2.2.3一元二次不等式的解法6種常見考法歸類1、一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式稱為一元二次不等式，其中a，b，c是常數(shù)，而且a≠0.一元二次不等式中的不等號(hào)也可以是“<”“≥”“≤”等．注：一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)a有a>0和a<0兩種，注意aa<0時(shí)，我們通常將不等式兩邊同乘以－1，化為二次項(xiàng)系數(shù)大于0的一元二次不等式，但要注意不等號(hào)要改變方向，這樣我們只需要研究二次項(xiàng)系數(shù)大于0的一元二次不等式．2、一元二次不等式的解法（1）用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x1<x2，則不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).①這種方法只有在一元二次不等式左邊能夠因式分解(一般用十字相乘法)時(shí)才能使用，簡(jiǎn)記為“小于零取中間，大于零取兩邊”．②因式分解法就是將一元二次不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次不等式組來求解．依據(jù)是：ab>0當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,b<0))；ab<0當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,b>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b<0.))（2）用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通過配方總是可以變?yōu)?x－h(huán))2>k或(x－h(huán))2<k的形式，然后根據(jù)k的正負(fù)等知識(shí)，就可以得到不等式的解集．注：(1)因式分解法只適用于特殊類型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通過配方法求得解集．(2)用配方法解一元二次不等式的關(guān)鍵是熟練掌握二次三項(xiàng)式的配方技巧．3、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}{x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??4、簡(jiǎn)單分式不等式的解法分式不等式的概念分母中含有未知數(shù)的不等式稱為分式不等式．注：當(dāng)分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式時(shí)，其分母不為零最容易被忽略，這一點(diǎn)一定要注意．5、求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式為例，用框圖表示其求解過程：6、一元二次不等式的解法：(1)圖像法：一般地，當(dāng)a＞0時(shí)，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分為三步：①確定對(duì)應(yīng)方程ax2＋bx＋c＝0的解；②畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像簡(jiǎn)圖；③由圖像得出不等式的解集．對(duì)于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取類似a＞0時(shí)的解題步驟求解；也可以先把它化成二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式，再求解．(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解，當(dāng)p＜q時(shí)，若(x－p)(x－q)＞0，則x＞q或x＜p；若(x－p)(x－q)＜0，則p＜x＜q.有口訣如下“大于取兩邊，小于取中間”．7、含參數(shù)一元二次不等式求解步驟(1)討論二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，即相應(yīng)二次函數(shù)圖像的開口方向；(2)討論判別式的符號(hào)，即相應(yīng)二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)Δ>0時(shí)，討論相應(yīng)一元二次方程兩根的大小；(4)最后按照系數(shù)中的參數(shù)取值范圍，寫出一元二次不等式的解集．8、三個(gè)“二次”之間的關(guān)系一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系，在解決具體的數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換．(1)若一元二次不等式的解集為區(qū)間的形式，則區(qū)間的端點(diǎn)值恰是對(duì)應(yīng)一元二次方程的根，要注意解集的形式與二次項(xiàng)系數(shù)的聯(lián)系．(2)若一元二次不等式的解集為R或?，則問題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題，此時(shí)可以根據(jù)二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號(hào)，進(jìn)而求出參數(shù)的范圍．9、簡(jiǎn)單的分式不等式的解法對(duì)于比較簡(jiǎn)單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．對(duì)于不等號(hào)右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號(hào)右邊為零，然后再用上述方法求解．注：設(shè)A、B均為含x的多項(xiàng)式（1）（2）（3）（4）10、解不等式應(yīng)用題的四步驟(1)審：認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系．(2)設(shè)：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，用不等式表示不等關(guān)系．(3)求：解不等式．(4)答：回答實(shí)際問題．特別提醒：確定答案時(shí)應(yīng)注意變量具有的“實(shí)際含義”．考點(diǎn)一解不含參數(shù)的一元二次不等式考點(diǎn)二含參數(shù)的一元二次不等式的解法考點(diǎn)三利用不等式的解集求參數(shù)考點(diǎn)四簡(jiǎn)單的分式不等式的解法考點(diǎn)五一元二次不等式的恒成立有解問題考點(diǎn)六一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)一解不含參數(shù)的一元二次不等式1．（2023秋·安徽合肥·高二?？紝W(xué)業(yè)考試）不等式的解集為（

）A．或B． C．D．或2．（2023秋·廣東佛山·高一佛山市第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）解下列一元二次不等式：(1)；(2)；(3)．3．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）解下列不等式：（1）；

（2）；

（3）4．（2023秋·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）解下列不等式：（1）（2）（3）（4）5．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）不等式的解集為A． B． C． D．6．【多選】（2023秋·江蘇淮安·高一?？茧A段練習(xí)）下列四個(gè)不等式中，解集為的是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)二含參數(shù)的一元二次不等式的解法7．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）若，解不等式．8．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）解關(guān)于x的不等式9．（2023秋·高一校考課時(shí)練習(xí)）解關(guān)于x的不等式:.10．（2023秋·北京·高一北京市第五十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解不等式.11．（2023秋·北京西城·高一北京鐵路二中?？计谥校┰O(shè)，解關(guān)于的不等式：．12．（2023秋·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中?？计谥校┮阎?，，求關(guān)于的不等式的解集.考點(diǎn)三利用不等式的解集求參數(shù)13．（2023秋·福建福州·高一福州三中?？茧A段練習(xí)）已知不等式的解集是，則（

）A．-10 B．-6 C．0 D．214．（2023秋·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集是，則（

）A． B． C． D．15．【多選】（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為16．（2023秋·河南南陽·高一校考階段練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．17．（2023秋·廣西柳州·高一柳鐵一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．18．（2023秋·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校考期中）已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式的解集是，求的值.(2)若，求關(guān)于的不等式的解集.19．（2023秋·湖南永州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）若不等式的解集為，則.20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式的解集是的子集，則a的范圍是（）A．[－4，3] B．[－4，2]C．[－1，3] D．[－2，2]21．【多選】（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)解，則a的值可以為（

）A． B． C． D．2考點(diǎn)四簡(jiǎn)單的分式不等式的解法22．（2023秋·云南曲靖·高一?？茧A段練習(xí)）不等式的解集是．23．（2023秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）不等式的解集為．24．（2023秋·河南商丘·高一統(tǒng)考期中）不等式的解集是．25．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知集合，則．26．（2023秋·陜西西安·高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）解不等式：(1)；(2)；(3).考點(diǎn)五一元二次不等式的恒成立有解問題27．（2023秋·高一單元測(cè)試）設(shè).(1)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)解關(guān)于的不等式.28．（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)．(1)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式．29．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式．30．（2023秋·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)．(1)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式．31．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，，.(1)若關(guān)于的不等式的解集為或，求實(shí)數(shù)，的值；(2)若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．考點(diǎn)六一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用32．（2023秋·高一?？紗卧獪y(cè)試）某小型雨衣廠生產(chǎn)某種雨衣，售價(jià)（單位：元/件）與月銷售量（單位：件）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件的成本（單位：元）.若每月獲得的利潤(rùn)（單位：元）不少于元，則該廠的月銷售量的取值范圍為（）A． B．C． D．33．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量（件）與單價(jià)（元）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件所需成本為（元），其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷售量的取值范圍是（

）.A． B．C． D．34．（2023春·河南安陽·高二林州一中?？茧A段練習(xí)）某地每年消耗木材約20萬立方米，每立方米售價(jià)480元