān)系例2.6.3已知語言規(guī)則為“如果e是A，并且ec是B，那么u是C?！逼渲?/p>

試求該語句所蘊涵的模糊關(guān)系R。解：

第一步，先求R1＝A×B：22:03:14人工智能與模糊控制131/150第二步，將二元關(guān)系矩陣R1排成列向量形式R1

T，先將中的第一行元素寫成列向量形式，再將中的第二行元素也寫成列向量并放在前者的下面，如果是多行的，再依次寫下去。于是R1可表示為：第三步，R可計算如下：2.6語言規(guī)則中蘊涵的模糊關(guān)系22:03:14人工智能與模糊控制132/1502.6語言規(guī)則中蘊涵的模糊關(guān)系4）多重多維條件語句的蘊涵關(guān)系具有多輸入量的多重條件語句，我們稱之為多重多維條件語句。其句型為：

如果u1是A11，且u2是A12，…，且um是A1m，則v是B1；否則，如果u1是A21，且u2是A22，…，且um是A2m，則v是B2；……否則，如果u1是An1，且u2是An2，…，且um是Anm，則v是Bn；則該語句蘊涵的模糊關(guān)系為：

其隸屬函數(shù)為：22:03:14人工智能與模糊控制133/1502.7模糊推理常規(guī)推理：已知x，y之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)，則對于某個x*，根據(jù)f()可以推理得到相應(yīng)的y*。xyf()x*y*=f(x*)推理模糊推理：知道了語言控制規(guī)則中蘊涵的模糊關(guān)系后，就可以根據(jù)模糊關(guān)系和輸入情況，來確定輸出情況，這就叫做“模糊推理”。xyRx*=Ay*=B推理22:03:14人工智能與模糊控制134/1502.7模糊推理（1）單輸入模糊推理對于單輸入的情況，假設(shè)兩個語言變量x，y之間的模糊關(guān)系為R

，當x的模糊取值為A*

時，與之相對應(yīng)的y的取值B*

，可通過模糊推理得出，如下式所示：上式的計算方法有兩種：1）Zadeh法22:03:14人工智能與模糊控制135/1502.7模糊推理例2.7.1在例2.6.2中，已經(jīng)求出控制規(guī)則“如果u

是小，那么v是大”蘊涵的模糊關(guān)系為R1，現(xiàn)在，已知輸入量u

的模糊取值為“略小”，記做A1，令A(yù)1=(1,0.89,0.55,0.32,0)求控制量v根據(jù)規(guī)則相應(yīng)的取值B1。解：同理，可解得：所以22:03:14人工智能與模糊控制136/1502.7模糊推理2）Mamdani推理方法與Zadeh法不同的是，Mamdani推理方法用A和B的笛卡兒積來表示A

B的模糊蘊涵關(guān)系。則對于單輸入推理的情況，的計算方法為：叫做和A的適配度，它是A*和A的交集的高度。根據(jù)Mamdani推理方法，結(jié)論可以看作用α對B進行切割，所以這種方法又可以形象地稱為削頂法。22:03:14人工智能與模糊控制137/1502.7模糊推理單輸入Mamdani推理的圖形化描述（削頂法）

22:03:14人工智能與模糊控制138/150（2）多輸入模糊推理對于語言規(guī)則含有多個輸入的情況，假設(shè)輸入語言變量x1,x2,…,xm與輸出語言變量y之間的模糊關(guān)系為R，當輸入變量的模糊取值分別為A1*,A2*,,…,Am*時，與之相對應(yīng)的y的取值B*，可通過下式得到：2.7模糊推理22:03:14人工智能與模糊控制139/150例2.7.2，已知

2.7模糊推理試根據(jù)例2.6.3中的語言規(guī)則求“e是A*并且ec是B*”時輸出u的模糊值C*。解：

22:03:14人工智能與模糊控制140/