第第頁云南省昆明市五華區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含解析）昆明市五華區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。用2B鉛筆將答題卡上試卷類型A后的方框涂黑。

選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。

一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．已知集合或，則（）

A．B．C．D．

2．設(shè)，命題“若，則方程有實(shí)根”的逆否命題是（）

A．若方程有實(shí)根，則

B．若方程沒有實(shí)根，則

C．若方程有實(shí)根，則

D．若方程沒有實(shí)根，則

3．設(shè)，，，則（）

A．B．C．D．

4．中，“”是“”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

5．圓臺(tái)的上下底面半徑分別是10和20，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，則下面說法不正確的是（）

A．圓臺(tái)的母線長是20B．圓臺(tái)的表面積是

C．圓臺(tái)的高是D．圓臺(tái)的體積是

6．如圖所示，為了測量湖中兩處亭子間的距離，湖岸邊現(xiàn)有相距100米的甲乙兩位測量人員，甲測量員在處測量發(fā)現(xiàn)亭子位于北偏西亭子位于東北方向，乙測量員在處測量發(fā)現(xiàn)亭子位于正北方向，亭子位于北偏西方向，則兩亭子間的距離為（）

A．米B．米C．米D．米

7．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，且平面的法向量為，則到平面的距離等于（）

A．B．4C．D．

8．已知直線l過點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到l的距離為（）

A．B．4C．D．3

二、選擇題；本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．

9．如圖，E，H分別在線段PA，PD上，C是線段AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段EH的中點(diǎn)，，PC與EH交于點(diǎn)G，則（）

A．B．C．D．

10．如圖，在棱長為2的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則（）

A．B．平面

C．D．點(diǎn)到平面的距離為

11．如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)（）

A．平面

B．

C．若正方體的棱長為1，則點(diǎn)到平面的距離為

D．直線與平面所成角的正弦值為

12．在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且，，有以下四個(gè)命題中正確的是（）

A．滿足條件的不可能是直角三角形

B．面積的最大值為

C．當(dāng)A=2C時(shí)，的周長為

D．當(dāng)A=2C時(shí)，若O為的內(nèi)心，則的面積為

三、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分

13．已知為復(fù)數(shù)，且，則的最大值為.

14．已知，則．

15．在四邊形中，，則四邊形的面積為_____________．

16．如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，P是底面上一點(diǎn)．若平面BEF，則AP與平面成角的正弦值的取值范圍是．

四、解答題；本題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．已知函數(shù)．

(1)請(qǐng)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在一個(gè)周期上的圖像（先在所給的表格中填上所需的數(shù)字，再畫圖）；

(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間．

18．某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為陽性，小于或等于的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布．

(1)當(dāng)漏診率時(shí)，求臨界值和誤診率；

(2)已知一次調(diào)查抽取的未患病者樣本容量為100，且該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)檢查完全符合上面頻率分布直方圖（圖2），臨界值，從樣本中該醫(yī)學(xué)指標(biāo)在上的未患病者中隨機(jī)抽取2人，則2人中恰有一人為被誤診者的概率是多少？

19．在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，面，，，分別為，的中點(diǎn)．

（1）求證：面；

（2）求二面角的大小的正弦值；

（3）求點(diǎn)到面的距離．

20．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，平分交于點(diǎn)，且．

(1)求；

(2)求的面積．

21．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．

(1)求角B的大??；

(2)若，D為AC邊上的一點(diǎn)，，且，求△ABC的面積．

請(qǐng)?jiān)谙铝袃蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作為條件補(bǔ)充在橫線上，并解決問題．

①BD是∠ABC的平分線；②D為線段AC的中點(diǎn)．

（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答記分．）

22．如圖所示，矩形中，，.、分別在線段和上，，將矩形沿折起.記折起后的矩形為，且平面平面.

(1)求證：平面；

(2)若，求證：；

(3)求四面體體積的最大值

數(shù)學(xué)參考答案

1．D

因?yàn)榛?，則集合，

又集合，則.

故選：D.

2．B

原命題的逆否命題是將條件與結(jié)論互換并分別否定，

即命題“若，則方程有實(shí)根”的逆否命題是“若方程沒有實(shí)根，則”.

故選：B

3．C

，，，

因?yàn)樵诙x域上是增函數(shù)，且，故.

故選：C.

4．C

在三角形中，因?yàn)椋?，?/p>

若，則，即，

若，由正弦定理，得，根據(jù)大邊對(duì)大角，可知

所以“”是“”的充要條件

故選：C

5．C

根據(jù)給定條件，作出圓臺(tái)側(cè)面展開圖，求出圓臺(tái)的母線長和高，再利用表面積和體積公式求解判斷作答.

依題意，圓臺(tái)側(cè)面展開圖，如圖，

設(shè)圓臺(tái)的上底面周長為，由扇環(huán)的圓心角為，得，又，

則，同理，于是圓臺(tái)的母線，高，

表面積，

體積，ABD正確，C錯(cuò)誤.

故選：C

6．B

根據(jù)已知，結(jié)合圖形，利用三角形的性質(zhì)以及正弦定理、余弦定理求解.

連接，在中，由條件可得，則，

，

在中，由正弦定理得，

在中，由條件得，且，

在中，由余弦定理得

，

，故A，C，D錯(cuò)誤.

故選：B.

7．C

根據(jù)向量法計(jì)算可得.

依題意，平面的法向量為，

所以點(diǎn)到平面的距離.

故選：C

8．A

根據(jù)直線一個(gè)方向向量為，取直線的一個(gè)單位方向向量為，計(jì)算，代入點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可．

直線的一個(gè)方向向量為，取直線一個(gè)單位方向向量為

，

又為直線外一點(diǎn)，且直線過點(diǎn)，，

，

點(diǎn)到直線的距離為

故選：A．

9．CD

由題意，選定和作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，將和用基底表示出來，比較系數(shù)即可求得．

設(shè)，，

因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，則有，

由，可得，

設(shè)

，

則由平面向量基本定理可得，解得，

又，，三點(diǎn)共線，

故可設(shè)，

設(shè)，由為中點(diǎn)可知，

，將代入可得，

即，正確；

又，

，

，

設(shè)，

則有，

即，解得，，

故，正確；

故選：CD．

10．ABD

建系，根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的垂直垂線的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，向量法求解點(diǎn)面距，即可分別求解.

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

正確．

，

所以平面，直線與直線不垂直，正確，錯(cuò)誤．

點(diǎn)到平面的距離為正確．

故選：ABD.

11．ABC

利用線線平行可判定A項(xiàng)，利用線面垂直可判定B項(xiàng)，利用等體積法轉(zhuǎn)化可判定C項(xiàng)，利用線面角的定義結(jié)合C項(xiàng)結(jié)論可判定D項(xiàng).

對(duì)于A項(xiàng)，連接BD交AC于O點(diǎn)，連接OE，易知OE為的中位線，

即，∵面，面，∴平面，故A正確；

對(duì)于B項(xiàng)，連接，由正方體的性質(zhì)易知，

又面，∴面，

而面，即，故B正確；

對(duì)于C項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)知：點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)D到平面的距離，設(shè)該距離為，若正方體棱長為1，則，

，故C正確；

對(duì)于D項(xiàng)，假設(shè)D點(diǎn)在面ACE的投影為M，連接AM，則AD與面ACE的夾角為，

由C選項(xiàng)結(jié)論可知若正方體棱長為1，則有，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

12．BCD

對(duì)于A，利用勾股定理的逆定理判斷；

對(duì)于B，利用圓的方程和三角形的面積公式可得答案；

對(duì)于C，利用正弦定理和三角函數(shù)恒等變形公式可得答案

對(duì)于D，由已知條件可得為直角三角形，從而可求出三角形的內(nèi)切圓半徑，從而可得的面積

對(duì)于A，因?yàn)?，所以由正弦定理得，，若是直角三角形的斜邊，則有，即，得，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，

因?yàn)?，所以?/p>

化簡得，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

所以面積的最大值為，所以B正確；

對(duì)于C，由A=2C，可得，由得，

由正弦定理得，，即，

所以，化簡得，

因?yàn)?，所以化簡得?/p>

因?yàn)椋?，所以，則，

所以，所以，，，

因?yàn)椋裕?/p>

所以的周長為，所以C正確；

對(duì)于D，由C可知，為直角三角形，且，，，，

所以的內(nèi)切圓半徑為，

所以的面積為

所以D正確，

故選：BCD

此題考查三角形的正弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的恒等變換，考查轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，屬于難題.

13．

由題意，設(shè)，得到，則，利用復(fù)數(shù)的模的幾何意義，即可得解.

由題意設(shè)，則

，，即，

即的模的軌跡可理解為以為圓心，半徑為2的圓.

則，可理解為求點(diǎn)到點(diǎn)之間的距離，

數(shù)形結(jié)合可知，的最大值為4．

故答案為：

14．

利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡，根據(jù)齊次式的處理方法求解.

.

故答案為：.

15．

由題可得四邊形是菱形，其邊長為，對(duì)角線等于邊長的倍，再利用余弦定理及面積公式即得.

因?yàn)椋?/p>

所以四邊形為平行四邊形，

又，

∴平行四邊形的角平分線平分，四邊形是菱形，其邊長為，且對(duì)角線等于邊長的倍，

所以，

故，

所以四邊形的面積為.

故答案為：．

16．

根據(jù)線面平行判定定理以及面面平行判定定理，利用線面角的定義，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義，可得答案.

如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)M，連接AM，AN，MN，，，

由正方體，E，N分別為，的中點(diǎn)，

易知，且，

所以四邊形為平行四邊形，所以，

又因?yàn)槠矫鍮EF，平面BEF，所以平面BEF，

因?yàn)镋，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，由中位線性質(zhì)可得，同理可知，所以，

又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又，平面AMN，所以平面平面，

因?yàn)镻是底面上一點(diǎn)，且平面，所以點(diǎn)，

由分別為的中點(diǎn)，且，，則，，即，

由，則

在等腰中，底邊上的高，

則AP的長度的取值范圍為，

設(shè)與平面成角為，在正方體中，易知平面，且為垂足，

所以．

故答案為：.

本題的解題關(guān)鍵在于面面平行的性質(zhì)定理以及線面角定義的理解，利用正方體的幾何性質(zhì)，得以解題.

17．(1)答案見解析

(2)，．

（1）分別令，，，，，列表描點(diǎn)連線可得函數(shù)圖像；

（2）將表示出來并化簡，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解即可．

（1）分別令，，，，，可得：

0

0100

畫出在一個(gè)周期的圖像如圖所示：

（2），

若求單調(diào)遞增區(qū)間，需滿足，，

，，

則的單調(diào)遞增區(qū)間為，．

18．(1)，

(2)

（1）由圖1，根據(jù)漏診率列式求出，再由圖2求出誤診率；

（2）根據(jù)圖2求出100個(gè)未患病者中，該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)在中的人數(shù)以及被誤診者的人數(shù)，再利用列舉法和古典概型的概率公式可求出結(jié)果.

（1）依題可知，圖1第一個(gè)小矩形的面積為，所以，

所以，解得，

．

（2）由題可知，100個(gè)未患病者中，該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)在中的有人，

其中被誤診者有人，

記隨機(jī)抽取的2人恰有一人為被誤診者為事件A．分別用a，b，c，d，E，F(xiàn)表示這6人，E，F(xiàn)代表被誤診的2人，

樣本空間，

事件，故，，

，故2人中恰有一人為被誤診者的概率是．

19．（1）詳見解析；

（2）；

（3）．

（1）要證明線面平行，可以通過構(gòu)造平行四邊形先證明線線平行，進(jìn)而證明線面平行；

（2）根據(jù)二面角的定義，先作出二面角的平面角，再進(jìn)行論證，最后進(jìn)行計(jì)算，從而求得其正弦值；

（3）可根據(jù)等體積法由即可求得點(diǎn)到面的距離.

（1）如圖所示，取中點(diǎn)，連結(jié)，

因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以可證得，且，

所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面?/p>

所以平面；

（2）作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連結(jié)，易證平面，

所以，又因?yàn)?，?/p>

所以平面，所以，所以即為二面角的平面角，

在中，；

（3）因?yàn)?，所?/p>

所以

20．(1)

(2)

（1）利用正弦定理將已知等式統(tǒng)一成角的形式，然后利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡可求得結(jié)果，

（2）由角平分線的性質(zhì)結(jié)合已知可得，再由正弦定理和三角函數(shù)恒等變換公式可得，結(jié)合可求出，然后在中利用正弦定理可得，從而可求得，在中利用余弦定理得，解方程組可求出，進(jìn)而可求出的面積.

（1）因?yàn)?，所以?/p>

所以由正弦定理得，

因?yàn)椋裕?/p>

因?yàn)?，所以，所?

（2）因?yàn)槠椒纸挥邳c(diǎn)，且，

所以，即，①

所以，，

所以，，

所以，

因?yàn)?，所以，得?/p>

因?yàn)?，所以?/p>

在中由正弦定理得，

得，所以，

所以,

在中由余弦定理得，得，②

由①②解得，

所以的面積為.

21．(1)

(2)

（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式即可求解；

（2）選擇①，由平分得，分別用三角形面積公式求解可得，利用余弦定理可得，聯(lián)立即可求解的值，即可求得△ABC的面積；選擇②，利用平面向量的線性運(yùn)算可得，求解向量的?？傻茫糜嘞叶ɡ砜傻?，聯(lián)立即可求解的值，即可求得△ABC的面積.

（1）解：由正弦定理知，，

∵，

代入上式得，

∵，

∴，，

∵，∴.

（2）若選①：

由平分得，，

∴，

即．

在中，由余弦定理得，

又，∴，

聯(lián)立得，

解得，（舍