押新高考卷14題導數及其切線方程考點3年考題考情分析導數及其切線方程2022年新高考Ⅰ卷第15題2022年新高考Ⅱ卷第14題2021年新高考Ⅰ卷第15題2021年新高考Ⅱ卷第16題導數及其切線方程，難度較易或一般，縱觀近幾年的新高考試題，分別考查以切線為背景求參數范圍、求切線方程、求最值等知識點，同時也是高考沖刺復習的重點復習內容?？梢灶A測2023年新高考命題方向將繼續(xù)以切線為背景展開命題．八大常用函數的求導公式（為常數）；例：，，，，，，，導數的四則運算和的導數：差的導數：積的導數：（前導后不導前不導后導）商的導數：，復合函數的求導公式函數中，設（內函數），則（外函數）導數的幾何意義導數的幾何意義導數的幾何意義是曲線在某點處切線的斜率直線的點斜式方程直線的點斜式方程：已知直線過點，斜率為，則直線的點斜式方程為：1．（2022·新高考Ⅰ卷高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________．【答案】【分析】設出切點橫坐標，利用導數的幾何意義求得切線方程，根據切線經過原點得到關于的方程，根據此方程應有兩個不同的實數根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：2．（2022·新高考Ⅱ卷高考真題）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為____________，____________．【答案】【分析】分和兩種情況，當時設切點為，求出函數的導函數，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；【詳解】[方法一]：化為分段函數，分段求分和兩種情況，當時設切點為，求出函數導函數，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；解：因為，當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；[方法二]：根據函數的對稱性，數形結合當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；因為是偶函數，圖象為：所以當時的切線，只需找到關于y軸的對稱直線即可.[方法三]：因為，當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；.3．（2021·新高考Ⅰ卷高考真題）函數的最小值為______.【答案】1【分析】由解析式知定義域為，討論、、，并結合導數研究的單調性，即可求最小值.【詳解】由題設知：定義域為，∴當時，，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞增；又在各分段的界點處連續(xù)，∴綜上有：時，單調遞減，時，單調遞增；∴故答案為：1.4．（2021·新高考Ⅱ卷高考真題）已知函數，函數的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是_______．【答案】【分析】結合導數的幾何意義可得，結合直線方程及兩點間距離公式可得，，化簡即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點和點，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數的幾何意義轉化條件，消去一個變量后，運算即可得解.1．（2023·江蘇·二模）已知曲線與在處的切線互相垂直，則__________【答案】【分析】求導得切線斜率，根據切線垂直的斜率關系建立方程即可得解．【詳解】由，得，則曲線在處的切線斜率為，由，得，則曲線在處的切線斜率為，則根據題意有，即，得．故答案為：.2．（2023·江蘇南通·二模）過點作曲線的切線，寫出一條切線的方程_______．【答案】（答案不唯一）【分析】設切點坐標，利用導數求切線斜率，代入點求出未知數即可得到切線方程.【詳解】，，設切點坐標為，則切線斜率為，得方程，代入點，得，即，解得或，當時，切線方程為；當時，切線方程為.故答案為：（或）.3．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考二模）已知函數的圖象在處的切線在y軸上的截距為2，則實數____________．【答案】【分析】根據給定條件，求出函數的導數，再利用導數的幾何意義求出切線方程作答.【詳解】函數，求導得：，，而，因此函數的圖象在處的切線方程為：，令，得，于是，解得，所以.故答案為：4．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知曲線在點處的切線與曲線在點處的切線互相垂直，則________．【答案】【分析】先利用導數的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率，進而可對函數求導，然后根據條件列方程求.【詳解】由曲線得，，曲線在點處的切線斜率為，曲線得，由已知可得，解得.故答案為：.5．（2023·遼寧鞍山·校聯(lián)考一模）若函數的圖像在點處的切線方程為，則實數______．【答案】【分析】利用導數和切線斜率間的關系求實數的值.【詳解】，則，依題意有，則實數.故答案為：-26．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）與曲線和都相切的直線方程為__________.【答案】【分析】分別設出直線與兩曲線相切的切點，然后表示出直線的方程，再根據切線是同一條直線建立方程求解.【詳解】設直線與曲線相切于點，因為，所以該直線的方程為，即，設直線與曲線相切于點，因為，所以該直線的方程為，即，所以，解得，所以該直線的方程為，故答案為：.7．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）已知是定義在上的偶函數，當時，，則曲線在點處的切線方程為______．【答案】【分析】根據是定義在上的偶函數，以及當時，等條件求出時，的導數為,進而求出時，,代入即可求出答案.【詳解】解：由是定義在上的偶函數，當時，，可得時，，所以當時，的導數為，則曲線在點處的切線的斜率為，切點為，則切線的方程為，所以8．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）直線l經過點，且與曲線相切，寫出l的一個方程_______．【答案】（答案不唯一）【分析】先對求導，再假設直線l與的切點為，斜率為，從而得到關于的方程組，解之即可求得直線l的方程.【詳解】因為，所以，不妨設直線l與的切點為，斜率為，則，解得或或，當時，直線l為；當時，直線l為，即；當時，直線l為，即；綜上：直線l的方程為或或.故答案為：（答案不唯一）.9．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）過點與曲線相切的直線方程為______．【答案】【分析】由導數的幾何意義得出切線方程，進而由切點的位置得出，從而得出切線方程.【詳解】設切點坐標為，，.則切線方程為，因為在切線上，所以，即又，所以，令，，當時，，所以在上單調遞增，所以方程只有唯一解為.即切點坐標為，故所求切線方程為，即.故答案為：10．（2023·湖北·荊州中學校聯(lián)考二模）已知定義在上的函數，，設曲線與在公共點處的切線相同，則實數______．【答案】5【分析】由于兩曲線與在公共點處的切線相同，設公共點，則，列方程組可求出的值【詳解】解：依題意設曲線與在公共點處的切線相同.∵，∴，∴，即，即∵，∴，故答案為：11．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知直線是曲線與的公切線，則直線與軸的交點坐標為______．【答案】【分析】利用導數求得函數的切線方程，由題意，建立方程組，可得答案.【詳解】設直線與曲線和分別相切于，兩點，分別求導，得，，故，整理可得．同理得，整理可得．因為直線為兩曲線的公切線，所以，解得，所以直線的方程為，令，則．則直線與軸的交點坐標為．故答案為：.12．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）若曲線存在兩條互相垂直的切線，則a的取值范圍是________．【答案】【分析】先求導函數，由題可得，分類討論和時，是否存在符合的值即可判斷.【詳解】由題知，令，則．若函數曲線存在兩條互相垂直的切線則可得，，．當時，，，與題目矛盾；當時，由，可得的值域是故，使得，，．故答案為：．13．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知拋物線，直線與拋物線交于，兩點，過，分別作拋物線的切線，若，且與交于點M，則的面積的最小值為________.【答案】1【分析】由直線垂直可構造出斜率關系，得到，通過直線與拋物線方程聯(lián)立，根據根與系數關系求得；聯(lián)立兩切線方程，可用表示出，代入點到直線距離公式，從而得到關于的面積的函數關系式，求得所求最值．【詳解】解：拋物線的方程為，即，所以，設,，,，則，所以切線方程，，由于，所以，由題意可設直線方程為，拋物線方程聯(lián)立，得，所以，則，，即即，聯(lián)立方程得，即，點到直線的距離，，所以．當時，面積取得最小值1．故答案為：1.14．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）已知直線與曲線和均相切，則該直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為___________.【答案】2【分析】由基本初等函數的導數及其的幾何意義解得直線的解析式即可求得結果.【詳解】由已知得的導函數分別為：，設上的切點分別為，則有：，解之得：，故：，與坐標軸交點分別為，圍成的三角形面積為：.故答案為：2.15．（2023·江蘇常州·?？级＃┮阎瘮档膱D像關于直線對稱，且時，，則曲線在點處的切線方程為___________.【答案】【分析】先求出當時，，利用導數的幾何意義求出切線斜率，寫出切線方程.【詳解】設分別為函數的圖像上關于直線對稱的兩點，不妨設，則.所以，所以所以.所以當時，.所以.而，所以.所以曲線在點處的切線方程為，即.故答案為：.16．（2023·廣東佛山·佛山一中校考一模）已知函數，，函數的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別與軸交于兩點，則的取值范圍是________．【答案】【分析】利用導數的幾何意義可求得在處的切線方程，并得到；根據切線互相垂直可得，由此得到，令，可得，利用分離常數法可求得的范圍，即為的范圍.【詳解】當，時，，，在處的切線方程為，即，；當，，，同理可求得：在處的切線方程為：，，兩條切線互相垂直，，，，令，設，，則在上單調遞增，，即．故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是能夠利用導數的幾何意義求得，將表示為關于變量的函數的形式，從而利用函數值域的求解方法求得結果.17．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）直線與曲線：及曲線：分別交于點A，B.曲線在A處的切線為，曲線在B處的切線為.若，相交于點C，則面積的最小值為____________.【答案】2【分析】利用導數的幾何意義，設出直線，求出交點的橫坐標，從而求出，再利用基本不等式即可求出結果.【詳解】設，由，得到，由，得到所以由導數的幾何意義得：，，聯(lián)立方程解得：的面積，令，所以，當且僅當，即時取等號.故答案為：218．（2023·安徽安慶·安慶市第二中學校考模擬預測）已知F為拋物線的焦點，由直線上的動點P作拋物線的切線，切點分別是A，B，則與（為坐標原點）的面積之和的最小值是_________.【答案】【分析】根據題意直線AB斜率存在，設其方程為，利用導數可得出拋物線在點A、B處的切線方程，聯(lián)立即可得出點P的坐標，聯(lián)立直線AB的方程與拋物線的方程，根據韋達定理及點P在直線上，即可求出的值，再利用面積公式結合基本不等式得出最小值.【詳解】根據題意直線AB斜率存在，設其方程為，設，，由，得，求導得，則拋物線在點A處的切線方程為，整理得：，同理得拋物線在點B處的切線方程為，則由，解得，即兩切線的交點，由消去y整理得，則，，則，點P在直線上，則，則直線AB的方程為，過定點，且，設，則，則，，，，當且僅當，即時等號成立，則與的面積之和的最小值為.故答案為：.19．（2023·湖南長沙·湖南師大附中校考一模）已知和分別是函數（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．【答案】【分析】法一：依題可知，方程的兩個根為，即函數與函數的圖象有兩個不同的交點，構造函數，利用指數函數的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導數的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據幾何意義可得出答案.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉化法，零點的問題轉為函數圖象的交點因為，所以方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數與函數的圖象有兩個不同的交點，因為分別是函數的極小值點和極大值點，所以函數在和上遞減，在上遞增，所以當時，，即圖象在上方當時，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設過原點且與函數的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數與函數的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構造新函數，二次求導=0的兩個根為因為分別是函數的極小值點和極大值點，所以函數在和上遞減，在上遞增，設函數，則，若，則在上單調遞增，此時若，則在上單調遞減，在上單調遞增，此時若有和分別是函數且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；若，則在上單調遞減，此時若，則在上單調遞增，在上單調遞減，令，則，此時若有和分別是函數且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.【整體點評】法一：利用函數的零點與兩函數圖象交點的關系，由數形結合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；法二：通過構造新函數，多次求導判斷單調性，根據極值點的大小關系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．20．（2023·廣東·校聯(lián)考