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文檔簡介

相似三角形——“K字型”相似模型教學目標:1.理解“K型圖”的特征以及其中兩個三角形相似的條件。2.利用“K型圖”中兩個相似三角形解決計算、證明等問題。教學重點難點:1.觀察已知圖形中的關鍵特征——“K型”。2.在非“K型”圖形中畫輔助線,得到“K型”圖形。3.探索“K型”圖中兩個三角形的相似條件。教學過程:一、前測練習1.如圖,在矩形ABCD中,E在AD上,EF⊥BE,交CD于F,連結BF,則三角形ABD與三角形DEC相似。2.在等邊三角形ABC中,D為BC邊上一點,E為AC邊上一點,且∠ADE=60°,則三角形ABD與三角形DEC相似。二、模型探究1.學生填空,教師提問:問題1:判定這兩個三角形相似的依據是什么?學生答:兩個角對應相等的兩個三角形相似。問題2:圖中已知角有什么共同特征?學生答:圖1中頂點共線三角都是直角,圖2中頂點共線三角都是60°。問題3:若頂點共線三等角的度數不是90°也不是60°,對應兩個三角形還相似嗎?教師演示圖形,讓學生自己畫圖并證明。學生應該寫出已知條件和求證結論,然后使用方法1或方法2證明兩個角相等。問題4:若保持共線三等角的度數不變,改變邊的長度,對應兩個三角形還相似嗎?學生答:相似。因為我們是依據兩個角對應相等判定兩個三角形相似的。問題5:由此得到什么結論?學生答:只要滿足共線三角的度數相等,則這兩個三角形相似的。問題6:此圖形形如英語字母誰?學生答:字母K教師解釋:我們就把這個基本圖形叫做K字形,這是我們證明兩三角形相似的一個基本圖形。觀察下圖,請大家找出圖中的對應邊,由此可得到怎樣的比例式?你能將該式轉化為等積式嗎?通過研究發(fā)現,利用K型相似可以得出邊之間的關系。下面我們來研究K字形在相似三角形中的應用。例1:如圖,已知點A(2,4)、B(4,1),BC⊥x軸于點C,點P為線段OC上一點,且PA⊥PB.求點P的坐標。是否符合K型特征?可以看出,三角形PAB和PBC是相似的,且有一組對應邊PA和PC相等,因此符合K型特征。處理方式:根據相似比,設PC為x,則PA為2x。由于PA和PB垂直,因此可以列出方程:(2x-4)/(2-1)=-1/(-3/2),解得x=5/3。因此,P的坐標為(5/3,10/3)。變式練習1:如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=6,∠ABC=∠C=70°,點E、F分別在線段AD、DC上,且∠BEF=110°,若AE=3,求DF的長。處理方式:首先根據AD∥BC和∠ABC=∠C,可以得出三角形ABC和ADC相似,且相似比為AC/AB=DC/AD=12/6=2。因此,可以列出方程:(DF+6)/DF=2,解得DF=6。變式練習2:如圖,由8個大小相等的小正方形構成的圖案,它的四個頂點E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上。若AB=4cm,BC=6cm,求DG的長。處理方式:首先根據矩形的性質,可以得出DG=AB=4。然后根據相似三角形,可以得出三角形DHG和CGF相似,且相似比為1:2。因此,可以列出方程:DG/(4-DG)=1/2,解得DG=2。例2:如圖,在四邊形ABCD中,已知AD∥BC,∠B=90°,AB=7,AD=9,BC=12,在線段BC上任取一點E,連接DE,作EF⊥DE,交直線AB于點F.若點F在線段AB上,且AF=CE,求CE的長.是否符合K型圖特征?可以看出,三角形DEF和ABC是相似的,且有一組對應邊EF和BC相等,因此符合K型特征。處理方式:根據相似比,設CE為x,則AF為x+3。由于EF和AB垂直,因此可以列出方程:(x+3)/(7-x)=-DE/BC,代入已知條件解得x=21/8。因此,CE的長為21/8。變式練習3:如圖,在矩形ABCD中,點E、F分別在邊CD、BC上,且DC=3DE=3a.將矩形沿直線EF折疊,使點C恰好落在AD邊上的點P處,則FP=?是否符合K型圖特征?可以看出,三角形FEP和DCP是相似的,且有一組對應邊FE和DC相等,因此符合K型特征。處理方式:根據相似比,設FP為x,則CP為3x。根據矩形的性質,可以得出DE=DC/3=a。由于EF和AD垂直,因此可以列出方程:(3x-a)/(3a-x)=EF/AD,代入已知條件解得x=9a/10。因此,FP的長為9a/10。五、靈活應用在圖中,我們可以根據已知條件構造K型圖。根據條件1,我們在直線AG左側構造K型圖,如下圖所示:在條件2的基礎上,我們在直線AG右側構造K型圖,如下圖所示:根據條件3,我們可以得到:$\frac{EJ}{AE_1}=\frac{FK}{AF_1}$,$\frac{AG}{AC}=\frac{k}{k+1}$,$\frac{AG}{AB}=\frac{1}{k+1}$由于$\angleAJE_1=\angleFKF_1=90^{\circ}$,所以$\triangleAJE_1\sim\triangleFKF_1$。因此,$\frac{EJ}{FK}=\frac{AE_1}{AF_1}$。利用差型全等,我們可以得到:$HE=AE_1-AJ=AF_1-FK=HF$因此,我們可以得出結論:$HE=HF$。處理方式:學生獨立思考,小組討論

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