13.2三角形全等的判斷1.全等三角形1.理解全等三角形的概念，及全等三角形經(jīng)過一系列變換后，能夠完全重合的性質(zhì).（重點）2.掌握全等三角形的性質(zhì)（對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等）和判定條件.（難點）學(xué)習(xí)目標復(fù)習(xí)導(dǎo)入全等圖形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形.全等形包括規(guī)則圖形和不規(guī)則圖形全等.能夠完全重合的兩個三角形，叫做全等三角形ABCEDF記作:△ABC≌△DEF讀作:△ABC全等于△DEF互相重合的頂點叫對應(yīng)頂點.互相重合的邊叫對應(yīng)邊.互相重合的角叫對應(yīng)角.全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等.如圖，已知△ABC≌△DEF請指出圖中的對應(yīng)邊和對應(yīng)角.∠D∠BAD∠ABDADBDBA角角角邊邊邊AB=AC=BC=∠BAC=∠ABC=∠C=BCADEF歸納有公共邊的，公共邊一般是對應(yīng)邊.全等三角形如圖，以直線l為對稱軸，畫出△ABC的對稱圖形，并指出它們的對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊和對應(yīng)角.若已知∠A=60°，∠B=80°，那么△DEF的各個角的大小：∠D=

，∠E=

，∠F=

.

60°80°40°ABCDEFl一個三角形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折后所得到的三角形與原三角形全等.AACBABDCDBCABCNMFE2.全等三角形的判定條件全等三角形的判定條件怎么判斷兩個三角形全等呢？根據(jù)全等三角形的定義可知：能夠完全重合兩個三角形全等，即兩個三角形的三對邊、三對角分別對應(yīng)相等，則兩個三角形全等.能否減少一些條件，找到更簡便的判定兩個三角形全等的方法呢？對兩個三角形來說，六個元素(三條邊、三對角)中至少要有幾個元素對應(yīng)相等，這兩個三角形才會全等呢？如果兩個三角形只有一組對應(yīng)相等的元素，那么會出現(xiàn)幾種可能的情況？這兩個三角形會全等嗎？兩種，一組角或者邊對應(yīng)相等.

探究活動1試一試1.畫幾個有一邊長為8cm的三角形，這樣得到的三角形是否全等？有一條邊對應(yīng)相等的三角形不一定全等.

2.畫幾個有一個角為60°的三角形，這樣得到的三角形是否全等？有一個角對應(yīng)相等的三角形不一定全等.歸納：如果兩個三角形只有一組對應(yīng)相等的元素，那么這兩個三角形不一定全等.(60°探究活動2如果兩個三角形有兩組對應(yīng)相等的元素，那么會出現(xiàn)幾種可能的情況？這兩個三角形會全等嗎？三種，一條邊和一個角相等；兩個角相等；兩條邊相等.

試一試按照下面的條件，用刻度尺和量角器畫三角形，并和周圍的同學(xué)比較，所畫的圖形是否全等.(1)三角形的一條邊為3cm，一個內(nèi)角為30°.(1)三角形的一條邊為3cm，一個內(nèi)角為30°.30°3cm3cm3cm30°30°(((一條邊和一個內(nèi)角相等不能判定兩個三角形全等.30°70°30°70°30°70°(2)三角形的兩個內(nèi)角分別為30°和70°.兩個內(nèi)角對應(yīng)相等不能判定兩個三角形全等.(3)三角形的兩條邊分別為3cm和5cm.5cm3cm3cm兩條邊對應(yīng)相等不能判定兩個三角形全等.兩個三角形只有一組或兩組對應(yīng)相等的元素(邊或角)，那么這兩個三角形不一定全等.思考：

如果兩個三角形有三組對應(yīng)相等的元素(邊或角)，又會如何呢？探索發(fā)現(xiàn)

1.如圖，△ABC≌△CED，∠B

和∠DEC

是對應(yīng)角，BC與

ED是對應(yīng)邊，說出另兩組對應(yīng)角和對應(yīng)邊.解：對應(yīng)角：∠A

=∠DCE，∠D=∠ACB；對應(yīng)邊：AC=CD，AB=CE.ABCED當(dāng)堂練習(xí)2.如圖，AD∥BC，AD=BC，AE⊥BC，將△ABE沿AD方向平移，使點A與點D重合，點E平移至點F，則△ABE≌_____________，∠F=_____________.△DCF90°ADBECF3.如圖，點D是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點，AB＝AC，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點D與點E重合，則△ABD≌_________，AD＝_________，BD＝_______．△ACEAECE4.如圖，△ABC≌△AED，AB是△ABC的最大邊，AE是△AED的最大邊，∠BAC

與∠EAD是對應(yīng)角，且∠BAC=25°，∠B=35°，AB=3cm，BC=1cm，求出∠E，∠ADE的度數(shù)和線段

DE，AE的長度.BCEDA解：∵△ABC≌△AED(已知)，∴∠E

=∠B=35°(全等三角形對應(yīng)角相等)，∠ADE=∠ACB=180°－25°－35°=120°

(全等三角形對應(yīng)角相等)，DE=BC=1cm，AE=AB=3cm(全等三角形對應(yīng)邊相等).3.邊角邊1.通過畫圖、操作、實驗等教學(xué)活動，探索三角形全等的判定方法(S.A.S.).(重點)2.會用S.A.S.判定兩個三角形全等.(難點)3.靈活地運用所學(xué)的判定方法判定兩個三角形全等，從而解決線段或角相等問題.學(xué)習(xí)目標上節(jié)課給大家留了這樣一個思考題，你們思考好了嗎？如果兩個三角形有三組對應(yīng)相等的元素（邊或角），那么會有哪幾種可能的情況？這時，這兩個三角形一定會全等嗎？有四種情況：兩邊一角、兩角一邊、三角、三邊．問題導(dǎo)入“S.A.S.”判定三角形全等如果兩個三角形有兩條邊和一個角分別對應(yīng)相等，這兩個三角形會全等嗎？——這是本節(jié)我們要探討的課題.如果已知一個三角形的兩邊及一角，那么有幾種可能的情況呢？每一種情況得到的三角形都全等嗎?應(yīng)該有兩種情況：一種是角夾在兩條邊的中間，形成兩邊夾一角另一情況是角不夾在兩邊的中間，形成兩邊一對角.如果已知兩個三角形有兩邊及一角對應(yīng)相等時，應(yīng)分為幾種情形討論？邊－角－邊AA'BB'CC'第一種邊－邊－角AA'B'CC'第二種B如果已知兩個三角形有兩邊及一角對應(yīng)相等時，應(yīng)分為幾種情形討論？做一做如圖，已知兩條線段和一個角，試畫一個三角形，使這兩條線段為其兩邊，這個角為這兩邊的夾角.比一比：大家所畫的三角形都全等嗎？3cm4cm45°ABMC步驟：1.畫一線段AB，使它等于4cm；2.畫∠MAB=45°；3.在射線AM上截取AC=3cm；4.連結(jié)BC.△ABC就是所求做的三角形.試一試，換兩條線段和一個角，是否有同樣的結(jié)論.下面用疊合的方法，看看你和你同伴所畫的兩個三角形是否可以完全重合.ABCDEF全等“邊角邊”判定三角形全等的方法文字語言：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.簡記為S.A.S.(或邊角邊).幾何語言：在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(S.A.S.)．AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，ABCDEF必須是兩邊“夾角”例1如圖，已知線段AC，BD相交于點E，AE=DE，BE=CE，求證：△ABE≌△DCE.證明：在△ABE

和△DCE

中，∴

△ABE≌△DCE

(S.A.S.).AE

=

DE

(已知)，∠AEB

=∠DEC

(對頂角相等)，BE

=CE

(已知)，CABDE例2如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個可以直接到達A和B的點C，連接AC并延長到點D，使CD＝CA，連接BC并延長到點E，使CE＝CB．C·ADBE連接DE，那么量出DE的長就是A、B的距離，為什么?解：在△ABC和△DEC中，CA=CD(已知)，∠ACB=∠DCE(對頂角相等)，CB=CE(已知)，∴△ABC≌△DEC(S.A.S.).∴AB=DE(全等三角形的對應(yīng)邊相等).歸納證明線段相等或者角相等時，常常通過證明它們是全等三角形的對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角來解決.如圖，已知兩條線段和一個角，以長的線段為已知角的鄰邊，短的線段為已知角的對邊，畫一個三角形.FDE45°7cm6cm6cm7cm45°ABC6cm7cm45°做一做把你畫的三角形與其他同學(xué)畫的三角形進行對比，所畫的三角形都全等嗎？此時，符合條件的三角形有多少種？結(jié)論：兩邊及其一邊所對的角相等(即“邊邊角”對應(yīng)相等或S.S.A.)，兩個三角形不一定全等.比一比1.如圖，AC=BD，∠CAB=∠DBA，求證：BC=AD.證明：在△ABC與△BAD中，AC=BD(已知)，∠CAB=∠DBA(已知)，AB=BA(公共邊)，∴△ABC≌△BAD(S.A.S.).∴BC=AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等).當(dāng)堂練習(xí)ABCD2.小蘭做了一個如圖所示的風(fēng)箏，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD，將上述條件標注在圖中，小明不用測量就能知道EH=FH嗎？與同桌進行交流.EFDH解：能.在△EDH和△FDH中，

ED＝FD，（已知）∠EDH＝∠FDH，（已知）

DH＝DH，（公共邊）∴△EDH≌△FDH（S.A.S.）.∴EH＝FH(全等三角形對應(yīng)邊相等）.3.已知：如圖，AB=DB，CB=EB，∠1=∠2，求證：∠A=∠D.證明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DBC＝∠2+∠DBC，即∠ABC＝∠DBE.在△ABC和△DBE中，AB＝DB(已知)，1A2CBDE∠ABC＝∠DBE(已證)，

CB＝EB(已知)，∴△ABC≌△DBE(S.A.S.).∴∠A＝∠D(全等三角形的對應(yīng)角相等).4.如圖，點E、F在AC上，AD∥BC，AD=CB，AE=CF.求證：△AFD≌△CEB.證明：∵AD∥BC，∴∠A=∠C∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE.FABDCE在△AFD和△CEB中，AD=CB(已知)，∠A=∠C(已證)，AF=CE(已證)，∴△AFD≌△CEB(S.A.S.).4.角邊角1.通過畫圖、操作、實驗等教學(xué)活動，探索三角形全等的判定方法(A.S.A.，A.A.S.).(重點)2.會用A.S.A.，A.A.S.判定兩個三角形全等.(難點)3.靈活地運用所學(xué)的判定方法判定兩個三角形全等，從而解決線段或角相等的問題.情境引入學(xué)習(xí)目標上節(jié)課，我們得到了全等三角形的一種判定方法，還記得嗎？現(xiàn)在我們討論兩角一邊的情況：如果兩個三角形有兩個角、一條邊分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等嗎？S.A.S.可以分成兩種情況：（1）兩個角及這兩角的夾邊；（2）兩個角及其中一角的對邊.(角邊角)(角角邊)如圖，已知兩個角和一條線段，以這兩個角為內(nèi)角，以這條線段為這兩個角的夾邊，畫一個三角形．4cm40°60°“角邊角”判定三角形全等步驟：1.畫一條線段AB，使它等于4cm；2.畫∠MAB=60°，∠NBA=40°，MA與NB交于點C.△ABC即為所求.4cmABCMN60°40°把你畫的三角形與其他同學(xué)畫的三角形進行比較，所有的三角形都全等嗎？換兩個角和一條線段，試試看，是否有同樣的結(jié)論．都全等60°40°4cmABCMN4cm40°60°ABCDEF全等下面用疊合的方法，看看你和你同伴所畫的兩個三角形是否可以完全重合.文字語言：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等(簡寫成“角邊角”或“A.S.A.”).ABCA′B′C′“角邊角”判定方法幾何語言：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′(已知)，AB=A′B′(已知)，∠B=∠B′(已知)，∴△ABC≌△A′B′C′(A.S.A.).已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求證：△ABC≌△DCB．證明：在△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB(已知)，BCAD例1

BC＝CB(公共邊)，∠ACB＝∠DBC(已知)，∴△ABC≌△DCB(A.S.A.).BCAD“角角邊”判定三角形全等如圖，如果兩個三角形有兩個角分別對應(yīng)相等，且其中一組相等的角的對邊相等，那么這兩個三角形是否一定全等？(角角邊)分析：因為三角形的內(nèi)角和等于180°，因此有兩個角對應(yīng)相等，那么第三個角必定對應(yīng)相等，于是有“角邊角”，可證得這兩個三角形全等.已知：如圖，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′.求證：△ABC≌△A′B′C′.證明：∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A′＋∠B′＋∠C′＝180°(三角形內(nèi)角和等于180°)，∴∠C＝∠C′(等量代換)．在△ABC和△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′，∴△ABC≌△A′B′C′(A.S.A.)在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′(已知)，∠B=∠B′(已知)，AC=A′C′(已知)，∴△ABC≌△A′B′C′(A.A.S.).ABCA′B′C′“角角邊”判定方法例2如圖，點D在AB上，點E在AC上，AD=AE，∠B=∠C，求證：AB=AC.分析：證明△ACD≌△ABE，就可以得出AB=AC.ABCDE證明：在△ACD和△ABE中，∠A=∠A（公共角），∠C=∠B（已知），AD=AE（已知），∴△ACD≌△ABE（A.A.S.）.

∴AB=AC.

例3求證：全等三角形對應(yīng)邊的高相等.已知：如圖，△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的高.求證：AD＝A′D′.分析：從圖中看出，AD，A′D′分別屬于△ABD和△A′B′D′，要證AD＝A′D′，只需證明這兩個三角形全等即可.ABCDA′B′C′D′證明：∵△ABC≌△A′B′C′(已知)，∴AB=A'B'(全等三角形的對應(yīng)邊相等)，∠B=∠B'(全等三角形的對應(yīng)角相等).∵AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，∴∠ADB=∠A'D'B'=90°(已知).ABCDA′B′C′D′在△ABD和△A'B'D'中，∠ADB=∠A'D'B'=90°(已知)，∠B=∠B'(已證)，AB=A'B'(已證)，∴△ABD≌△A'B'D'.∴AD=A'D'.ABCDA′B′C′D′

1.如圖，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判別圖中的兩個三角形是否全等，并說明理由.不全等，因為

BC雖然是公共邊，但不是對應(yīng)邊.ABCD當(dāng)堂練習(xí)2.如圖所示，OD=OB，AD∥BC，則全等三角形有()(A)2對(B)3對(C)4對(D)5對C【解析】選C.根據(jù)題意AD∥BC得∠ADO=∠CBO，∠DOA=∠BOC，又OD=OB，所以△DOA≌△BOC.同理可證△DOC≌△BOA，△DAB≌△BCD，△ACD≌△CAB，所以有4對.3.如圖，某同學(xué)將一塊三角形玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是()帶(1)去(B)帶(2)去(C)帶(3)去(D)帶(1)(2)去C【解析】選C.題干中圖(3)包含原三角形的兩角一邊，根據(jù)“A.S.A.”可配一塊與原三角形玻璃完全一樣的玻璃.4.如圖，∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么應(yīng)補充一個條件______________，才能使△ABC≌△DEF(寫出一個即可).∠B=∠EABCDEFD′∠B=∠E或∠A=∠D或

AC=DFAB=DE可以嗎？(A.S.A.)(A.A.S.)×AB∥DE(S.A.S.)ACDB125.已知：如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2.

求證：AB=AD.證明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°.在△ABC和△ADC中，∠1=∠2(已知)，∠B=∠D(已證)，AC=AC(公共邊)，∴△ABC≌△ADC(A.A.S.).∴AB=AD.ACDB125.邊邊邊1.掌握三角形全等的“S.S.S.”判定，并能應(yīng)用它判別兩個三角形是否全等，以及運用該條件解決一些簡單的實際問題.（重點）2.由探索三角形全等條件的過程，體會由操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程．（難點）學(xué)習(xí)目標試一試1.如右圖，已知

AC=DB，∠ACB=∠DBC，則△ABC≌

，理由是

，且有∠ABC=

，AB=

.△DCBS.A.S.∠DCBDCABCD到目前為止，我們學(xué)習(xí)了哪幾種判定三角形全等的方法？1.根據(jù)定義；2.基本事實：S.A.S.，A.S.A.；定理：A.A.S..ABCD2.如圖，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，(1)根據(jù)“S.A.S.”需添加條件______________________(2)根據(jù)“A.S.A.”需添加條件_____________________(3)根據(jù)“A.A.S.”需添加條件_____________________AB=AC∠BDA

=∠CDA∠B

=∠C若兩個三角形有三個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形是否全等？畫△ABC，其中∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°.ABCABCA

B

C

三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.“S.S.S.”判定三角形全等如果兩個三角形有三條邊分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形是否一定全等呢？如圖，已知三條線段a，b，c，試畫一個三角形，使這三條線段分別為其三邊.4cma3cmb4.5cmc如圖，已知三條線段a，b，c，試畫一個三角形，使這三條線段分別為其三邊.4cma3cmb4.5cmc把你畫的三角形與其他同學(xué)畫的三角形相比較，它們?nèi)葐?？步驟：1.畫一線段AB使它的長度等于c(4.5cm).abcABC2.以點A為圓心，以線段b(3cm)的長為半徑畫圓??；以點B為圓心，以線段a(4cm)的長為半徑畫圓弧；兩弧交于點C.3.連結(jié)AC、BC.△ABC即為所求.文字語言：三邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“S.S.S.”.ABCDEF“邊邊邊”判定方法幾何語言：在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，CA=FD，∴△ABC≌△DEF(S.S.S.).ABCDEF例1如圖，有一個三角形鋼架，AB=AC，AD是連接點A與BC中點D的支架．求證：△ABD≌△ACD．CBDA解題思路：先找隱含條件再找現(xiàn)有條件最后找準備條件公共邊

ADAB=ACBD=CDD是

BC的中點CBDA①準備條件：證全等時要用的條件要先證好；②指明范圍：寫出在哪兩個三角形中；③擺齊根據(jù)：擺出三個條件用大括號括起來；④寫出結(jié)論：寫出全等結(jié)論.證明的書寫步驟：例2如圖，四邊形ABCD中，AB=CD，AD=CB，求證：∠B=∠DABCDABCD例3已知：如圖，AC=AD，BC=BD.求證:∠C＝∠D.ABCDABCD1.判定三角形全等時最少有幾組邊對應(yīng)相等?最多有幾組邊?2.判定三角形全等時最少有幾組角對應(yīng)相等?最多有幾組角?最少一組邊，最多三組邊.最少一組角，最多兩組角.想一想1.如圖，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？請完成下列解題步驟.ABCD==ⅤⅤBC

CB△DCBS.S.S.2.如圖，D、F是線段BC上的兩點，AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD，還需要條件____________

(填一個條件即可).BF=CDAE==××BDFC3.已知：如圖，AC=FE，AD=FB，BC=DE.求證：(1)△ABC≌△FDE證明：(1)∵AD=FB，∴AB=FD(等式的性質(zhì)).在△ABC和△FDE中，AC=FE(已知)，BC=DE(已知)，AB=FD(已證)，∴△ABC≌△FDE(S.S.S.).ACEDBF==??√√

(2)∠C=∠E.∵△ABC≌△FDE(已證)，∴∠C=∠E(全等三角形的對應(yīng)角相等).6.斜邊直角邊1.已知斜邊、直角邊會畫直角三角形，經(jīng)歷畫直角三角形探究得到“HL”定理，體會“HL”的合理性.（重點）2.掌握“HL”定理，能正確應(yīng)用“HL”定理證明兩個三角形全等.（難點）學(xué)習(xí)目標3.能正確應(yīng)用所學(xué)的全等三角形的判定定理解決問題．（難點）回顧與思考1.全等三角形的對應(yīng)邊

，對應(yīng)角

．

2.判定三角形全等的方法有：相等相等S.A.S.，A.S.A.，A.A.S.，S.S.S..再憶直角三角形Rt△ABC直角邊斜邊ABC直角邊舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住，無法測量．(1)你能幫他想個辦法嗎？根據(jù)“S.A.S.”可測量其余兩邊與這兩邊的夾角.根據(jù)“A.S.A.”，“A.A.S.”可測量對應(yīng)一邊和一銳角.利用“H.L.”判定直角三角形全等(2)如果他只帶一個卷尺，能完成這個任務(wù)嗎?

工作人員測量了每個三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別對應(yīng)相等.于是，他就肯定“兩個直角三角形是全等的”.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等

→

兩個直角三角形全等你相信這個結(jié)論嗎？下面，讓我們來驗證這個結(jié)論.如圖，已知兩條線段，試畫一個直角三角形，使長的線段為其斜邊、短的線段為其一條直角邊.2cm3cmMABC1.畫一條線段AB，使它等于2cm；2.畫∠MAB=90°(用量角器或三角尺)；3.以點B為圓心、3cm長為半徑畫圓弧，交射線AM于C；4.連結(jié)BC.△ABC即為所求.把你畫的直角三角形與其他同學(xué)畫的直角三角形相比較，它們?nèi)葐幔坎襟E：文字語言：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(簡寫成“斜邊、直角邊”或“H.L.”).“S.S.A.”可以判定兩個直角三角形全等，但是“邊邊”指的是斜邊和一直角邊，而“角”指的是直角.幾何語言：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(H.L.).

ABCA′B′C′“斜邊、直角邊”判定方法如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求證：BC=AD.證明：∵AC⊥BC，BD⊥A