第一節(jié)對弧長的曲線積分一、問題的提出二、對弧長的曲線積分的概念三、對弧長曲線積分的計算四、幾何與物理意義五、小結思考題第一節(jié)對弧長的曲線積分一、問題的提出一、問題的提出實例:曲線形構件的質量勻質之質量分割求和取極限近似值精確值一、問題的提出實例:曲線形構件的質量勻質之質量分割求和取極限二、對弧長的曲線積分的概念1.定義二、對弧長的曲線積分的概念1.定義被積函數(shù)積分弧段積分和式曲線形構件的質量被積函數(shù)積分弧段積分和式曲線形構件的質量2.存在條件：3.推廣2.存在條件：3.推廣注意：注意：4.性質4.性質三、對弧長曲線積分的計算定理三、對弧長曲線積分的計算定理注意:特殊情形注意:特殊情形推廣:推廣:例1解例3解例1解例3解例4解由對稱性,知例4解由對稱性,知四、幾何與物理意義四、幾何與物理意義線面積分整章課件五、小結1.對弧長曲線積分的概念2.對弧長曲線積分的計算3.對弧長曲線積分的應用五、小結1.對弧長曲線積分的概念2.對弧長曲線積分的計算3.思考題對弧長的曲線積分的定義中的符號可能為負嗎？思考題對弧長的曲線積分的定義中的符號可能為負思考題解答的符號永遠為正，它表示弧段的長度.思考題解答的符號永遠為正，它表示弧段的長度.練習題練習題線面積分整章課件練習題答案練習題答案第二節(jié)對坐標的曲線積分一、問題的提出二、對坐標的曲線積分的概念三、對坐標曲線積分的計算四、小結思考題第二節(jié)對坐標的曲線積分一、問題的提出一、問題的提出實例:

變力沿曲線所作的功常力所作的功分割一、問題的提出實例:變力沿曲線所作的功常力所作的功分割求和取極限近似值精確值求和取極限近似值精確值二、對坐標的曲線積分的概念1.定義二、對坐標的曲線積分的概念1.定義類似地定義類似地定義2.存在條件：3.組合形式2.存在條件：3.組合形式4.推廣4.推廣5.性質即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關.5.性質即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關.三、對坐標的曲線積分的計算定理三、對坐標的曲線積分的計算定理特殊情形特殊情形線面積分整章課件(4)兩類曲線積分之間的聯(lián)系：其中（可以推廣到空間曲線上）(4)兩類曲線積分之間的聯(lián)系：其中（可以推廣到空間曲線上可用向量表示有向曲線元；可用向量表示有向曲線元；例1解例1解線面積分整章課件例2解例2解問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同積分結果不同.問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同積分結果不同例3解例3解線面積分整章課件問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同而積分結果相同.問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同而積分結果相四、小結1．對坐標曲線積分的概念2．對坐標曲線積分的計算3．兩類曲線積分之間的聯(lián)系四、小結1．對坐標曲線積分的概念2．對坐標曲線積分的計算3．思考題思考題思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.練習題練習題線面積分整章課件線面積分整章課件練習題答案練習題答案線面積分整章課件第三節(jié)格林公式一、問題的提出二、格林公式三、簡單應用四、小結思考題第三節(jié)格林公式一、問題的提出一、區(qū)域連通性的分類

設D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復連通區(qū)域.復連通區(qū)域單連通區(qū)域DD一、區(qū)域連通性的分類設D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉

設空間區(qū)域G,如果G內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于G,則稱G是空間二維單連通域;

如果G內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于G的曲面,則稱G為空間一維單連通區(qū)域.GGG一維單連通二維單連通一維單連通二維不連通一維不連通二維單連通設空間區(qū)域G,如果G內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于二、格林公式定理1二、格林公式定理1邊界曲線L的正向:當觀察者沿邊界行走時,區(qū)域D總在他的左邊.邊界曲線L的正向:當觀察者沿邊界行走時,區(qū)域D總在他的左邊證明(1)yxoabDcdABCE證明(1)yxoabDcdABCE同理可證yxodDcCE同理可證yxodDcCE證明(2)D兩式相加得證明(2)D兩式相加得線面積分整章課件GDFCEAB證明(3)由(2)知GDFCEAB證明(3)由(2)知線面積分整章課件xyoL1.簡化曲線積分三、簡單應用AB

xyoL1.簡化曲線積分三、簡單應用AB線面積分整章課件2.簡化二重積分xyo2.簡化二重積分xyo線面積分整章課件解解xyoLyxoxyoLyxoxyo(注意格林公式的條件)xyo(注意格林公式的條件)3.計算平面面積3.計算平面面積解解線面積分整章課件四、小結1.連通區(qū)域的概念;2.二重積分與曲線積分的關系3.格林公式的應用.——格林公式;四、小結1.連通區(qū)域的概念;2.二重積分與曲線積分的關系3.

若區(qū)域

如圖為復連通域，試描述格林公式中曲線積分中L的方向。思考題若區(qū)域如圖為復連通域，試描述格林公思考題解答由兩部分組成外邊界：內(nèi)邊界：思考題解答由兩部分組成外邊界：內(nèi)邊界：第四節(jié)格林公式的應用一、問題的提出二、曲線積分與路徑無關的條件三、二元函數(shù)的全微分求積四、小結思考題第四節(jié)格林公式的應用一、問題的提出Gyxo一、曲線積分與路徑無關的定義BA如果在區(qū)域G內(nèi)有Gyxo一、曲線積分與路徑無關的定義BA如果在區(qū)域G內(nèi)有二、曲線積分與路徑無關的條件定理2二、曲線積分與路徑無關的條件定理2兩條件缺一不可有關定理的說明：兩條件缺一不可有關定理的說明：三、二元函數(shù)的全微分求積定理3三、二元函數(shù)的全微分求積定理3線面積分整章課件解解解解線面積分整章課件四、小結與路徑無關的四個等價命題條件等價命題四、小結與路徑無關的四個等價命題條件等練習題練習題線面積分整章課件線面積分整章課件線面積分整章課件練習題答案練習題答案線面積分整章課件第五節(jié)對面積的曲面積分一、概念的引入二、對面積的曲面積分的定義三、計算法四、小結思考題第五節(jié)對面積的曲面積分一、概念的引入一、概念的引入實例

所謂曲面光滑即曲面上各點處都有切平面,且當點在曲面上連續(xù)移動時,切平面也連續(xù)轉動.一、概念的引入實例所謂曲面光滑即曲面上各點處都有切平二、對面積的曲面積分的定義1.定義二、對面積的曲面積分的定義1.定義2.對面積的曲面積分的性質2.對面積的曲面積分的性質三、計算法則按照曲面的不同情況分為以下三種：三、計算法則按照曲面的不同情況分為以下三種：則則則則例1解例1解線面積分整章課件解依對稱性知：解依對稱性知：線面積分整章課件線面積分整章課件例3例3解解（左右兩片投影相同）（左右兩片投影相同）線面積分整章課件例4解例4解線面積分整章課件四、小結2．對面積的曲面積分的計算是將其化為投影域上的二重積分計算.（按照曲面的不同情況投影到三坐標面上）1．對面積的曲面積分的概念;注意：一投、二代、三換．四、小結2．對面積的曲面積分的計算是將其化為投影域上的二重積思考題

在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中,有因子,試說明這個因子的幾何意義.思考題在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中思考題解答是曲面元的面積,故是曲面法線與軸夾角的余弦的倒數(shù).思考題解答是曲面元的面積,故練習題練習題線面積分整章課件練習題答案練習題答案第六節(jié)對坐標的曲面積分一、基本概念二、概念的引入三、概念及性質四、計算法五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系六、小結思考題第六節(jié)對坐標的曲面積分一、基本概念一、基本概念觀察以下曲面的側(假設曲面是光滑的)曲面分上側和下側曲面分內(nèi)側和外側一、基本概念觀察以下曲面的側(假設曲面是光滑的)曲面分上側曲面的分類:1.雙側曲面;2.單側曲面.典型雙側曲面曲面的分類:1.雙側曲面;2.單側曲面.典型雙側曲面莫比烏斯帶典型單側曲面:播放莫比烏斯帶典型單側曲面:播放曲面法向量的指向決定曲面的側.決定了側的曲面稱為有向曲面.曲面的投影問題:曲面法向量的指向決定曲面的側.決定了側的曲面稱為有向曲面.曲二、概念的引入實例:流向曲面一側的流量.二、概念的引入實例:流向曲面一側的流量.線面積分整章課件1.分割則該點流速為.法向量為.1.分割則該點流速為.法向量為.2.求和2.求和3.取極限3.取極限三、概念及性質三、概念及性質被積函數(shù)積分曲面類似可定義被積函數(shù)積分曲面類似可定義存在條件:組合形式:物理意義:存在條件:組合形式:物理意義:性質:性質:四、計算法四、計算法線面積分整章課件注意:對坐標的曲面積分,必須注意曲面所取的側.注意:對坐標的曲面積分,必須注意曲面所取的側.解解線面積分整章課件五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系線面積分整章課件兩類曲面積分之間的聯(lián)系兩類曲面積分之間的聯(lián)系向量形式向量形式解解線面積分整章課件六、小結1.對坐標曲面積分的物理意義2.對坐標曲面積分的計算時應注意以下兩點a.曲面的側b.“一投,二代,三定號”六、小結1.對坐標曲面積分的物理意義2.對坐標曲面積分的計算思考題思考題思考題解答此時的左側為負側，而的左側為正側.思考題解答此時練習題練習題線面積分整章課件練習題答案練習題答案莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶典型單側曲面:莫比烏斯帶第七節(jié)高斯公式通量與散度一、高斯公式二、簡單的應用三、物理意義----通量與散度四、小結思考題第七節(jié)高斯公式通量與散度一、高斯公式一、高斯公式一、高斯公式證明證明根據(jù)三重積分的計算法根據(jù)曲面積分的計算法根據(jù)三重積分的計算法根據(jù)曲面積分的計算法線面積分整章課件同理------------------高斯公式和并以上三式得：同理------------------高斯公式和并以上三式Gauss公式的實質

表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系.由兩類曲面積分之間的關系知高斯公式的另一種形式：Gauss公式的實質表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其二、簡單的應用解二、簡單的應用解線面積分整章課件使用Guass公式時應注意:使用Guass公式時應注意:線面積分整章課件解空間曲面在面上的投影域為曲面不是封閉曲面,為利用高斯公式解空間曲面在面上的投影域為曲面不是封閉曲面根據(jù)對稱性可知根據(jù)對稱性可知故所求積分為故所求積分為線面積分整章課件證利用高斯公式，即得證利用高斯公式，即得線面積分整章課件沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件我們有以下結論：我們有以下結論：三、物理意義----通量與散度1.通量的定義:三、物理意義----通量與散度1.通量的定義:2.散度的定義:2.散度的定義:散度在直角坐標系下的形式積分中值定理,兩邊取極限,散度在直角坐標系下的形式積分中值定理,兩邊取極限,高斯公式可寫成高斯公式可寫成四、小結3．應用的條件4．物理意義2．高斯公式的實質1．高斯公式四、小結3．應用的條件4．物理意義2．高斯公式的實質1．高斯思考題曲面應滿足什么條件才能使高斯公式成立？思考題曲面應滿足什么條件才能使高斯公式成立？思考題解答曲面應是分片光滑的閉曲面.思考題解答曲面應是分片光滑的閉曲面.練習題練習題線面積分整章課件線面積分整章課件練習題答案練習題答案第八節(jié)斯托克斯公式環(huán)通量與旋度一、斯托克斯(stokes)公式二、簡單的應用三、物理意義----環(huán)通量與旋度四、小結思考題第八節(jié)斯托克斯公式環(huán)通量與旋度一、斯托克斯(sto一、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式一、斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式

是有向曲面的正向邊界曲線右手法則證明如圖是有向曲面的右手法則證明如圖思路曲面積分二重積分曲線積分12思路曲面積分二重積分曲線積分1211根椐格林公式平面有向曲線2空間有向曲線根椐格林公式平面有向曲線2空間有向曲線同理可證故有結論成立.同理可證故有結論成立.另一種形式便于記憶形式另一種形式便于記憶形式Stokes公式的實質:

表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關系.斯托克斯公式格林公