/專題03一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用【思維導(dǎo)圖】◎題型1：傳播問題技巧：公式a(1+x)n=M其中a為傳染源（一般a=1），n為傳染輪數(shù)，M為最后得病總?cè)藬?shù)例．（2022·福建省福州屏東中學(xué)八年級(jí)期末）新冠疫情牽動(dòng)人心，若有一人感染了新冠，在每輪傳染中平均一個(gè)人可以傳染個(gè)人，經(jīng)過兩輪傳染后共有400人感染，列出的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，正確的理解題意，列出一元二次方程，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，,故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的理解題意，列出一元二次方程．變式1．（2022·浙江杭州·八年級(jí)期中）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻持續(xù)蔓延，此肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有256人患新冠肺炎，設(shè)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了x人，則根據(jù)題意可列出方程（

）A．x（1＋x）＝256 B．x＋（1＋x）2＝256C．x＋x（1＋x）＝256 D．1＋x＋x（1＋x）＝256【答案】D【解析】【分析】分別計(jì)算出每輪的人數(shù)，然后求和即可得出方程．【詳解】解：第一輪傳染x個(gè)人，一輪后的人數(shù)為（1+x）人；第二輪的人數(shù)為x(1+x)，兩輪的總?cè)藬?shù)為：1+x+x(1+x)=256，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，列出相應(yīng)方程是解題關(guān)鍵．變式2．（2021·廣東湛江·九年級(jí)期末）有一人患了新冠肺炎，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了新冠肺炎．(1)求每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？(2)如果不及時(shí)控制，第三輪將又有多少人被傳染？【答案】(1)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了12個(gè)人(2)第三輪將又有2028人被傳染【解析】【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了流感，可求出x，（2）由（1）所得可求出第三輪過后，又被感染的人數(shù)．(1)解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則（x＋1)2＝169．解得，(舍去)．答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了12個(gè)人；(2)解：由題意得：169×12＝2028(人)．答：第三輪將又有2028人被傳染．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，先求出每輪傳染中平均每人傳染了多少人數(shù)是解題關(guān)鍵．變式3．（2021·寧夏·吳忠市利通區(qū)扁擔(dān)溝中心學(xué)校九年級(jí)期中）新冠肺炎是一種傳染性很強(qiáng)的疾?。绻虫?zhèn)有一人不幸成為新冠肺炎病毒的攜帶者，假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人成為新冠病毒的攜帶者．(1)每個(gè)人每輪傳染多少人？(2)若不控制傳染渠道，經(jīng)過三輪傳染，共有多少人成為新冠病毒的攜帶者？【答案】(1)每個(gè)人每輪傳染12人．(2)共有2197人成為新冠病毒的攜帶者．【解析】【分析】（1）設(shè)每個(gè)人每輪傳染x人，由題意可列方程進(jìn)行求解；（2）由（1）可直接進(jìn)行求解．(1)解：設(shè)每個(gè)人每輪傳染x人，由題意得：，解得：（不符合題意，舍去），答：每個(gè)人每輪傳染12人．(2)解：由（1）可得：169×（1+12）=2197（人）；答：若不控制傳染渠道，經(jīng)過三輪傳染，共有2197人成為新冠病毒的攜帶者．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的傳播問題是解題的關(guān)鍵．◎題型2：平均增長率問題技巧：b=a(1±x)n，n為增長或降低次數(shù),b為最后產(chǎn)量，a為基數(shù)，x為平均增長率或降低率例．（2020·江蘇無錫·九年級(jí)期中）某口罩生產(chǎn)廠生產(chǎn)的口罩1月份平均日產(chǎn)量為20000個(gè)，1月底因突然爆發(fā)新冠肺炎疫情，市場(chǎng)對(duì)口罩需求量大增．為滿足市場(chǎng)需求，工廠決定從2月份起擴(kuò)大產(chǎn)能，3月份平均日產(chǎn)量達(dá)到24200個(gè)．則口罩日產(chǎn)量的月平均增長率為（

）A．8% B．10% C．15% D．20%【答案】B【解析】【分析】設(shè)口罩日產(chǎn)量的月平均增長率為x，依據(jù)題意列出方程20000（1＋x）2＝24200，求解即可．【詳解】解：設(shè)口罩日產(chǎn)量的月平均增長率為x，依據(jù)題意可得：20000（1＋x）2＝24200，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝?2.1（不合題意舍去），∴x＝10%．∴口罩日產(chǎn)量的月平均增長率為10%．故答案選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程中增長率的知識(shí)．增長前的量×（1＋年平均增長率）年數(shù)＝增長后的量．變式1．（2022·云南紅河·九年級(jí)期末）楊倩在東京奧運(yùn)會(huì)女子10米氣步槍決賽中奪得冠軍，為中國代表團(tuán)攬入首枚金牌，隨后楊倩同款“小黃鴨”發(fā)卡在電商平臺(tái)上爆單．該款發(fā)卡在某電商平臺(tái)上7月24日的銷量為5000個(gè)，7月25日和7月26日的總銷量是30000個(gè)．若7月25日和26日較前一天的增長率均為x，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意先分別求得7月25日和7月26日的銷量，進(jìn)而利用7月25日和7月26日的總銷量是30000個(gè)列方程即可．【詳解】解：由題意得：7月25日的銷量為5000（1+x）個(gè)，7月26日的銷量為5000（1+x）2個(gè)，則，故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵．變式2．（2021·廣西南寧·九年級(jí)期中）某工廠為了提高市場(chǎng)競爭力不斷改進(jìn)設(shè)備，2018年在改進(jìn)設(shè)備方面投入的資金是100萬元，2020年投入的資金是121萬元，且從2018年到2020年每年投入資金的年平均增長率相同.(1)求該工廠在改進(jìn)設(shè)備方面投入資金的年平均增長率；(2)若投入資金的年平均增長率不變，那么該廠在2021年需投入多少萬元？【答案】(1)10%(2)133.1萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)2020年投入的資金做等量關(guān)系列方程即可；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論計(jì)算即可.(1)設(shè)工廠在改進(jìn)設(shè)備方面投入資金的年平均增長率為，則依題意得：解得:(不合題意舍去).∴=0.1=10%.答：工廠在改進(jìn)設(shè)備方面投入資金的年平均增長率為10%(2)121+121×10%=133.1（萬元）答：該廠在2021年需投入133.1萬元.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．變式3．（2021·四川成都·九年級(jí)期中）某商場(chǎng)于今年年初以每件40元的進(jìn)價(jià)購進(jìn)一批商品．當(dāng)商品售價(jià)為60元時(shí)，一月份銷售64件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，三月底的銷售量達(dá)到100件．設(shè)二、三這兩個(gè)月月平均增長率不變．(1)求二、三這兩個(gè)月的月平均增長率；(2)從四月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價(jià)2元，銷售量增加20件，為盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售，商場(chǎng)獲利2240元?【答案】(1)二、三這兩個(gè)月的月平均增長率為25%(2)該店應(yīng)按原售價(jià)的九折出售【解析】【分析】（1）設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長率為a，根據(jù)增長率公式列方程解答；（2）設(shè)商品應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)售價(jià)乘以數(shù)量列一元二次方程解答．(1)解：設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長率為a，根據(jù)題意可得：，解得：，（不合題意舍去）答：二、三這兩個(gè)月的月平均增長率為25%；(2)設(shè)商品應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)題意，得，化簡，得，解得，，∵要盡可能讓利于顧客，∴每千克核桃應(yīng)降價(jià)6元，此時(shí)，售價(jià)為：（元），，答：該店應(yīng)按原售價(jià)的九折出售．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確掌握增長率問題計(jì)算公式a（1+x）2=b，以及銷售問題的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．◎題型3：形積問題技巧：根據(jù)圖形的性質(zhì)和面積公式，聯(lián)系一元二次方程的根，注意涉及到面積的和差，切勿混淆！例．（2020·陜西商洛·九年級(jí)期末）如圖，一農(nóng)戶要建議個(gè)矩形花圃，花圃的一邊利用長為12m的墻，另外三邊用25m長的籬笆圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于墻的一邊留一個(gè)1m寬的門，花圃面積為80m2，設(shè)于墻垂直的一邊長為xm，則可以列出方程是（

）A．x（26－2x）＝80 B．x（24－2x）＝80C．（x－1）（26－2x）＝80 D．x（25－2x）＝80【答案】A【解析】【分析】設(shè)與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（26-2x）m，根據(jù)花圃面積為80m2即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（26-2x）m，根據(jù)題意得：x（26-2x）=80．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)花圃的面積列出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·浙江·衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）八年級(jí)期中）如圖，在一幅長80cm，寬為50cm的矩形風(fēng)景畫的四周，鑲一條寬度相等的金色紙邊制成矩形掛圖，如果要使整個(gè)掛圖的面積為cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，則可列方程（）．A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)矩形的面積=長×寬，我們可得出本題的等量關(guān)系應(yīng)該是：（長+2個(gè)紙邊的寬度）×（寬+2個(gè)紙邊的寬度）=整個(gè)掛圖的面積，由此可得出方程．【詳解】解：設(shè)金色紙邊的寬為xcm，依題意得：（80+2x）（50+2x）=5400．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，對(duì)于面積問題應(yīng)熟記各種圖形的面積公式，然后根據(jù)題意列出方程是解題關(guān)鍵．變式2．（2022·江蘇淮安·九年級(jí)期末）用一段長為30m的籬笆圍成一個(gè)靠墻的矩形菜園，墻的長度為18m．(1)設(shè)垂直于墻的一邊長為xm，則平行于墻的一邊長為m（用含x的代數(shù)式表示）；(2)若菜園的面積為100m2，求x的值．【答案】(1)（30－2x）(2)10【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形直接可得答案；（2）由矩形面積公式列方程即可解得答案．(1)解：設(shè)垂直于墻的一邊長為xm，由圖可得：平行于墻的一邊長為（30?2x）m，故答案為：30?2x；(2)解：根據(jù)題意得：x（30?2x）＝100，∴x2?15x＋50＝0，因式分解得，解得x＝5或x＝10，當(dāng)x＝5時(shí)，30?2x＝20>18；當(dāng)x＝10時(shí)，30?2x＝10<18；∴x＝5不合題意，舍去，即x＝10，答：x的值為10m．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)題意列代數(shù)式及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意、數(shù)形結(jié)合列出相應(yīng)代數(shù)式及方程．變式3．（2022·湖南長沙·八年級(jí)期末）某農(nóng)戶要利用一面25m長的墻建一個(gè)長方形的養(yǎng)雞場(chǎng)，一邊靠墻，另三邊用木柵欄圍成，木柵欄長40m．(1)雞場(chǎng)的面積能達(dá)到嗎？如果能，求出與墻平行的邊的長；(2)雞場(chǎng)的面積能達(dá)到嗎？為什么？【答案】(1)面積能達(dá)到，此時(shí)與墻平行的邊的長是20米(2)不能，理由見解析【解析】【分析】(1)設(shè)雞場(chǎng)的一邊為xm，另外兩邊均為m，根據(jù)矩形的面積公式建立方程求出其解即可；(2)根據(jù)題意得出方程，求出其解的情況就可以得出結(jié)論；(1)設(shè)與墻平行的邊的長是x米，則，整理得x2-40x+400=0，解得：x1=x2=20，解得，即面積能達(dá)到，此時(shí)與墻平行的邊的長是20米．(2)由得，此時(shí)，所以面積不能達(dá)到．【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用矩形的面積公式建立一元二次方程求解的運(yùn)用，一元二次方程根的判別式的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)矩形的面積公式建立一元二次方程是關(guān)鍵．◎題型4：數(shù)字問題技巧：注意個(gè)位和十位數(shù)字的表示，特別是涉及到互換位置的時(shí)候，根據(jù)題意直接列出方程即可！例．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積為323，設(shè)其中較小的一個(gè)奇數(shù)為x，可得方程（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)相差2，則較大的數(shù)為x+2，再根據(jù)兩數(shù)的積為323即可得出答案．【詳解】解：依題意得：較大的奇數(shù)為x+2，則有：x（x+2）=323．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，得到兩個(gè)奇數(shù)的代數(shù)式是解決本題的突破點(diǎn)；根據(jù)兩個(gè)數(shù)的積得到等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．變式1．（2019·全國·九年級(jí)）若兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積為63，則這兩個(gè)數(shù)的和為（

）A．16 B．17 C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)兩個(gè)奇數(shù)其中較小的為x，則另一個(gè)為x＋2，根據(jù)題意列出方程求解即可【詳解】設(shè)兩個(gè)奇數(shù)其中較小的為x，則另一個(gè)為x＋2；因?yàn)樗鼈兊姆e為63，所以，解得，；所以當(dāng)時(shí)，另一個(gè)數(shù)為9，其和為16，當(dāng)時(shí)，另一個(gè)為﹣7，其和為﹣16故答案為C選項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程中連續(xù)奇數(shù)或偶數(shù)等的運(yùn)用，正確表示出各個(gè)數(shù)建立方程是關(guān)鍵變式2．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）2021年7月1日是建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用小方框圈出四個(gè)數(shù)（如圖所示），圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積能否為33或65，若能求出最小數(shù)：若不能請(qǐng)說明理由．【答案】最小的數(shù)是5，理由見解析【解析】【分析】設(shè)這個(gè)最小數(shù)為x，則最大數(shù)為(x+8)，根據(jù)最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65或33，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)最小的數(shù)為x，則最大數(shù)為(x+8)，由題意得x(x+8)=33，解得x1=-11，x2=3．由表格知不符合實(shí)際舍去；由題意得x(x+8)=65，解得x1=-13（舍去），x2=5，所以當(dāng)最大數(shù)與最小數(shù)乘積為65時(shí)，最小的數(shù)是5．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）解讀詩詞通過列方程算出周瑜去世時(shí)的年齡：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物，而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符，哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？詩詞大意：周瑜三十歲當(dāng)東吳都督，去世時(shí)的年齡是兩位數(shù)，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小三，個(gè)位數(shù)字的平方等于他去世時(shí)的年齡．【答案】周瑜去世時(shí)的年齡為歲【解析】【分析】設(shè)周瑜去世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為，則十位數(shù)字為根據(jù)題意建立方程求出其值即可．【詳解】解：設(shè)周瑜去世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為，則十位數(shù)字為，依題意得：，解得，，當(dāng)時(shí)，，（不合題意，舍去），當(dāng)時(shí)，（符合題意），答：周瑜去世時(shí)的年齡為歲．【點(diǎn)睛】本題是一道數(shù)字問題的應(yīng)用題，考查了列一元二次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，在解答中根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)，列出正確的方程是解題的關(guān)鍵．◎題型5：商品銷售問題技巧：銷售總額＝單件售價(jià)×數(shù)量總利潤：單件利潤×數(shù)量＝（售價(jià)－進(jìn)價(jià)）×數(shù)量利潤＝成本×利潤率例．（2022·安徽合肥·八年級(jí)期末）某超市銷售一種商品，其進(jìn)價(jià)為每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，為讓利于民，超市采取降價(jià)措施，當(dāng)售價(jià)每千克降低1元時(shí)，每天銷量可增加50千克，若每天的利潤要達(dá)到5500元，則實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元？設(shè)售價(jià)每千克降低x元，可列方程為（

）A．（45-30-x）（300+50x）=5500 B．（x-30）（300+50x）=5500C．（x-30）[300+50（x-45）]=5500 D．（45-x）（300+50x）=5500【答案】A【解析】【分析】先求出每千克的售價(jià)為元，此時(shí)每天銷量為千克，再根據(jù)“利潤（售價(jià)進(jìn)價(jià)）每天銷量”建立方程即可得．【詳解】解：由題意可知，當(dāng)售價(jià)每千克降低元時(shí)，每千克的售價(jià)為元，此時(shí)每天銷量為千克，則可列方程為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了列一元二次方程，正確找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．變式1．（2022·浙江寧波·八年級(jí)期中）某海鮮市場(chǎng)以每千克10元的進(jìn)價(jià)進(jìn)了一批螃蟹，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：售價(jià)為每千克20元時(shí)，每天可銷售40千克．售價(jià)每上漲1元，每天的銷量將減少3千克．如果該海鮮市場(chǎng)想平均每天獲利408元，設(shè)這種螃蟹的售價(jià)上漲了x元，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)這種螃蟹的售價(jià)上漲了元，則每千克的銷售利潤為元，每天可銷售千克，利用每天的銷售利潤每千克的銷售利潤每天的銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【詳解】設(shè)這種螃蟹的售價(jià)上漲了元，則每千克的銷售利潤為元，每天可銷售千克，依題意得：．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·云南大理·九年級(jí)期末）某商場(chǎng)品牌童裝每件進(jìn)價(jià)元，售價(jià)元，平均每天可售出件，為了迎接“元旦”商場(chǎng)采取了促銷活動(dòng)，增加盈利，盡快減少庫存，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，若每件童裝降價(jià)元，平均每天就可多售出件，要使某商場(chǎng)每天盈利元，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】每件童裝應(yīng)降價(jià)元【解析】【分析】設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià)元每件利潤售出數(shù)量每天盈利降價(jià)前100-6020降價(jià)后100-60-x20+2x（100-60-x）(20+2x)根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)每件童裝應(yīng)降價(jià)元，則，即：，解得：，，盡快減少庫存，舍去．答：每件童裝應(yīng)降價(jià)元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程求解是解題的關(guān)鍵，注意一元二次方程有兩個(gè)解，要結(jié)合題意和實(shí)際情況，舍去不符合題意和不符合實(shí)際情況的解．變式3．（2020·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)期中）由于新冠疫情的影響，口罩需求量急劇上升，經(jīng)過連續(xù)兩次價(jià)格的上調(diào)，口罩的價(jià)格由每包10元漲到了每包14.4元，(1)求出這兩次價(jià)格上調(diào)的平均增長率；(2)在有關(guān)部門調(diào)控下，口罩價(jià)格還是降到了每包10元，而且調(diào)查發(fā)現(xiàn)，定價(jià)為每包10元時(shí)，一天可以賣出30包，每降價(jià)1元，可以多賣出5包，當(dāng)銷售額為315元時(shí)，且讓顧客獲得更大的優(yōu)惠，應(yīng)該降價(jià)多少元？【答案】(1)這兩次價(jià)格上調(diào)的平均增長率為20％．(2)應(yīng)該降價(jià)3元．【解析】【分析】（1）設(shè)這兩次價(jià)格上調(diào)的平均增長率為x，然后根據(jù)題意可列方程進(jìn)行求解；（2）設(shè)降價(jià)y元，然后根據(jù)題意可列出方程進(jìn)行求解．(1)解：設(shè)這兩次價(jià)格上調(diào)的平均增長率為x，由題意得：，解得：（不符合題意，舍去），答：這兩次價(jià)格上調(diào)的平均增長率為20％．(2)解：設(shè)降價(jià)y元，由題意得：，整理得：，解得：，∵讓顧客獲得更大的優(yōu)惠，∴；答：應(yīng)該降價(jià)3元．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．◎題型6：動(dòng)點(diǎn)幾何問題技巧：先把動(dòng)點(diǎn)走過的路程用時(shí)間表示出來，再把剩余的路長用時(shí)間表示出來，根據(jù)題意列方程！例．（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)開始移動(dòng)（移動(dòng)方向如圖所示），點(diǎn)P的速度為cm/s，點(diǎn)Q的速度為1cm/s，點(diǎn)Q移動(dòng)到點(diǎn)C后停止，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)，若使△PBQ的面積為，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（）A．2s B．3s C．4s D．5s【答案】B【解析】【分析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)t秒，能使△PBQ的面積為，用t分別表示出BP和BQ的長，利用三角形的面積計(jì)算公式即可解答．【詳解】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)t秒后，能使△PBQ的面積為，則BP為（4﹣t）cm，BQ為tcm，由三角形的面積計(jì)算公式列方程得，×（4﹣t）×t＝，解得t1＝3，t2＝5（當(dāng)t＝5時(shí)，BQ＝10，不合題意，舍去）．∴動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，能使△PBQ的面積為．故選B．【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，借助三角形的面積計(jì)算公式來研究圖形中的動(dòng)點(diǎn)問題．變式1．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度勻速移動(dòng)，同時(shí)另一點(diǎn)由點(diǎn)開始以的速度沿著射線勻速移動(dòng)，當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

）A．秒 B．秒 C．秒 D．秒或秒【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形的面積公式列出方程即可解決問題．【詳解】解：由題意，，，，，解得或5，或時(shí)，的面積為．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為方程，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．變式2．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)．如果點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，用t(s)表示移動(dòng)的時(shí)間(0<t<6)，那么當(dāng)t為何值時(shí)，△QAP的面積等于8cm2?【答案】當(dāng)t為2或4時(shí)，△QAP的面積等于8cm2．【解析】【分析】當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)，AP＝2tcm，AQ＝（6?t）cm，利用三角形的面積計(jì)算公式，結(jié)合△QAP的面積等于8cm2，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．【詳解】解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)，AP＝2tcm，AQ＝(6－t)cm，依題意得×2t(6－t)＝8，整理得t2－6t＋8＝0，解得t1＝2，t2＝4，∴當(dāng)t為2或4時(shí)，△QAP的面積等于8cm2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs．（1）若，求的值；（2）若的面積為，求的值．【答案】（1）x的值為2或；（2）當(dāng)△DPQ的面積為31cm2，則x的值為1或5．【解析】【分析】（1）直接利用P，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)速度表示出BP、BQ，利用勾股定理即可求解；（2）直接利用S△DPQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ，代入求出答案．【詳解】解：（1）由題意可得：BP=AB-AP=（6-x）cm，BQ=2x(cm)，∵,∴，解得：，∴x的值為2或；（2）由題意可得：S△DPQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ=AB?BC-AD?AP-CD?CQ-BP?BQ=6×12-×12x-×6（12-2x）-（6-x）?2x=x2-6x+36=31，解得：x1=1，x2=5，當(dāng)△DPQ的面積為31cm2，則x的值為1或5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理，正確表示出三角形的各邊長是解題關(guān)鍵．◎題型7：工程問題例．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）“端午臨中夏，時(shí)清日復(fù)長”．臨近端午節(jié)，一網(wǎng)紅門店接到一批3200袋粽子的訂單，決定由甲、乙兩組共同完成．已知甲組3天加工的粽子數(shù)比乙組2天加工的粽子數(shù)多300袋．兩組同時(shí)開工，甲組原計(jì)劃加工10天、乙組原計(jì)劃加工8天就能完成訂單．(1)求甲、乙兩組平均每天各能加工多少袋粽子；(2)兩組人員同時(shí)開工2天后，臨時(shí)又增加了500袋的任務(wù)，甲組人員從第3天起提高了工作效率，乙組的工作效率不變．經(jīng)估計(jì)，若甲組平均每天每多加工100袋粽子，則甲、乙兩組就都比原計(jì)劃提前1天完成任務(wù)．已知甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù)，求提高工作效率后，甲組平均每天能加工多少袋粽子？【答案】(1)甲、乙兩組平均每天各能加工200袋、150袋粽子(2)400【解析】【分析】（1）設(shè)甲、乙兩組平均每天各能加工袋、袋粽子，根據(jù)甲乙兩個(gè)小組的工作情況列出二元一次方程組，從而解決問題．（2）根據(jù)“甲組平均每天每多加工100袋粽子，則甲、乙兩組就都比原計(jì)劃提前1天完成任務(wù)”，考慮設(shè)“甲組平均每天比原計(jì)劃平均每天多加工袋粽子”，再根據(jù)實(shí)際總工作量等于甲乙兩組實(shí)際工作量之和，列出方程．(1)解：設(shè)甲、乙兩組平均每天各能加工袋、袋粽子由題意得：解得：答：甲、乙兩組平均每天各能加工200袋、150袋粽子．(2)解：設(shè)提高效率后，甲組平均每天比原計(jì)劃平均每天多加工袋粽子由題意得：整理得：解得：，，又∵甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù)∴∴200+100×2=400（袋）答：提高工作效率后，甲組平均每天能加工400袋粽子．【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用二元一次方程組、一元二次方程解決實(shí)際問題，理清題意，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·重慶十八中兩江實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）某公司主營鐵路建設(shè)施工．(1)原計(jì)劃今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和橋梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是橋梁施工的9倍，那么，原計(jì)劃今年一季度，橋梁施工最多是多少千米？(2)到今年3月底，施工里程剛好按原計(jì)劃完成，且橋梁施工的里程數(shù)正好是原計(jì)劃的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工每千米的成本之比1：3：10，總成本為254億元，預(yù)計(jì)二季度平地施工里程會(huì)減少7a千米，隧道施工里程會(huì)減少2a千米，橋梁施工里程會(huì)增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本與一季度持平，橋梁施工每千米的成本將會(huì)增加a億元，若二季度總成本與一季度相同，求a的值．【答案】(1)4；(2)2．【解析】【分析】（1）設(shè)橋梁施工最多是m千米，則隧道施工為千米，利用隧道施工至少是橋梁施工的9倍，列不等式求解即可；（2）求出一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工的里程數(shù)，設(shè)一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工每千米的成本分別為x，3x，10x，利用總成本為254億元，列方程求出x，找出二季度平地施工，隧道施工和橋梁施工的里程數(shù)及每千米的成本，利用二季度總成本與一季度相同，列方程求解即可．(1)解：設(shè)橋梁施工最多是m千米，則隧道施工為千米，∵隧道施工至少是橋梁施工的9倍，∴，解之得：，∴橋梁施工最多是4千米．(2)解：由（1）可知一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工分別為106千米，36千米和4千米，設(shè)一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工每千米的成本分別為x，3x，10x，∵總成本為254億元，∴，解之得：，由題意可知：二季度平地施工里程為千米，隧道施工里程為千米，橋梁施工里程為千米；平地施工，隧道施工和橋梁施工每千米的成本分別為：1，3，∵二季度總成本與一季度相同，∴，即，解之得：（舍去）或，故．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用．（1）的關(guān)鍵是根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列出不等式求解即可；（2）的關(guān)鍵找出等量關(guān)系列出一元一次方程和一元二次方程求解．變式2．（2022·云南·云大附中九年級(jí)期末）公安部交管局部署“一盔一帶”安全守護(hù)行動(dòng)，帶動(dòng)了市場(chǎng)頭盔的銷量．某頭盔經(jīng)銷商5至7月份統(tǒng)計(jì)，某品牌頭盔5月份銷售2250個(gè)，7月份銷售3240個(gè)，且從5月份到7月份銷售量的月增長率相同．請(qǐng)解決下列問題．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)為了達(dá)到市場(chǎng)需求，某工廠建了一條頭盔生產(chǎn)線生產(chǎn)頭盔，經(jīng)過一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)一條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是900個(gè)/天，但如果每增加一條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少30個(gè)/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)頭盔3900個(gè)，在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？【答案】(1)該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%(2)在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入的條件下，增加4條生產(chǎn)線【解析】【分析】（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)題意列出一元二次方程進(jìn)行求解；（2）設(shè)增加x條生產(chǎn)線，根據(jù)條件列出一元二次方程求解，再根據(jù)要節(jié)省投入的條件下，確定解．(1)解：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x．依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．(2)解：設(shè)增加x條生產(chǎn)線．，解得，（不符合題意，舍去），答：在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入的條件下，增加4條生產(chǎn)線．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出相應(yīng)的一元二次方程求解即可．變式3．（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）某市創(chuàng)建“綠色發(fā)展模范城市”，針對(duì)境內(nèi)長江段兩種主要污染源：生活污水和沿江工廠污染物排放，分別用“生活污水集中處理”(下稱甲方案)和“沿江工廠轉(zhuǎn)型升級(jí)”(下稱乙方案)進(jìn)行治理，若江水污染指數(shù)記為Q，沿江工廠用乙方案進(jìn)行一次性治理(當(dāng)年完工)，從當(dāng)年開始，所治理的每家工廠一年降低的Q值都以平均值n計(jì)算，第一年有40家工廠用乙方案治理，共使Q值降低了12．經(jīng)過三年治理，境內(nèi)長江水質(zhì)明顯改善．（1）求的n值；（2）從第二年起，每年用乙方案新治理的工廠數(shù)量比上一年都增加相同的百分?jǐn)?shù)m，三年來用乙方案治理的工廠數(shù)量共190家，求m的值，并計(jì)算第二年用乙方案新治理的工廠數(shù)量；【答案】（1）；（2），60家【解析】【分析】（1）直接利用第一年有40家工廠用乙方案治理，共使Q值降低了12，列出關(guān)于n的一元一次等式，從而求出答案；（2）從第二年起，每年用乙方案新治理的工廠數(shù)量比上一年都增加相同的百分?jǐn)?shù)m，三年來用乙方案治理的工廠數(shù)量共190家，列出關(guān)于m的一元二次等式，從而求出m及第二年用乙方案新治理的工廠數(shù)量．【詳解】解：(1)由題意可得：，解得；(2)由題意可得：，解得：，（舍去），∴第二年用乙方案新治理的工廠數(shù)量為：（家）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程和一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)所給條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程從而求解．◎題型8：行程問題例．（2019·天津·南開翔宇學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，東西方向上有A，C兩地相距10千米，甲以16千米/時(shí)的速度從A地出發(fā)向正東方向前進(jìn)，乙以12千米/時(shí)的速度從C地出發(fā)向正南方向前進(jìn)，那么最快經(jīng)過()小時(shí)，甲、乙兩人相距6千米？A． B． C．1.5 D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意表示出BC，DC的長，進(jìn)而利用勾股定理求出答案【詳解】解：設(shè)最快經(jīng)過x小時(shí)，甲、乙兩人相距6km，根據(jù)題意可得：BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm，因?yàn)锽C2+DC2＝BD2，則（10﹣16x）2+（12x）2＝62，解得：x1＝x2＝0.4．答：最快經(jīng)過0.4小時(shí)，甲、乙兩人相距6km．故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理以及一元二次方程的應(yīng)用，利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）小球以的速度在平坦地面上開始滾動(dòng)，并且均勻減速，后小球停下來．小球滾動(dòng)到時(shí)約用了多少時(shí)間（精確到）？（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】首先求得小球的平均速度，然后利用等量關(guān)系：速度×?xí)r間=路程，時(shí)間為x，則速度為5﹣1.25x．【詳解】小球滾動(dòng)到5m時(shí)約用了xs，依題意，得：x?=5整理得：x2﹣8x+8=0，解得：x=4±2．∵x＜4，∴x=4﹣2≈1.2．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，重點(diǎn)在于求出平均每秒小球的運(yùn)動(dòng)減少的速度，而平均每秒小球的運(yùn)動(dòng)減少的速度=（初始速度﹣末速度）÷時(shí)間．變式2．（2019·河南·鄭州四中實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）某日王老師佩戴運(yùn)動(dòng)手環(huán)進(jìn)行快走鍛煉，兩次鍛煉后數(shù)據(jù)如下表．與第一次鍛煉相比，王老師第二次鍛煉步數(shù)增長的百分率是其平均步長減少的百分率的3倍．設(shè)王老師第二次鍛煉時(shí)平均步長減少的百分率為x（0＜x＜0.5）．注：步數(shù)×平均步長＝距離．（1）根據(jù)題意完成表格填空；（2）求x的值；（3）王老師發(fā)現(xiàn)好友中步數(shù)排名第一為24000步，因此在兩次鍛煉結(jié)束后又走了500米，使得總步數(shù)恰好為24000步，求王老師這500米的平均步長．【答案】（1）①，②；（2）的值為0.1；（3）王老師這的平均步長為0.5米/步．【解析】【分析】（1）①直接利用王老師第二次鍛煉步數(shù)增長的百分率是其平均步長減少的百分率的3倍，得出第二次鍛煉的步數(shù)；②利用王老師第二次鍛煉時(shí)平均步長減少的百分率為x，即可表示出第二次鍛煉的平均步長（米/步）；（2）根據(jù)題意表示出第二次鍛煉的總距離，進(jìn)而得出答案；（3）根據(jù)題意可得兩次鍛煉結(jié)束后總步數(shù)，進(jìn)而求出王老師這500米的平均步長．【詳解】（1）①根據(jù)題意可得第二次鍛煉的步數(shù)為10000（1＋3x）；②第二次鍛煉的平均步長（米/步）為：0.6（1?x）；故答案為：10000（1＋3x）；0.6（1?x）；（2）根據(jù)題意得，解得（舍去），.則的值為0.1.（3）根據(jù)題意可得：10000＋10000（1＋0.1×3）＝23000，500÷（24000?23000）＝0.5（m）．答：王老師這500米的平均步長為0.5米．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確表示出第二次鍛煉的步數(shù)與步長是解題關(guān)鍵．變式3．（2018·福建泉州·九年級(jí)期中）某學(xué)校為培養(yǎng)青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動(dòng)漫制作活動(dòng)，小明設(shè)計(jì)了點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)雛型．如圖所示，甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的兩端點(diǎn)、以順時(shí)針、逆時(shí)針的方向同時(shí)沿圓周運(yùn)動(dòng).甲運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間滿足關(guān)系：（），乙以4的速度勻速運(yùn)動(dòng)，半圓的長度為21．（1）甲運(yùn)動(dòng)4后的路程是多少？（2）甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第一次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間？【答案】（1）甲運(yùn)動(dòng)4后的路程是14；（2）甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第一次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了3．【解析】【分析】（1）根據(jù)題目所給的函數(shù)解析式把t＝4s代入求得l的值即可；（2）根據(jù)圖可知，二者第一次相遇走過的總路程為半圓，分別求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可．【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，（），答：甲運(yùn)動(dòng)4后的路程是14；（2）由圖可知，甲乙第一次相遇時(shí)走過的路程為半圓21，甲走過的路程為，乙走過的路程為4，則，解得：或（不合題意，舍去），答：甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第一次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了3．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，試題比較新穎．解題關(guān)鍵是根據(jù)圖形分析相遇問題，第一次相遇時(shí)二者走的總路程為半圓．◎題型9：圖標(biāo)信息題例．（2022·湖北宜昌·九年級(jí)期末）某電廠規(guī)定，該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個(gè)月的用電量不超過度，那么這個(gè)月這戶居民只交10元電費(fèi)；如果超過度，這個(gè)月除了交10元電費(fèi)外，超過部分按每度元交費(fèi)．(1)該廠某戶居民1月份用電90度，超過了度的規(guī)定，試寫出超過部分應(yīng)交的電費(fèi)．（用含的代數(shù)式表示）(2)下表是這戶居民2月、3月的用電情況，請(qǐng)根據(jù)其中的數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的度是多少．月份用電量/度交電費(fèi)總數(shù)/元2月80253月4510【答案】(1)x（90－x）元(2)50度【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得用電90度超過了規(guī)定度數(shù)（90－x）度，再由超過部分按每度元交電費(fèi)，即可求解；（2）根據(jù)題意可得2月份用電量超過x度，列出方程，再由3月份用電45度只交電費(fèi)10元，可得x≥45，即可求解．（1）解：∵規(guī)定用電x度，∴用電90度超過了規(guī)定度數(shù)（90－x）度，∵超過部分按每度元交電費(fèi)，∴超過部分應(yīng)交的電費(fèi)為x（90－x）元．（2）解∶2月份用電量超過x度，依題意得x（80－x）＝25－10．整理得x2－80x＋1500＝0．解這個(gè)方程得x1＝30，x2＝50．根據(jù)題意得：3月份用電45度只交電費(fèi)10元，∴電廠規(guī)定的x≥45，∴x1＝30不合題意，舍去．∴x＝50．答：電廠規(guī)定的x度為50度．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）某市為鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，對(duì)居民用水實(shí)行階梯收費(fèi)，每戶居民用水量每月不超過a噸時(shí)，每噸按0.3a元繳納水費(fèi)；每月超過a噸時(shí)，超過部分每噸按0.4a元繳納水費(fèi)．（1）若a＝12，某戶居民3月份用水量為22噸，則該用戶應(yīng)繳納水費(fèi)多少元？（2）若如表是某戶居民4月份和5月份的用水量和繳費(fèi)情況：月份用水量（噸）交水費(fèi)總金額（元）4186252486根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求規(guī)定用水量a的值【答案】（1）；（2）10【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得：該用戶3月份用水量超過a噸，然后根據(jù)“用水量每月不超過a噸時(shí)，每噸按0.3a元繳納水費(fèi)；每月超過a噸時(shí)，超過部分每噸按0.4a元繳納水費(fèi)”，即可求解；（2）若，可得，從而得到，再由“用水量每月不超過a噸時(shí)，每噸按0.3a元繳納水費(fèi)；每月超過a噸時(shí)，超過部分每噸按0.4a元繳納水費(fèi)”，列出方程，即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：該用戶3月份用水量超過a噸，元；（2）若，有，解得：，即，不合題意，舍去，∴，根據(jù)題意得：，解得：（舍去），答：規(guī)定用水量a的值為10噸．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．變式2．（2021·河北唐山·九年級(jí)期中）如圖，約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】（1）或；（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得：，然后求解一元二次方程即可；（2）根據(jù)題中計(jì)算圖可得：，由，代入化簡可得：，求解方程，然后代入即可得．【詳解】解：（1）由題意可得：，，則或，解得或；（2）由題意得：，，，整理得：，∴，則或，解得或，或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了因式分解法解一元二次方程，正確理解題意得出與之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．變式3．（2020·內(nèi)蒙古·二模）為了節(jié)約用水，不少城市對(duì)用水大戶作出了兩段收費(fèi)的規(guī)定．某市規(guī)定：月用水量不超過規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)a噸時(shí)，按每噸1.6元的價(jià)格交費(fèi)，如果超過了標(biāo)準(zhǔn)，超標(biāo)部分每噸還要加收元的附加費(fèi)用．據(jù)統(tǒng)計(jì)，某戶7、8兩月的用水量和交費(fèi)情況如下表：月份用水量（噸）交費(fèi)總數(shù)（元）7140264895152（1）求出該市規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)用水量a的值；（2）寫出交費(fèi)總數(shù)y（元）與用水量x（噸）的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)關(guān)系計(jì)算，當(dāng)某月份用水量為150噸時(shí)，應(yīng)交水費(fèi)多少元？【答案】（1）a＝100；（2），當(dāng)某月份用水量為150噸時(shí)，應(yīng)交水費(fèi)290元．【解析】【分析】（1）由于七月份用水量為140噸，每噸1.6元計(jì)算，應(yīng)繳費(fèi)224元，而實(shí)際繳費(fèi)264，則七月份用水量超過了標(biāo)準(zhǔn)，超過標(biāo)準(zhǔn)的部分每噸需加收元的附加費(fèi)用；然后列出關(guān)于a的方程求得a值，最后結(jié)合8月份的用水量對(duì)答案進(jìn)行取舍即可；（2）根據(jù)（1）中求得的a值進(jìn)行分段，然后根據(jù)規(guī)定分別建立函數(shù)關(guān)系式；并將x=150噸代入合適的解析式求解即可．【詳解】解：（1）因七月份用水量為14